Introdução à trigonometria

Teoria Completa

Introdução

Vamos falar agora de trigonometria. O nome pode assustar um pouco, mas não tem nada demais. Basicamente, é o estudo das relações de um triângulo retangulo. Mas o que que eu tenho a ver com as relações desse cara?

Calma, calma. Além do triângulo retângulo ser importante por sí só, seu estudo ajuda a compreender outros fenômenos, como ondas, distâncias e circuferências. Então se ajeita na cadeira e vamos lá!

Relações trigonométricas

Vamos começar então. O triângulo retângulo é um triângulo que tem um dos ângulos igual a 90 º como o triângulo abaixo:

O ângulo representado pelo quadrado é o ângulo de 90 º e φ vai ser o nosso ângulo de análise. A partir dele, temos:

Onde cateto oposto é o lado para qual o ângulo de análise φ aponta.

Já o cateto adjacente é o lado que forma tanto o ângulo φ quanto o ângulo 90 º .

A hipotenusa, por sua vez, é a reta que liga o cateto oposto e o cateto adjacente. Para ficar mais bonito na hora representar algebricamente, vamos chamar o cateto oposto de C O , cateto adjacente de C A e a hipotenusa de h mesmo.

Beleza? A partir disso, podemos definir: sen ⁡ φ = C O h cos ⁡ φ = C A h tg ⁡ φ = C O C A

Que pode ser lido como seno de φ , cosseno de φ e tangente de φ , sempre referido ao ângulo em questão.

Temos também que, associado a isso:

cossec ⁡ φ = 1 sen ⁡ φ = h C O sec ⁡ φ = 1 cos ⁡ φ = h C A cotg ⁡ φ = 1 tg ⁡ φ = C A C O

Que pode ser lido como cossecante de φ , secante de φ e cotangente de φ . Não vá pensar que a secante é 1 sobre seno só porque começa com se hein?! A secante é 1 sobre cosseno! (Dica: se ficar em dúvida, pensa na 3ᵃ letra da palavra: a 3ᵃ letra de secante é c, então é inverso do cosseno. A 3ᵃ letra de cossecante é s, então é o inverso do seno. )

Vamos prosseguir? Veja que:

sen ⁡ φ = C O h ⟹ C O = h ⋅ sen ⁡ φ

cos ⁡ φ = C A h ⟹ C A = h ⋅ cos ⁡ φ

Substituindo esses valores na tangente:

tg ⁡ φ = C O C A = h ⋅ sen ⁡ φ h ⋅ cos ⁡ φ ⟹ tg ⁡ φ = sen ⁡ φ cos ⁡ φ

A mesma ideia segue para a cotangente também:

cotg ⁡ φ = cos ⁡ φ sen ⁡ φ

Opa! Vamos embalar agora. Lembra do Teorema de Pitágoras? Ele diz que:

h 2 = C O 2 + C A 2

Também substituindo:

h 2 = h ⋅ sen ⁡ φ 2 + h ⋅ cos ⁡ φ 2 ⟹ h 2 = h 2 sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ

Dividindo tudo por h 2 , chegamos na Relação Fundamental da Trigonometria:

sen 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ = 1

Esse nome imponente não está aí a toa, essa relação é, de fato, muito importante. Lembre dela. Podemos também tirar outras relações a partir dela. Dividindo-a por cos 2 ⁡ φ :

sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ φ + cos 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ φ = 1 cos 2 ⁡ φ ⟹ tan 2 ⁡ φ + 1 = sec 2 ⁡ φ

Da mesma, maneira, se dividirmos tudo por sen 2 ⁡ φ , temos que: cotg 2 ⁡ φ + 1 = cossec 2 ⁡ φ

Senos, cossenos e tangentes notáveis

O seno, cosseno e tangente não possuem uma relação linear, como veremos mais a frente. Isso significa que, por exemplo:

sen ⁡ 60 º = sen ⁡ 2 ⋅ 30 º ≠ 2 sen ⁡ 30 º

Para achar o seno de um ângulo você pode recorrer a boa e velha calculadora ou, quando ela não estiver disponível (julgo sempre quando você precisa) recorrer a uma tabelinha simpática de seno, cosseno e tangente de ângulos comuns nos problemas.

Como a calculadora é o Pokémon raro das provas, você precisa ter a tabelinha bem firme na cabeça! Lá vai:

Se você não se lembra nem do que tomou hoje no café da manhã, não tem problema. Grave somente as colunas do seno e cosseno e lembre que a tangente é razão entre eles.

Se mesmo assim bater um branco e só lembrar de uma coluna, use a relação fundamental da trigometria para achar o resto.

Tudo bem? Nos vemos nos exercícios agora!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UVA - Fernando Marinho - Lista 3 - 13

Uma escada de 8 metros de comprimento está apoiada em uma parede, encostando num ponto a 4 metros do chão. Qual é o ângulo de inclinação da escada em relação a parede?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A escada está para a parede formando um triângulo retângulo da seguinte forma:

Em relação ao ângulo φ , temos o cateto adjacente. Cateto adjacente e não oposto pois o   φ está na parte de cima do triângulo. Além dele, temos a hipotenusa. Juntando os dois, podemos calcular o cosseno: cos ⁡ φ = 4 8 = 1 2

Passo 2

Para achar o ângulo, basta pensar: qual o ângulo cujo cosseno é ½ ? Para responder a isso vamos usar a nossa querida tabelinha!

A resposta é φ = 60 º e, portanto o ângulo será esse.

Resposta

60 o

Exercício Resolvido #2

[Temas Selectos /Lumbreras-Traduzido e Adaptado]

Fatore e simplifique a expressão:

T = s e n 2 x c o s 2 x + cos 4 ⁡ x + s e n ² ( x ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos usar aquele pulo do gato pra poder resolver! Isolando c o s ² ( x ) , teremos:

T = cos 2 ⁡ x s e n 2 x + cos 2 ⁡ x + s e n 2 ( x )

Passo 2

Da Relação Fundamental da Trigonometria, a gente sabe que:

s e n 2 x + c o s 2 x = 1

Assim, teremos:

T = c o s 2 x 1 + s e n ² ( x )

Opa, caímos na mesma relação de novo, agora é só correr pro abraço! Assim, vai sobrar...

T = c o s 2 x + s e n 2 x = 1

Resposta

T = 1

Exercício Resolvido #3

[Temas Selectos /Lumbreras-Traduzido]

Se cossec ⁡ x + cotg ⁡ x = 5 , calcule cossec ⁡ x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que:

cossec ⁡ x = 1 sen ⁡ x   e cotg ⁡ x = 1 tg ⁡ x = cos ⁡ x sen ⁡ x .

Assim, voltando à soma do enunciado, teremos: 1 sen ⁡ x ⏟ cossec ⁡ x + cos ⁡ x sen ⁡ x ⏟ cotg ⁡ x = 5 ∴ 1 + cos ⁡ x sen ⁡ x = 5

O que nos dá:

1 + cos ⁡ x = 5 sen ⁡ x

Passo 2

Lá da Relação Fundamental da Trigonometria, temos que:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Isolando o cos ⁡ x , teremos:

cos ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Tacando lá na nossa equação, teremos:

1 + 1 - sen 2 ⁡ x = 5 sen ⁡ x

1 - sen 2 ⁡ x = 5 sen ⁡ x - 1

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado, teremos:

1 - sen 2 ⁡ x = 25 sen 2 ⁡ x - 10 sen ⁡ x + 1

26 sen 2 ⁡ x = 10 sen ⁡ x

sen ⁡ x ∙ ( 26 sen ⁡ x - 10 ) = 0

Dessa última equação, poderíamos indicar que ou sen ⁡ x = 0 , ou 26 sen ⁡ x - 10 = 0 , o que daria sen ⁡ x = 5 13 .

Maaaassssss....Como estamos interessados em calcular a cossec ⁡ x = 1 sen ⁡ x e, além disso, já partimos dessa premissa lááá na nossa equação, não podemos ter sen ⁡ x = 0 , certo?

Entãããooo

sen ⁡ x = 5 13

Mas como:

cossec ⁡ x = 1 sen ⁡ x ⟹   cossec ⁡ x = 1 5 / 13 = 13 5 U f a !

Resposta

cossec ⁡ x = 13 5

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