Introdução aos vetores e as matrizes

Teoria Completa

Introdução aos vetores

Falaa galerinhaaa, você já deve ter escutado muito sobre a palavra grandezas.

As grandezas estão relacionadas com aquilo que se pode ser medido, ou contado.

Por exemplo, quando você quer comprar 1   m de fita, você está utilizando uma grandeza escalar .

Esse tipo de grandeza é representado somente por um valor numérico e saber esse valor numérico já é bastante para nós.

Agora existem situações em que apenas o valor numérico não é o suficiente, como a velocidade, não basta apenas saber qual é seu valor numérico (que aqui chamaremos de módulo). Nós queremos saber também qual é a direção e o sentido na qual o carro está indo

É pra isso que existem os vetores, eles trazem mais informações para as grandezas escalares que vemos normalmente.

Representação de um vetor

O vetor é representado por meio de uma seta, que começa em um ponto e termina em outro.

Por exemplo:

Dá uma olhada que esse vetor começa no ponto O, que é chamado de origem, e termina no ponto P que é chamado de extremidade.

A notação que temos para um vetor é uma letra minúscula com uma seta em cima, ou seja :

v →

Também podemos escrever usando os pontos de origem e extremidade:

O P →

Quando quisermos saber o valor da coordenada que representa o vetor fazemos o ponto da extremidade menos o ponto da origem. Ou seja:

v → =   O P = P - O

Agora observa que, usar essa seta nos mostra o que queríamos saber antes:

  • Módulo (comprimento, ou tamanho).
  • Direção (posição horizontal, vertical, norte, sul, leste, oeste...) 
  • Sentido (de O para P).

Tipos de vetores

Agora vamos ver que tipos de vetores existem:

  • Vetores iguais

Dois ou mais vetores são iguais quando possuem o mesmo módulo, direção e sentido.

  • Vetores Opostos
  • Dois ou mais vetores são opostos quando possuem o mesmo módulo e direção. Mas o sentido é contrário.

  • Vetor unitário:
  • Quando o módulo do vetor é um, temos um vetor unitário.

  • Vetores colineares :
  • Dizemos que dois ou mais vetores são colineares se eles possuem a mesma direção, eles podem estar paralelos ou na mesma reta ( um embaixo e outro em cima).

  • Vetores coplanares:
  • Quando dois ou mais vetores estão no mesmo plano, dizemos que eles são coplanares.

    Dois vetores sempre são coplanares, porém 3 já podem não ser mais.

    Introdução às matrizes

    Dá uma olhadinha nisso aqui:

    Você já deve ter se deparado alguma vez com algo parecido, bom isso é o que chamamos de Matriz.

    Uma matriz pode ser encarada como uma tabela, com m linhas e n colunas.

    Nesse caso temos duas linhas e duas colunas, e cada um desses elementos, nós chamamos de termos da matriz.

    E ela pode ser vista como uma tabela, por exemplo, a quantidade de alunos de duas turmas que participaram de uma palestra que ocorreu no período matutino e vespertino.

    Representação genérica de uma matriz

    Cada um dos termos da matriz vai ter uma “localização’’ própria dentro dela. Por isso é usado a notação:

    a i j

    i é a linha onde o termo se encontra, e j é a coluna.

    Assim, uma matriz de forma mais geral é:

    Essa matriz tem apenas três linhas e três colunas. Mas essa ideia de cada termo vale para qualquer matriz.

    Aaaah, mais uma coisinha:

    Uma matriz tem a seguinte notação:

    M m × n

    Ou seja, é sempre uma letra maiúscula, com o índice m × n , onde m é a quantidade de linhas e n é a quantidade de colunas. Além disso, sua leitura é feita da seguinte forma: “matriz m por n ”.

    Em alguns exercícios eles vão nos dar o termo geral da matriz e vão pedir para montá-la.

    Por exemplo:

    Monte a matriz X 2 × 2 , tal que:

    Note que a matriz vai ter 2 linhas e 2 colunas, assim a forma geral dela é;

    O termo geral diz que quando i = j , o valor do termo é 1, e se i ≠ j , o valor do termo passa a ser 0.

    Vamos fazer cada elemento, primeiro:

    a 11

    Temos que i = 1 e j = 1 , logo eles são iguais, assim nosso termo fica:

    a 11 = 1

    Segundo:

    a 12

    Temos que i = 1 e j = 2 , logo eles são diferentes, assim nosso termo fica:

    a 12 = 0

    Terceiro:

    a 21

    Temos que i = 2 e j = 1 , logo eles são diferentes, assim nosso termo fica:

    a 21 = 0

    Quarto:

    a 22

    Temos que i = 2 e j = 2 , logo eles são iguais, assim nosso termo fica:

    a 22 = 1

    Terminamos todos os termos, agora vamos montar nossa matriz:

    É isso, então você monta os termos a partir do termo geral que foi dado no exercício.

    Tipos de matrizes

    Vamos ver os tipos mais utilizados de matrizes:

    • Matriz nula:

    Todos os elementos da matriz nula é igual a 0, independente de quantas linhas ou coluna temos. Exemplos:

  • Matriz coluna:
  • É uma matriz formada por apenas uma coluna. Exemplos:

  • Matriz linha:
  • É formada por apenas uma linha. Exemplo:

  • Matriz quadrada:
  • Essa é uma matriz, muito importante, ela possui o número de linhas igual ao número de colunas (m=n), por exemplo:

    Note que usamos só um índice, para fazer o m × n . E dizemos matriz de ordem 3, ou ordem n.

  • Matriz identidade:
  • É a matriz quadrada de ordem n, que todos os elementos da diagonal principal vale 1, e o resto vale 0.

    A diagonal principal começa no primeiro termo ( a 11 ) e segue na diagonal ( a 22 ,   a 33 , . . ) . E é representada pela letra I, e o índice é a ordem da matriz.

    Exemplo:

  • Matriz transposta:

Dado uma matriz m × n , a sua transposta é a troca de linha com colunas.

Ou seja:

Sua transposta é :

Ou seja, primeira linha vira primeira coluna, e assim vamos fazendo a troca.

É isso galeraaa, partiu exercícios.

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Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Escreva as coordenadas da origem O e da extremidade P do seguinte vetor:

c

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Passo 1

A origem de um vetor é onde têm início, e a extremidade é o final (é onde fica a pontinha da seta).

Para descobrirmos as coordenadas (x, y) de cada ponto, vamos olhar para o gráfico e ver os valores que correspondem em x e depois em y.

Passo 2

Vamos começar com a origem, podemos ver que o vetor começa quando:

x = y = 0

Assim a coordenada da origem é:

O = ( 0,0 )

Passo 3

Agora a extremidade, podemos ver que o valor de x = 3

E o valor de y = 5 :

Assim a coordenada da extremidade é:

P = ( 3,5 )

Resposta

O = ( 0,0 )

P = ( 3,5 )

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Sabendo que O = ( 0,0 ) e P = 3,5 , cacule a coordenada do vetor O P → :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Lembrando que :

O P → = P - O

Para resolver isso, nós vamos pegar a coordenada de P e subtrair a coordenada O.

O P → = P - O = 3,5 - ( 0,0 )

Para fazer essa subtração, é só diminuir valores de x com valores de x, e de y com de y :

3,5 - 0,0 = 3 - 0,5 - 0 = ( 3,5 )

Essa é a cordenada do sseu vetor.

Resposta

( 3,5 )

Exercício Resolvido #3

LEZZI, Gelson et al; Matemática. São Paulo, SP: Atual, 1997. pp.362

Indique os elementos da diagonal principal e os da diagonal secundária de cada uma das seguintes matrizes quadradas:

  1. 3 0 0 4 2 5 - 1 3 1
  2. - 1 0 1 0 0 4 - 1 1 5 7 3 2 1 4 3 2 5
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Passo 1

Primeiro, vamos lembrar o que é diagonal principal e secundária.

Passo 2

  1. 3 0 0 4 2 5 - 1 3 1
  2. A nossa diagonal principal nesse caso vai ser:

    Então os elementos da diagonal principal são : 3 , 2   e 1

    Agora a secundária :

    Assim, os elementos da diagonal secundária são :

    - 1 , 2 e 0

    Passo 3

  3. - 1 0 1 0 0 4 - 1 1 5 7 3 2 1 4 3 2 5

Mesma ideia, nossa diagonal principal vai ser:

Assim , os elementos da diagonal principal são :

- 1 ,   4 ,   3 e 5

A secundária :

Assim, os elementos que temos na diagonal secundária são : 1 4 ,     7 ,   - 1   e 0

Resposta

  1. Principal :   3 , 2   e 1
  2. Secundária : - 1 , 2 e 0

  3. Principal: - 1 ,   4 ,   3 e 5

Secundária: 1 4 ,   s e t e ,   - 1   e 0

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria.

Diga qual é a ordem das matrizes abaixo:

a)

a b c

b)

a b c d e f g h

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Passo 1

Representamos a ordem de uma matriz da seguinte maneira: M m × n

Onde:

  • M é a quantidade de linhas;
  • N é a quantidade de colunas.

Passo 2

a)

a b c

Nós temos apenas uma coluna e 3 linhas, ou seja, m = 3 e n = 1 . Dessa forma, podemos representar a ordem dessa matriz da seguinte maneira:

M 3 × 1

Passo 3

b)

a b c d e f g h