Soma e Subtração de Frações

Teoria Completa

Introdução

Dá uma olhada nesse númerozinho aqui

0,2

Esse dai, nós já conhecemosss, ele é um número decimal. Mas e se eu te contar que ele é igual a esse outro camarada aqui:

1 5

Hehe, mas que parada é essa? Isso é o que chamamos de fração, e toda fração equivale a um número decimal.

Mas como fazemos as somas e subtrações dessas frações? Daqui a pouco vamos ver direitinho isso, mas antes vamos ver alguns conceitos básicos de frações.

Frações

Você provavelmente já deve ter escutado muitooo a palavra frações. Mas se fossemos definir, o que é uma fração em si?

A fração nada mais é do que uma parte de um todo. Ou seja, você vai ter um valor que representa o total de algo, mas você só quer apenas uma parte, nesses casos utilizamos frações.

Se nós conseguimos dividir o todo em partes iguais, nós conseguimos representar ele por meio de frações.

Como por exemplo, imagine que você tem uma barra de chocolate e corta ela em quatro pedaços iguais.

O todo dessa barra seria os 4 pedaços iguais que, juntos voltam à barra inteira.

Porém você decide comer apenas 1 desses pedaços, ou seja, você comeu apenas um pedaço desse total, esse pedaço é a parte que você selecionou do todo.

Assim, a fração que representa a quantidade que você comeu é:

1 4

Belezinha, outra coisa que precisamos saber é como chamamos cada parte de uma fração :

a b

O a nós chamamos de numerador e o b chamamos de denominador.

O denominador sempre vai ser a quantidade de partes iguais na qual dividimos (ou repartimos) o todo e o numerador vai ser o quanto foi usado dessas partes.

Simplificação de frações:

Outra coisa que é importante quando falamos de fração é a simplificação. Ou seja, nós vamos simplificá-la até chegarmos numa fração irredutível (Na qual, não conseguiremos simplificar mais).

Ok, mas como que nós fazemos essa simplificação?

Basta você dividir o numerador e o denominador por um múltiplo em comum a ambos. Você vai repetir isso até chegar ao ponto onde não existe um múltiplo comum ao denominador e numerador (é o ponto que chegamos à fração irredutível).

Exemplo, vamos simplificar a fração:

80 248

Note que de 80 e 248 são múltiplos de 2, logo vamos “simplificar por dois” (ou dividir por dois) o numerador e denominador.

80 ÷ 2 248 ÷ 2 = 40 124

Novamente, conseguimos simplificar por 2

40 ÷ 2 124 ÷ 2 = 20 62

Simplificando por 2 mais uma vez :

20 ÷ 2 62 ÷ 2 = 10 31

Prontinho, 10 31   é a fração irredutível de 80 248 .

Uma coisa que é importante quando se trata de frações é que quando você chegar ao resultado final de uma questão, você sempre terá que verificar se sua fração é irredutível, se não for, é necessário fazer a simplificação.

MMC

Antes de partirmos para as somas e subtrações, é necessário que você entenda BEM o que é o Mínimo múltiplo comum ou mais conhecido por MMC.

Ou seja, o MMC é uma operação feita pra encontrar o menor número, excluindo o zero, que seja múltiplo dos valores que temos. E no caso das frações o MMC sempre vai ser feito entre os denominadores.

Beleza, mas como é essa operação?

Vamos pensar nos números 2 , 5 e 10  

1º Passo: Colocar os números um do lado do outro e fazer uma reta à direita dos números, com isso você vai escolher um número primo (2, 3,5...), que divida pelo menos um dos números do lado esquerdo. Depois disso, a gente faz a divisão de cada um dos números do lado esquerdo pelo numero primo que escolhemos, escrevendo os resultados embaixo (se a divisão não for exata apenas repetimos o número).

Vamos repetir esse passo até que todos os números ao lado esquerdos sejam iguais a 1.

2º Passo: Para descobrirmos o MMC, basta multiplicarmos os valores que temos do lado direito.

Logo o MMC entre 2 , 5 e 10 é 10.

Soma e subtração de Frações

Vamos separas em três casos

1º Caso: Soma e subtrações de frações com denominadores iguais

Quando temos denominadores iguais, nós vamos simplesmente “manter” o valor do denominador e somar (ou subtrair) os numeradores.

2º Caso: Soma e subtrações de frações com denominadores diferentes

A ideia geral é você aplicando algumas operações, você transforme cada uma das frações envolvidas em outra equivalente. Da forma que TODAS as frações que você estiver somando ou subtraindo fique com o mesmo denominador.

Por exemplo, como fazemos.

1 2 - 1 3

Você vai seguir esses passos:

  1. Calcular o MMC entre os denominadores, esse MMC será o nosso novo denominador.
  2. Vamos pegar o valor do MMC, dividir pelo denominador de cada uma das frações (uma de cada vez) e multiplicar pelo valor do numerador.
  3. Esse valor será o novo numerador de cada uma das nossas frações.

  4. Teremos então duas novas frações, com o mesmo denominador, agora é só somar ou subtrair normalmente.

Resolvendo nosso exemplo:

1 2 - 1 3

  1. Precisamos calcular o MMC entre os denominadores 2 e 3
  2. Logo temos que o MMC é seis, ele vai ser nosso denominador novo.

  3. Vamos pegar o valor do MMC, dividir pelo denominador de cada uma das frações (uma de cada vez) e multiplicar pelo valor do numerador.
  4. Para a primeira fração:

    Para a segunda fração:

  5. Agora é só subtrair essas novas frações:

3º Caso: Soma e subtrações de frações com números inteiros

Vale lembrar, que todo número inteiro pode ser representado como uma fração basta apenas colocarmos o número 1 no denominador.

Por exemplo,

32 = 32 1

Logo, para fazermos a soma sempre vamos utilizar ele em forma de fração.

Feito isso, agora é só fazer a mesma conta para somarmos ou subtraímos frações com denominadores diferentes.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Encontre o MMC entre

50 , 270 , 30

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Passo 1

Vamos colocar os números um do lado do outro e uma reta

Passo 2

Na direita você vai dividir pelo menor número primo ( 2, 3, 4,5 ...) múltiplo dos números que estão á esquerda ( se o não houver divisão exata, você simplesmente repete o número).

Passo 3

Para descobrirmos o MMC, basta multiplicarmos os valores que temos do lado direito.

Resposta

1350

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Encontre a fração irredutível :

  1. 27 63
  2. 52 6 8
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Passo 1

Para encontarmos a fração irredutível, precisamos simplificar a fração, ou seja dividir o numerador e multiplicador, por um número múltiplo comum entre ambos.

Passo 2

  1. Podemos começar simplificando por 3

27 63 = 27 ÷ 3 63 ÷ 3 = 9 21

Novamente conseguimos simplificar por 3:

27 63 = 27 ÷ 3 63 ÷ 3 = 9 ÷ 3 21 ÷ 3 = 3 7

Não conseguimos simplificar mais, logo 3 7 é a fração irredutível.

Passo 3

  1. Podemos começar simplificando por 2

52 6 8 = 52 ÷ 2 68 ÷ 2 = 26 34

Novamente, simplificando por 2:

52 68 = 52 ÷ 2 68 ÷ 2 = 26 34 = 13 17

Não conseguimos simplificar mais, logo 13 17 é a fração irredutível.

Resposta

  1. 3 7
  2. 13 17

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Faça a subtração

3 - 2 5

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Passo 1

Lembrando que:

3   = 3 1

Basta resolvermos:

3 1 - 2 5

Passo 2

  1. Vamos calcular o MMC dos denominadores 1 e 5:
  2. Passo 3

  3. Vamos pegar o valor do MMC, dividir pelo denominador de cada uma das frações (uma de cada vez) e multiplicar pelo valor do numerador.
  4. Para a primeira fração:

    Para a segunda fração:

    Passo 4

  5. Subtraindo:

Resposta

13 5

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Resolva:

5 3 + 1 2 - 1 7

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Passo 1

  1. Vamos encontrar o MMC dos denominadores :

Passo 2

  1. Vamos pegar o valor do MMC, dividir pelo denominador de cada uma das frações (uma de cada vez) e multiplicar pelo valor do numerador.

Para a primeira fração:

Para a segunda fração:

Para a última fração :

Passo 3

Prontinho agora é so resolver essa expressão:

Resposta

85 42

Exercício Resolvido #5

GIOVANNI JR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da Matemática 6º Ano. ED. Renovada. São Paulo, SP: FTD, 2009. pp.174

O mês de Setembro tem 30 dias. Já se passaram 7 10 do número de dias do mês. Quantos dias ainda faltam para terminar o mês de setembro?

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Passo 1

Vamos relembrar que a fração é uma parte de um todo, aonde o todo é dividido em partes iguais.

Quando temos uma fração, o denominador sempre vai ser a quantidade de partes iguais na qual dividimos (ou repartimos) o todo e o numerador vai ser o quanto foi usado dessas partes.

Nesse caso 30 dias representa o total (ou o todo) de dias do nosso mês. A fração mostra que você repartiu esses 30 dias em 10 partes iguais.

Assim, precisamos saber quantos dias têm em cada uma dessas partes.

Pra isso é só pegar os 30 dias e dividir em 10 partes, ou seja:

30 ÷ 10 = 3

Isso mostra que o mês de setembro foi dividido em 10 grupos, cada um com três dias.

Passo 2

O enunciado também fala que já se passaram (ou que foi usado) 7 partes das 10, sabendo que cada uma das partes possui 3 dias, temos:

3 × 7 = 21

Assim já se passaram 21 dias de setembro

Passo 3

Agora falta descobrir quantos dias faltam para acabar o mês, sabemos que ele tem 30 dias e já se passaram 21, logo faltam:

30 - 21 = 9

9 dias para o mês acabar

Resposta

9 dias

Exercício Resolvido #6

GIOVANNI JR, José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da Matemática 6º Ano. ED. Renovada. São Paulo, SP: FTD, 2009. pp.190

Todos os 9 capítulos do livro que estou lendo têm a mesma quantidade de páginas. Sabendo que eu já li 5 capítulos, responda:

  1. Que fração do livro eu já li?
  2. Que fração do livro falta para eu terminar a leitura?
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Passo 1

  1. O nosso todo é o livro inteiro, e ele foi dividido em 9 capítulos iguais, logo esse vai ser o denominador da nossa fração. E desses já lemos 5 capítulos.
  2. Assim, já lemos:

    5 9

    Do livro.

    Passo 2

  3. Para que termine o livro, você precisa ler os 9 capítulos, ou seja, o livro completo é representado por:

9 9

E você já leu 5 9 do livro, por isso faltam para terminar:

9 9 - 5 9

Como são denominadores iguais, vamos manter o denominador e subtrair os numeradores:

9 9 - 5 9 = 9 - 5 9 = 4 9

Assim faltam quatro nonos do livro para terminar

Resposta

  1. 5 9
  2. 4 9

Exercício Resolvido #7

Ribeiro, Jackson; Matemática 6º Ano- Projeto RADIX . São Paulo, SP: Scipione, 2009. pp.135

O tanque de combustível de um veículo estava vazio e foi abastecido com 1 3 de sua capacidade de álcool e 2 5 de gasolina.

  1. Com que fração da capacidade do tanque o veículo foi abastecido?
  2. Que fração da capacidade do tanque faltou para que ele ficasse cheio?
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Passo 1

  1. O tanque vazio foi abastecido com 1 3 de álcool e 2 5 de gasolina, assim o total que foi abastecido é de:
  2. 1 3 + 2 5

    Para resolver essa soma, vamos encontrar o mmc dos denominadores 3 e 5:

    1º Passo: Vamos colocar os números (3 e 5) um do lado do outro e fazer uma reta á direita deles, depois é só ir escolhendo números primos que divida pelo menos um dos números do lado esquerdo e fazer a divisão pelo primo escolhido.

    Vamos escolher o numero primo 3, por que conseguimos dividir o número 3 que temos na esquerda. Feito a divisão vamos só repetir embaixo. Como 5 ÷ 3 não é exato, vamos apenas repetir o 5.

    Escolhendo outro primo.

    2º Passo: Para descobrirmos o MMC, basta multiplicarmos os valores que temos do lado direito.

    Logo o mmc entre 3 e 5 é 15

    Agora, vamos pegar o valor do MMC, dividir pelo denominador de cada uma das frações (uma de cada vez) e multiplicar pelo valor do numerador.

    Para a primeira fração:

    Para a segunda fração: