Porcentagem

Teoria Completa

Introdução

Fala aí, tudo certinho!?

Nesse tópico vamos falar sobre um assunto que está muito presente no nosso cotidiano, a Porcentagem.

Vemos com frequência nas vitrines das lojas anúncios de liquidações com 15 % , 40 % , 70 % ... Sabemos que isso representa uma economia para nosso bolso, mas o que será que isso realmente quer dizer?

O que significa Porcentagem?

Bom, para que haja porcentagem, primeiramente deve haver uma grandeza inicial que representa 100 % de algo.

Dessa forma, ao compararmos uma segunda grandeza com a grandeza inicial, achamos a porcentagem de uma em relação a outra.

Deu uma bugada aí? Relaxa que com um exemplo tudo fica mais fácil...

Aplicação

Spoiler: Quando calcularmos porcentagem usamos basicamente Regra de 3.

Olhe esse exemplo:

Uma sala de aula tem ao todo 40 alunos, quantas meninas há na sala sabendo que a porcentagem de menino é de 25 % ?

O problema nos dá a quantidade total de alunos na sala, a porcentagem referente a quantidade de meninos e pede para calcularmos o número total de meninas.

Olhe essa tabelinha:

Neste caso 40 alunos representa 100 % dos alunos da sala.

Beleza, pergunta para você agora: Você já viu algo parecido com isso em algum lugar?? (olha o Spoiler...)

REGRA DE 3!!!

Precisamos aplicar a regra de 3 para acharmos a quantidade de meninos, e como as grandezas são diretamente proporcionais, basta multiplicarmos cruzado:

40 X = 100 25

100 X = 25 ∙ 40

100 X = 1.000

X = 1.000 100

X = 10

Ok, já encontramos o número de meninos através da porcentagem que nos foi dada, mas o problema pediu o número de meninas, logo precisamos fazer uma continha de subtração apenas:

X = 40 - 10

X = 30

E tá pronto, há um total de 30 meninas na sala.

Se liga no MACETE

Se você é do tipo que adora um macete, essa aqui é especialmente para você

Também podemos ver a porcentagem como 1 100 e isso é = 0,01 .

Tá, mas o que isso quer dizer?

Quer dizer que os 25 % do problema anterior é o mesmo que 25 100 e isso é = 0,25 .

Ou seja, para encontrar quanto vale 25 % de 40 alunos basta fazer:

X = 40 ∙ 0,25

X = 10

Sacou!?

Vamos pensar você quer comprar uma roupa de 70 reais, mas ai tu descobre que ela está com 32 % de desconto, qual o valor desse desconto?

Usando o macete que temos é que 32 % = 32 100 = 0,32  

Como queremos saber o valor desse desconto ( Y ) , vamos calcular 32 % de 70, ou:

Y = 70 ∙ 0.32

Y = 22.4

Ou seja, a roupa vai ter um desconto de R $   22,4 .

Outros problemas envolvendo porcentagem

Acabamos de ver como resolver problemas simples envolvendo porcentagem.

Mas o que fazer quando queremos achar uma porcentagem dentro de outra porcentagem?

Se liga nesse exemplo:

O quintal de uma casa equivale à 25 % do terreno total e o proprietário gostaria de construir uma área de churrasqueira equivalente à 70 % do quintal. Qual é a porcentagem da área de churrasqueira em relação ao terreno todo?

Aplicação

Nesse problema temos que a área de churrasqueira vale 70 % de 25 % da área total.

Como vimos anteriormente, 70 % = 0,7 e 25 % = 0,25 , logo para saber quanto é 70 % de 25 % precisamos multiplicar as duas porcentagens:

X = 0,7 ∙ 0,25

X = 0,175

X = 0,175

Beleza, mas o que problema pergunta pra gente é a porcentagem, e agora?

Moleza, basta multiplicar por 100 % !

X = 0,175   ∙ 100 %

X = 17,5 %

A área de churrasqueira equivale à 17,5 % do total do terreno.

Pronto, agora também sabemos resolver esses problemas malucos que dão um nó na nossa cabeça.

E aí meu querido, bora fazer uns exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Autoria própria.

Determine qual das afirmativas abaixo está incorreta:

a) 1 % de X é o mesmo que X 100

b) 35 corresponde à 25 % de 140 .

c) 60 % de X é o mesmo que ( X ∙ 0,060 ).

d) 45 % de X é o mesmo que ( X ∙ 0,45 ).

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Passo 1

Letra a)

Correta!

Para comprovar isso podemos tomar X = 100 , desse modo teremos

X = 100 100

X = 1

Ou seja, 1 % de 100 = 1 , da mesma forma 1 % de 200 = 2 e assim vai...

Passo 2

Letra b)

Correta!

Nessa alternativa, 140 equivale à 100 % e queremos provar que 35 equivale à 25 % de 140 , portanto, tomamos 35 = X e montamos a regra de 3:

140 X = 100 25

Multiplicamos cruzado temos:

100 X = 140 ∙ 25

100 X = 3.500

X = 3.500 100

X = 35

Portanto, 35 equivale à 25 % de 140 .

Passo 3

Letra c)

Incorreta!

Para sabermos quanto vale 60 % precisamos dividir 60 por 100 .

X = 60 100

X = 0,60

0,060 ≠ 0,60 , então, a alternativa está incorreta.

Passo 4

Letra d)

Correta!

Aqui, repetimos o procedimento da letra anterior:

X = 45 100

X = 0,45

Portanto, a alternativa está correta.

Resposta

Letra c).

Exercício Resolvido #2

Autoria própria.

Uma loja de calçados realizará uma promoção de 40 % de desconto em todos os produtos da loja:

a) Qual será o novo valor de um sapato que antes custava 120,00 reais?

b) Qual será o desconto sobre um sapato que custa 220,00 reais?

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Passo 1

Letra a)

Para saber o preço final do sapato precisamos antes saber de quanto será o desconto.

Temos que 40 % = 40 100 = 0,4

Portanto, para saber o desconto basta multiplicar 0,4 pelo valor total do sapato:

X = 120 , 00 ∙ 0,4

X = 48 , 00

O desconto será de 48,00 reais.

Passo 2

Agora precisamos apenas subtrair o valor do desconto no valor inicial do sapato:

X = 120 , 00 - 48,00

X = 72,00

Passo 3

Letra b)

Assim como na letra anterior, precisamos encontrar o valor do desconto sobre o produto.

Como já sabemos que 40 % = 0,4 , basta multiplicarmos pelo valor total do sapato:

X = 220,00 ∙ 0,4

X = 88,00

Resposta

a) 72,00 reais.

b) 88,00 reais.

Exercício Resolvido #3

Autoria própria.

Após uma pesquisa realizada em uma sala de 40 alunos, descobriu-se que 40 % dos alunos preferem jogar futebol, 20 % preferem jogar vôlei, 15 % preferem jogar queimada e o restante não gostam de nenhum dos três anteriores. Sabendo disso, responda:

a) Quantos alunos preferem jogar vôlei?

b) Quantos alunos preferem jogar futebol ou queimada?

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Passo 1

Letra a)

O enunciado nos diz que 20 % dos alunos preferem jogar vôlei e que a sala possui um total de 40 alunos.

Temos que 20 % = 20 100 = 0,2 .

Ou seja, para sabermos a quantidade de alunos que preferem jogar vôlei basta multiplicarmos 0,2 pelo total de alunos da sala:

X = 40 ∙ 0,2

X = 8

Passo 2

Letra b)

Como o enunciado pede para calcularmos o número de alunos que preferem futebol ou queimada, devemos primeiramente somar a porcentagem de alunos que preferem cada uma das atividades:

Futebol = 40 %

Queimada = 15 %

X = 40 + 15

X = 55 %

Passo 3

Já achamos que a porcentagem de alunos que preferem futebol ou queimado é de 55 % .

Sabemos que 55 % = 55 100 = 0,55 .

Sendo assim, devemos multiplicar 0,55 pelo total de alunos para saber a resposta:

X = 40 ∙ 0,55

X = 22

Resposta

a) 8 alunos.

b) 22 alunos.

Exercício Resolvido #4

Autoria própria.

Um comerciante tinha um faturamento de 3.000,00 reais ao mês. Devido às compras de natal, seu faturamento aumentou 20 % em dezembro. No mês de janeiro o movimento diminuiu e houve uma queda de 10 % em relação ao mês de dezembro. Qual foi o faturamento do comerciante no mês de janeiro?

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Passo 1

Então, galerinha, nesse exercício nós vamos ter que fazer duas contas de porcentagem. A primeira é para achar o faturamento de dezembro, e baseado nesse valor vamos fazer a nossa segunda conta para calcular o faturamento de janeiro.

Lembra que

20 % = 20 100 = 0,2

Sendo assim, para achar quanto é 20 % de 3.000 , podemos apenas multiplicar 0,2 pelo faturamento inicial:

X = 3.000,00 × 0,2

X = 600

Como, ele faturou 20 % a mais, agora basta somar o valor encontrado ao faturamento inicial:

X = 3.000,00 + 600,00

X = 3.600,00

Passo 2

Agora vamos usar esse valor como base para calcular o faturamento de janeiro. O raciocínio é análogo ao do passo 1.

O faturamento em janeiro caiu 10 % em relação ao mês de dezembro.

Temos que 10 % = 10 100 = 0,1 .

Então agora vamos multiplicar 0,1 pelo faturamento de dezembro para descobrir o valor da queda no faturamento:

X = 3.600,00 × 0,1

X = 360

Calma que ainda não acabamos!

Passo 3

Lembra que ele disse que o comerciante faturou 10 % a menos? Então, agora temos que subtrair o valor encontrado pelo faturamento no mês de dezembro teremos o faturamento total do mês de janeiro:

X = 3.600,00 - 360,00

X = 3.240,00

Resposta

3.240,00 reais.

Exercício Resolvido #5

(VUNESP 2017/CM de Sumaré).

Para ser aprovado, certo projeto de lei precisa que dos 300 parlamentares, no mínimo 51 % votem sim. No dia da votação, 150 parlamentares votaram sim. Nesse caso,

a) faltaram apenas 2 votos para o projeto ser aprovado.

b) faltaram apenas 3 votos para o projeto ser aprovado.

c) o projeto foi aprovado com 3 votos a mais do que o mínimo necessário.

d) o projeto foi aprovado com 5 votos a mais do que o mínimo necessário.

e) o projeto foi aprovado com exatamente 51 % de votos sim.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para saber o mínimo de parlamentares necessários para aprovar o projeto precisamos saber quanto é 51 % de 300 .

Temos que 51 % = 51 100 = 0,51

X = 0,51 ∙ 300

X = 153

O mínimo de votos necessários seriam 153 .

Passo 2

Como já sabemos o mínimo de votos necessários para que o projeto seja aprovado e também sabemos a quantidade de votos favoráveis, podemos achar a diferença entre eles e encontrar a alternativa correta:

X = 153 - 150

X = 3

Faltaram 3 votos para que o projeto fosse aprovado.

Resposta

Letra b).

Exercício Resolvido #6

Matika – Exercício Porcentagem – Adaptado.

Em dezembro, o lucro de uma empesa sofreu um aumento de  15 % em relação a novembro e houve uma queda de  10 % em janeiro, em relação a dezembro. Qual foi a porcentagem do lucro comparando os meses de janeiro e novembro?

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Passo 1

Entre novembro e dezembro houve um acréscimo de 15 % , ou seja, o faturamento foi de 115 % .

115 % = 115 100 = 1,15

Entre dezembro e janeiro houve uma queda de 10 % , ou seja, o faturamento foi de 90 % em relação ao mês de dezembro.

90 % = 90 100 = 0,90

Passo 2

O principal objetivo dessa questão é termos a interpretação de que um faturamento de um mês depende diretamente do faturamento do mês anterior.

Dessa forma, queremos encontrar quanto vale 90 % (mês de janeiro) de 115 % (mês de dezembro), e para isso basta multiplicar um pelo outro:

X = 1,15 ∙ 0,90

X = 1 , 035

Temos que:

1,035 * 100 % = 103,5 %

Passo 3

Agora, para saber quanto foi o lucro comparando os meses de janeiro e novembro, basta pegar o lucro do mês de janeiro e subtrair o lucro do mês de novembro, que foi de 100 % .

X = 103,5 % - 100 %

X = 3,5 %

Resposta

3,5 % de lucro.

Exercício Resolvido #7

(FGV 2018/BANESTES).

 Após fazer 80 arremessos à cesta, Marcelinho constatou que acertou 70 % deles. Após fazer mais 20 arremessos, ele melhorou seu percentual de acertos para 71 % do total de arremessos. Dos últimos 20 arremessos, Marcelinho errou apenas: 

a) 6. 

b) 5. 

c) 4.

d) 3. 

e) 2.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para começar, precisamos saber quanto vale 70 % de 80 arremessos.

Temos que 70 % = 70 100 = 0,7

Dessa forma, encontramos o resultado multiplicado 0,7 pelo total de arremessos:

X = 80 ∙ 0,7

X = 56

Para saber o número de erros, fazemos o total de arremessos menos o total de acertos

X = 80 - 56

X = 24

Das 80 bolas arremessadas, Marcelinho acertou 56 e errou apenas 24 .

Passo 2

Após isso, ele lançou mais 20 bolas e aumentou seu percentual de acertos para 71 % .

Temos que:

X = 80 + 20

X = 100

O número de arremessos agora é = 100 .

Como 71 % de 100 é o próprio 71 , podemos dizer que o número de acertos total deve ser igual a 71 .

Passo 3

Fazendo o número total de acertos após os novos 20 arremessos menos o número total de acertos, chegaremos ao número total de erros:

X = 100 - 71

X = 29

Como o número de erros anteriormente era de 24 e o número de erros agora é de 29 , podemos encontrar a quantidade de erros que Marcelinho cometeu nas últimas 20 bolas:

X = 29 - 24

X = 5

Resposta

Letra b).

Exercício Resolvido #8

Enem 2015.

Segundo dados apurados no Censo 2010, para uma população de 101,8 milhões de brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010, a renda média mensal apurada foi de R$1202,00. A soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres correspondeu a apenas 1,1% do total de rendimentos desta população considerada, enquanto que a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total.

Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média mensal de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 10% mais pobres?

  1. 240,40
  2. 548,11
  3. 1 723,67
  4. 4 026,70
  5. 5 216,68
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Então, pessoal, repara que o problema nos fornece a renda média de um grupo de 101,8 milhões de brasileiros. Para a gente descobrir o total faturado por esse grupo, basta multiplicar a média pelo total de pessoas.

T o t a l   d e   r e n d i m e n t o s   =   1.202,00   ×   101.800.000

A partir desse valor total de rendimentos, calcularemos o percentual dos   10 % mais pobres, bem como os 10 % mais ricos. Aí, depois acharemos a diferença.

Passo 2

Média dos mais pobres:

O problema diz que a soma dos rendimentos da população 10 % mais pobre equivale a   1,1 % do total. Então vamos calcular quanto é 1,1 %   d o   T o t a l   d e   r e n d i m e n t o s :

T o t a l   d e   r e n d i m e n t o s   d o s   m a i s   p o b r e = 0,011   ×   T o t a l   d e   r e n d i m e n t o s

Mas o problema não quer saber o total de rendimentos dos mais pobres, e sim a média. Mas antes de fazermos esse cálculo, precisamos saber quantas pessoas fazem parte desse grupo, ou seja, precisamos calcular 10 %   d e   101,8   m i l h õ e s   d e   b r a s i l e i r o s .

T o t a l   d e   p e s s o a s   m a i s   p o b r e s   =   0,1   ×   101,8   m i l h õ e s   d e   b r a s i l e i r o s

Agora sim, podemos achar a média:

M é d i a   d e   r e n d i m e n t o s   d o s   m a i s   p o b r e s =   T o t a l   d e   r e n d i m e n t o s   d o s   m a i s   p o b r e T o t a l   d e   p e s s o a s   m a i s   p o b r e s  

M é d i a   d e   r e n d i m e n t o s   d o s   m a i s   p o b r e s = 0,011   ×   T o t a l   d e   r e n d i m e n t o s 0,1   ×   101.800.000

M é d i a   d e   r e n d i m e n t o s   d o s   m a i s   p o b r e s = 0,011   ×   1.202,00   ×   101.800.000 0,1   ×   101.800.000  

M é d i a   d e   r e n d i m e n t o s   d o s   m a i s   p o b r e s = 0,011   ×   1.202,00   0,1     = 132,22   r e a i s

E assim encontramos que o valor recebido pelos 10 % mais pobres é de 132,22 reais.

Passo 3

Precisamos agora fazer a mesma análise para os 10 % mais ricos. Vamos utilizar o mesmo raciocínio.

O problema diz que a soma dos rendimentos da população 10 % mais rica equivale a   44,5 % do total. Então vamos calcular quanto é 44,5 %   d o   T o t a l   d e   r e n d i m e n t o s :

T o t a l   d e   r e n d i m e n t o s   d o s   m a i s   r i c a = 0,445   ×   T o t a l   d e   r e n d i m e n t o s

Agora vamos calcular a média, mas antes precisamos calcular 10 %   d e   101,8   m i l h õ e s   d e   b r a s i l e i r o s .

T o t a l   d e   p e s s o a s   m a i s   r i c a s   =   0,1   ×   101,8   m i l h õ e s   d e   b r a s i l e i r o s

Agora sim, podemos achar a média:

M é d i a   d e   r e n d i m e n t o s   d o s   m a i s   r i c a s =   T o t a l   d e   r e n d i m e n t o s   d o s   m a i s   r i c a s T o t a l   d e   p e s s o a s   m a i s   r i c a s  

M é d i a   d e   r e n d i m e n t o s   d o s   m a i s   r i c a s = 0,445   ×   T o t a l   d e   r e n d i m e n t o s 0,1   ×   101.800.000

M é d i a   d e   r e n d i m e n t o s   d o s   m a i s   r i c a s = 0,445   ×   1.202,00   ×   101.800.000 0,1   ×   101.800.000  

M é d i a   d e   r e n d i m e n t o s   d o s   m a i s   r i c a s = 0,445   ×   1.202,00   0,1     = 5.348,9   r e a i s

E assim encontramos que o valor recebido pelos 10 % mais ricas é de 5.348,9 reais.

Passo 4

Para saber a diferença entre os dois, basta subtrair o valor recebidos pelos mais pobres do valor recebido pelos mais ricos

X = 5.348,9 - 132,22

X = 5.216,68

Resposta

Letra e).

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