Operações com vetores

Teoria Completa

Soma entre vetores- regra do paralelogramo

Fala minha genteee, já vimos o que é um vetor, e agora vamos ver algumas operações que podemos fazer com eles.

Para a soma, temos duas opções:

  • Regra do paralelogramo
  • Fechamento do triângulo

Vamos começar, imagine dois vetores:

E você quer fazer a soma deles, tá MAS COMO ?

Primeiro vamos usar a regra do paralelogramo:

A ideia é a seguinte, primeiro você vai colocar os vetores saindo de uma mesma origem. Lembrando que se não mudarmos nem o módulo, nem a direção e nem o sentido de um vetor, ele continua sendo igual.

Então, vamos arrastar os vetores para deixar eles com a mesma origem, lembrando-se de não mudar nenhuma das características do vetor que queremos (basicamente só vamos “desenhar” ele em outro lugar).

Feito isso, agora vamos fazer uma reta tracejada paralela ao vetor u → , que começa na extremidade do vetor · .

Agora, também fazemos uma linha tracejada, mas agora paralelo ao vetor v → , e que começa na extremidade do vetor u → :

Essa figura que acabamos de formar é um paralelogramo, é por isso que tem esse nome hahaha.

A soma desses vetores é a reta que começa na origem O e termina no encontro das linhas tracejadas:

E nesse caso, se quisermos saber o valor do módulo (comprimento) da soma, vamos usar essa formulazinha aqui (vamos chamar o vetor u → + v → de R → ):

R 2 = u 2 + v 2 + 2 × u × v × c o s θ

Onde:

R é o módulo da soma

u e v são os módulos de cada um dos vetores.

θ é o ângulo entre os vetores u e v (quando ambos estão na mesma origem).

EX:

Dois vetores têm direções perpendiculares, u → com módulo 3 e v →   com módulo 5, calcule o vetor resultante :

Pela regra do paralelogramo, vamos usar a fórmula

R 2 = u 2 + v 2 + 2 × u × v × c o s θ

Onde temos :

u = 3

v = 5

θ = 90 ° ou perpendicular.

R 2 = 3 2 + 5 2 + 2 × 3 × 5 × c o s 90

Como temos que cos ⁡ 90 = 0 ,

R 2 = 9 + 25

R = 34

Prontinho então a regra do paralelogramo tem os seguintes passos;

1º Colocar os vetores saindo de uma mesma origem

2º Fazer as linhas tracejadas

3º Encontrar o vetor correspondente a soma

Soma entre vetores- regra do fechamento do triangulo

A segunda maneira de resolver é por meio do fechamento do triangulo:

Vamos usar os mesmos vetores

Agora ao invés de colocar ambos saindo de uma mesma origem, vamos colocar um dos vetores saindo da extremidade do outro:

Se quisermos colocar o vetor v → na extremidade do u → , também da certo.

Feito isso a soma é o vetor que começa na origem do primeiro vetor e que termina na extremidade do ultimo, ou seja,

:

Nós realmente fechamos para formar um triangulo.

Se quisermos saber o módulo da soma usamos :

R 2 = u 2 + v 2 - 2 × u × v × c o s θ

Onde :

R é o módulo da soma

u e v são os módulos de cada um dos vetores.

θ   é o ângulo entre os vetores u e v.

Subtração entre vetores:

Agora, queremos subtrair os vetores:

Ou seja, queremos saber quanto é u → - v → , para resolver temos que lembrar que

- v →

É o vetor oposto de v → , ou seja, eles têm mesmo módulos e direção, mas sentidos contrários.

Assim basta vermos essa diferença como uma soma:

u → + ( - v → )

Ai é só inverter a direção da seta do vetor v → no desenho, e depois é só resolver a soma.

Multiplicação por um escalar:

Um escalar é um número qualquer que estamos acostumados ( 1, 8, -7 ...)

Quando multiplicamos um vetor por um escalar, ele apenas vai mudar seu tamanho e o resultado do módulo vai ser o escalar multiplicado do módulo do próprio vetor.

Ex:

Ou seja, se temos um vetor u → , e queremos multiplica-lo por 2. Nós fazemos ele com o dobro do seu tamanho. E seguimos essa ideia para todo escalar.

E se for dado o valor do módulo vetor e quiser saber o valor do resultado do módulo de 2 u → , vamos simplesmente multiplicar o módulo pelo escalar.

Por exemplo:

u = 3

2 u = 2 × 3 = 6

É isso, partiu exercíciosss ^~^

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Exercício Resolvido #1

CHIQUETTTO, Marcos José;Física São Paulo, SP: Spicione, 2000. pp.50

Dois vetores A → e B → têm direções perpendiculares. Seus módulos são A = 6 e B = 8 . Determine o módulo da soma S →   = A → + B →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como temos direções perpendiculares, temos algo mais ou menos assim:

E pela regra do paralelogramo a soma tem módulo:

S 2 = A 2 + | B | 2 + 2 × | A | × | B | × c o s θ

E θ é o valor do ângulo entre eles, por estarem perpendiculares:

θ = 90 °

Passo 2

Resolvendo, temos:

S 2 = 6 2 + 8 2 + 2 × 6 × 8 × c o s 90

S = 36 + 64 + 0 = 10

Resposta

10

Exercício Resolvido #2

CHIQUETTTO, Marcos José; Física São Paulo, SP: Scipione, 2000. pp.50

Obtenha a soma de dois vetores A → e B → , de módulos A = 10 e B = 6 , sabendo que ele tem a mesma direção e mesmo sentido.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos dois vetores de mesma direção e sentido:

A soma é feita com a soma do módulo de cada um;

A + B = 10 + 6 = 16

Resposta

16

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Se u = 4 e v = 13 e estão perpendiculares, calcule o módulo de u → + v →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para calcular o resultado, vamos usar essa formulazinha que vem da regra do paralelogramo. Iremos usar essa regra, por que estamos com as origenss ligadas.

u + v 2 = u 2 + | v | 2 + 2 × | u | × | v | × c o s θ

E θ é o valor do ângulo entre eles, por estarem perpendiculares:

θ = 90 °

Passo 2

Agora é só substituir os valores dados:

u + v 2 = 4 2 + 13 2 + 2 × 4 × 13 × c o s 90 = 16 + 169 = 185

Resposta

185

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria.

Sabendo de u = 6 , calcule o módulo dos seguintes itens:

a) 3 u →

b) 1 2 u →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Temos uma multiplicação por um escalar, nós podemos simplesmente pegar o valor do módulo e multiplicar pelo escalar:

| 3 u | = 3 × u = 3 × 6 = 18

Passo 2

b)

Utilizando a mesma ideia:

| 1 2 u | = 1 2 × u = 1 2 × 6 = 3

Resposta

  1. 18
  2. 3

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Se u → = 3 , v → = 10 e θ = 60 ° (ângulo entre os vetores u → e v → ) , calcule o módulo de u → + v →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nesse caso, temos a regra do fechamento o triângulo, uma vez ligando a extremidade de u → a origem de v → formamos um triângulo.

Com isso, para calcular o valor da resultante usamos a formulazinha:

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 - 2 × | u → | × | v → | × c o s θ

Onde, nesse caso temos:

u → = 3 , v → = 10 e θ = 60 °

Passo 2

Substituindo os valores:

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 - 2 × | u → | × | v → | × c o s θ

u → + v → 2 = 3 2 + 10 2 - 2 × 3 × 10 × c o s 60

Resolvendo:

u → + v → 2 = 9 + 100 - 60 × 1 2

u → + v → 2 = 109 - 30

u → + v → 2 = 79

u → + v → = 79

Belezinha ;)

Resposta

  79

Exercício Resolvido #6

CHIQUETTTO, Marcos José;Física São Paulo, SP: Spicione, 2000. pp.50

Obtenha a soma de dois vetores A → e B → , de módulos A = 10 e B = 6 , sabendo que eles tem a mesma direção e sentidos opostos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Podemos ver os dois vetores da seguinte forma:

Como temos sentidos opostos, a soma vira subtração dos módulos.

A - B = 10 - 6 = 4

Resposta

4

Exercício Resolvido #7

CHIQUETTTO, Marcos José;Física São Paulo, SP: Spicione, 2000. pp.51

Dois vetores A → e B → têm módulos A = 100 e B = 40 . Determine o módulo do vetor S →   = A → + B → nos seguintes casos:

  1. A → e B → com a mesma direção e mesmo sentido
  2. A → e B → com a mesma direção e sentidos opostos
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Quando temos a mesma direção e sentido, podemos apenas somar o módulo de cada um dos vetores:
  2. S = A + B = 100 + 40 = 140

  3. Quando temos a mesma direção, mas sentidos opostos, podemos apenas diminuir o módulo de cada um dos vetores:

S = A - B = 100 - 40 = 60

Resposta

  1. 140
  2. 60

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria

Considere dois vetores: um de módulo 30 e outro de módulo 40 . Mostre como deve ser os vetores para que sua soma tenha módulo:

  1. 70
  2. 10
  3. 50
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Se fizermos um vetor mais o outro:
  2. A + B = 70

    Mas para poder somar, precisamos de mesma direção e sentido.

    Passo 2

  3. Se subtrairmos:
  4. B - A = 10

    Assim, precisamos de vetores na mesma direção e sentidos opostos.

    Passo 3

  5. E se eles forem de direção perpendicular temos:

40 2 + 30 2 = 2500 = 50

Resposta

  1. mesma direção e sentido
  2. mesma direção e sentidos opostos
  3. direção perpendicular

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