Plano Cartesiano

Teoria Completa

Introdução

Você já se perguntou como funciona a localização de um gps ou como um marinheiro consegue se guiar em mar aberto?

A verdade é que existem muitos conceitos e equipamentos por trás disso, mas nos dois casos há uma coisa em comum...

Ambos precisam do Plano Cartesiano.

Mas e quando falamos de matemática, pra que serve essa coisa??

(Jack Sparrow com dúvida porque só usa o plano cartesiano para navegar)

A resposta para essa pergunta é tão grande que é até difícil de falar.

Mas aí vai algumas de suas utilidades:

- Achar pontos no plano e espaço.

- Determinar áreas de figuras geométricas.

- Estudar comportamento de funções diversas.

Como é o Plano Cartesiano

Beleza, mas como é formado o plano cartesiano?

Ele é formado por dois eixos ou duas retas perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 90 ° entre si.

A reta horizontal é chamada de Abscissas e a reta vertical é chamada de Ordenadas.

Obs: Na maioria dos casos, não encontramos os nomes dos eixos com abscissas ou ordenadas, é comum representar as abscissas como X e as ordenadas como Y .

Observe que os eixos se cruzam no ponto em Y = 0 e X = 0 .

Quadrantes

Se analisarmos a disposição dos eixos, percebemos que o plano fica dividido em quatro regiões diferente...

Chamamos essas regiões de Quadrantes:

Relações dos valores dos Quadrantes:

- 1º Quadrante X > 0 e Y > 0 ;

- 2º Quadrante X < 0 e Y > 0 ;

- 3º Quadrante X < 0 e Y < 0 ;

- 4º Quadrante X > 0 e Y < 0 .

Pontos no Plano Cartesiano

Agora que vimos um pouco mais sobre o plano cartesiano, podemos começar encontrar pontos no plano.

Mas o que seria isso?

Imagine que o um navio está à deriva no mar e o capitão precisa indicar o exato ponto onde o navio se encontra para que o resgate seja preciso.

Para isso, ele deve indicar sua latitude e longitude, que pode ser considerado como ponto de abscissas e ordenas.

É comum chamar um ponto no gráfico de Par Ordenado. Esse par é dado pelo conjunto do ponto de abscissas com o ponto da ordenada.

P ( x , y )

Onde:

x → Abscissas.

y → Ordenadas.

Exemplo

O que fazer se nos pedirem para encontrar o ponto P ( - 2,3 ) no plano?

Já sabemos que o ponto - 2 se refere ao eixo x e que o ponto 3 se refere ao eixo y .

Dessa forma, temos:

Para achar a intersecção dos pontos, basta traçar duas perpendiculares aos eixos dos pontos e encontrar o ponto onde elas se cruzam:

E tá pronto!!

Bora fazer uns exercícios de fixação!?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Autoria própria.

Maria fez um mapa da sua escola utilizando o plano cartesiano e marcou o ponto exato em que cada lugar estava:

Qual é a coordenada que representa o bebedouro?

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Passo 1

Para indicar a coordenada exata do bebedouro precisamos indica seu par ordenado, dado pela coordenada do eixo y com a coordenada do eixo x .

Em x , o bebedouro está cinco unidades para frente.

Em y , o bebedouro está quatro unidades para cima.

Portanto, o ponto é dado por ( 5,4 ) .

Resposta

P ( 5,4 ) .

Exercício Resolvido #2

Autoria própria.

Indique o quadrante em que cada ponto se encontra:

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Passo 1

Os quatro quadrantes são divididos da seguinte forma:

- 1º Quadrante X > 0 e Y > 0 ;

- 2º Quadrante X < 0 e Y > 0 ;

- 3º Quadrante X < 0 e Y < 0 ;

- 4º Quadrante X > 0 e Y < 0 .

Os pontos B e C possuem coordenadas ( 1,3 ) e ( 4,3 ) respectivamente.

Como x e y são positivos, os dois pertencem ao 1º quadrante.

Os pontos E e F possuem coordenadas ( - 3,1 ) e ( - 3,4 ) respectivamente.

Como x < 0 e y > 0 , os dois possuem ao 2º quadrante.

O ponto A possui coordenada ( - 3 , - 2 ) .

Como x e y são negativos, o ponto A pertence ao 3º quadrante.

O ponto D possui coordenada ( 2 , - 4 ) .

Como x > 0 e y < 0 , o ponto D pertence ao 4º quadrante.

Resposta

1º Quadrante - B ( 1,3 ) e C ( 4,3 ) .

2º Quadrante - E ( - 3,1 ) e F ( - 3,4 ) .

3º Quadrante - A ( - 3 , - 2 ) .

4º Quadrante - D ( 2 , - 4 ) .

Exercício Resolvido #3

Autoria própria.

Analise a imagem abaixo e escolha a alternativa FALSA:

a) O ponto A não tem deslocamento no eixo x .

b) Os pontos D e C estão equidistantes do ponto E .

c) O ponto F é o que tem o maior deslocamento em y .

d) O ponto D é equidistante aos pontos B e C .

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Passo 1

Vamos analisar cada alternativa separadamente...

Letra a)

Verdadeira!

O ponto a é dado pelo par ordenado ( 0,2 ) , ou seja, não tem deslocamento em x .

Letra b)

Verdadeira!

A distância de D para E e de C para E , são hipotenusas de triângulos equivalentes, tendo cada um de seus catetos com 1 unidade de comprimento.

Letra c)

Verdadeira!

O ponto F é dado pelo par ordenado ( 3,4 ) . Como nenhum outro ponto atinge 4 unidades em y , ele é o que tem o maior deslocamento nesse eixo.

Letra d)

Falsa!

Para se deslocar de D para B é necessário deslocar-se 2 unidades no eixo y e 1 no eixo x .

Já de D para C é necessário deslocar-se 2 unidades no eixo y e 2 unidades no eixo x .

Portanto, as distâncias não são equivalentes.

Resposta

Alternativa d).

Exercício Resolvido #4

Autoria própria.

Calcule o perímetro do triângulo dado pelos vértices A ( 2,1 ) , B ( 6,1 ) , C ( 6,4 ) .

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Passo 1

Podemos representar o triângulo dado a partir dos vértices como:

De A até B temos 4 unidades.

De B até C temos 3 unidades.

Como trata-se de um triângulo retângulo, podemos aplicar Pitágoras para descobrir o valor da hipotenusa.

A C 2 = A B 2 + B C 2

A C 2 = 4 2 + 3 2

A C 2 = 16 + 9

A C 2 = 25

A C = 25

A C = 5

Passo 2

Para saber o perímetro total, basta somarmos os valores de todos os lados.

X = A C + A B + B C

X = 5 + 4 + 3

X = 12

Resposta

12 Unidades.

Exercício Resolvido #5

Autoria própria.

Um triângulo tem seus vértices definidos em A ( 2,4 ) , B ( 4,8 ) e C ( 3,3 ) . Qual é o par ordenado que define o baricentro G desse triângulo?

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Passo 1

Nesse exercício não precisamos nem imaginar como seria esse triângulo, basta aplicar a fórmula do baricentro.

G x = x A + x B + X c 3

G y = y A + y B + y C 3

Para x , temos:

G x = 2 + 4 + 3 3

G x = 9 3

G x = 3

Para y , temos:

G y = 4 + 8 + 3 3

G y = 15 3

G y = 5

Resposta

G ( 3,5 ) .

Exercício Resolvido #6

Autoria própria.

Encontre a área da figura dada pelos pontos A ( 1,1 ) , B ( 3,4 ) , C ( 8,4 ) e D ( 10,1 ) .

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Passo 1

Podemos representar esta figura no plano cartesiano como:

Os pontos A B C D formam um trapézio.

Sabendo que a área do trapézio é dada por A = ( B + b ) ∙ h 2 , sendo:

B → Base maior.

b → base menor

h → Altura

Podemos calcular sua área analisando o plano.

A D = 9

B C = 5

h = 3