Lei dos Senos e Lei dos Cossenos

Teoria Completa

Introdução

Nesse texto, vamos falar de duas leis bem importantes no estudo da trigonometria e que vão nos ajudar na solução de diversos problemas. Vamos começar pela lei dos senos e depois caminhar para as leis dos cossenos.

Lei dos Senos

A lei dos senos não tem muito mistério, mas vamos dividi-la em duas partes para ficar mais fácil de entender o seu conceito. Imagine que temos um triângulo qualquer, pode ser qualquer triângulo mesmo.

Não, você não.

Pode ser isósceles, equilátero, retângulo ou qualquer outro rótulo, como abaixo:

Temos um triângulo qualquer com ângulos  ,   B ^ e C ^ e os lados a , b e c Veja que o lado a é oposto ao ângulo  , pois  aposta para a . O mesmo vale para b que é o lado oposto ao ângulo B ^ e c oposto a C ^ .

A primeira parte da lei dos senos diz que a razão entre um lado oposto e seu ângulo é sempre igual para todo o triângulo. Em outras palavras:

a sen ⁡ Â = b sen ⁡ B ^ = c sen ⁡ C ^

Até aí tudo bem? Sabemos que a razão entre um lado oposto e seu ângulo é sempre igual, mas qual o valor dessa razão? Essa é a motivação para a segunda parte da lei.

Para chegar nesse resultado, imagine que o triângulo está dentro de uma circunferência e todos seus vértices fazem parte desta circunferência, ou seja, tocam nela:

Quando isso acontece dizemos que o triângulo está inscrito na circunferência ou é um triângulo circunscrito. A razão entre o lado oposto e seu ângulo será sempre no triângulo e igual ao diâmetro, ou duas vezes o raio, de uma circunferência em que é possível inscrever o triângulo:

a sen ⁡ Â = b sen ⁡ B ^ = c sen ⁡ C ^ = 2 R

Se um triângulo tem ângulos  , B ^ , C ^ com respectivos lados opostos a , b e c e pode ser inscrito numa circunferência de raio R , então:

a sen ⁡ Â = b sen ⁡ B ^ = c sen ⁡ C ^ = 2 R

Lei dos cossenos

Lembra do Teorema de Pitágoras, né? Ele diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Esse Teorema é realmente muito bom e nos ajuda bastante quando temos dois lados de um triângulo retângulo e queremos achar o terceiro.

Repare, porém, que o triângulo tem que ser um triângulo retângulo. Mas e se precisarmos calcular o terceiro lado de um triângulo que não é retângulo? Aí jovem, entra a lei dos cossenos, que permite qualquer um terceiro lado de qualquer triângulo sabendo seu ângulo oposto e os outros dois.

Para ilustrar, observe o triângulo abaixo:

Se quisermos calcular c conhecendo os outros lados a e b e o ângulo oposto C ^ , usamos a Lei dos Cossenos, que diz:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos ⁡ C ^

Ou seja, o quadrado de um lado de um triângulo qualquer é a soma do quadrado dos outros dois lados menos duas vezes o produto deles com o cosseno do ângulo oposto.

Repare que quando temos um triângulo retângulo, ainda podemos aplicar a lei dos cossenos.

Para a hipotenusa, teríamos:

h 2 = C O 2 + C A 2 - 2 C O C A cos ⁡ 90 º

Como o ângulo oposto a hipotenusa é 90 º e cos ⁡ 90 º = 0 , tudo se resume a:

h 2 = C O 2 + C A 2

Que é o bom e velho Teorema de Pitágoras. Dessa maneira, o Teorema de Pitágoras passa a ser um caso particular da lei dos cossenos para quando o triângulo é um triângulo retângulo.

Conseguiu pegar? É importante nos acompanhar nos exercícios agora para colocar em prática tudo que foi visto. Vamos lá!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UVA - Fernando Marinho - Lista 3 - 15

Uma construtora quer colocar uma ponte ligando os pontos A e C em lados diferentes de um rio. Os operários, estando em A , precisam calcular a distância entre esses pontos. Dispunham apenas de um teodolito. Do ponto A. foram até o ponto B , na mesma margem a 2 quilômetros de distância. Os ângulos que obtiveram são C Â B   =   75 º e C B ^ A   =   60 º . Determine a distância entre A e C .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, a primeira coisa a fazer é esboçar o problema. É formado um triângulo na seguinte forma:

Sendo que C Â B é o ângulo no vértice A formado pelos lados compostos por C e B e C B ^ A é o ângulo no vértice B formado pelos lados compostos por C e A .

Passo 2

Chamando o ângulo em C de φ , Pela lei dos senos, temos que:

2 sen ⁡ φ = A C - sen ⁡ 60 º

E queremos achar A C - que é justamente a distância entre os pontos A e C . Não sabemos φ e A C - , mas, como a soma dos ângulos de um triângulo é 180 º , concluímos que:

φ + 60 º + 75 º = 180 º ⟹ φ = 45 º

E:

sen ⁡ φ = sen ⁡ 45 º = 2 2

Portanto:

2 sen ⁡ φ = A C - sen ⁡ 60 º ⟹ 4 2 = A C - 3 / 2 ⟹ 4 2 ⋅ 3 2 = A C -

Finalmente: A C - = 6 ≈ 2.45 k m

Resposta

A p r o x i m a d a m e n t e   2.4 5   k m

Exercício Resolvido #2

Vestibular UNICAMP-SP

A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada de um rio para uma caixa-d’água a 50 m   de distância. A casa está a 80 m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado entre as direções caixa-d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 60 o . Para bombear água do ponto de captação até a casa são necessários quantos metros de tubulação?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Novamente, vamos tentar esquematizar o problema desenhando o triângulo:

Passo 2

Temos dois lados de um triângulo e queremos achar o terceiro. Também temos o ângulo oposto, logo podemos aplicar a lei dos cossenos aqui:

Chamando a distância R I O - C A S A de d , temos: d 2 = 50 2 + 80 2 - 2 ⋅ 50 ⋅ 80 ⋅ cos ⁡ 60 º

Agora é só substituir: d 2 = 2500 + 6400 - 8000 ⋅ 1 2 = 8900 - 4000 = 4900

Logo:

d = ± 4900 = 70 m

Consideramos só a parte positiva da raiz porque trata-se de uma distância!

Resposta

d = 70 m

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Na figura abaixo A B = 5 d m , A D = 5 7 d m , D B C = 60 o e D C A = 90 o . Qual a medida de C D ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nessa nem precisamos esquematizar o problema, já o temos em mão. Vamos ignorar as unidades por enquanto e visualizar o que importa: A B = 5 A D = 5 7 D B C = 60 o D C A = 90 o

Marcando isso tudo na figura:

Passo 2

A partir desses valores, podemos encontrar os outros. Veja que:

D B C + A B D = 180 º

Logo:

A B D = 180 º - D B C = 180 - 60 = 120 º

Com esse ângulo, podemos usar a lei dos cossenos para achar D B :

5 7 2 = 5 2 + B D 2 - 2 ⋅ 5 ⋅ B D ⋅ cos ⁡ 120 º

Pelo círculo trigonométrico, tiramos que:

cos ⁡ 120 º = - cos ⁡ 60 º = - 1 2

Assim:

25 ⋅ 7 = 25 + B D 2 + 5 B D ⟹ B D 2 + 5 B D - 150 = 0

Tendo raízes:

B D = - 15 B D = 10

Mas a única que vale é a positiva, pois é uma medida.

Passo 3

Queremos chegar em C D , mas veja que o triângulo B C D é retângulo, então podemos usar as relações trigonométricas sem medo. Considerando o ângulo D B C = 60 o de referência, C D é o cateto oposto e B D é a hipotenusa. Assim sendo, podemos usar o seno: sen ⁡ 60 º = C D 10 ⟹ 3 2 ⋅ 10 = C D ⟹ C D = 5 3

Relembrando a unidade: C D = 5 3 d m

Resposta

C D = 5 3 d m

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas