Regra de 3 Composta

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Teoria

A regra de três composta nos permite resolver problemas matemáticos que envolvem mais de duas grandezas relacionadas entre si, direta ou inversamente.

-Que?! 😖

Olhe esse problema pra ficar mais claro:


Em horas, caminhões são capazes de descarregar sacos de cimento, quantos caminhões serão necessários para descarregar sacos de cimento em horas?

Temos grandezas nesse problema, que são:

  • Horas;
  • Número de caminhões;
  • Número de sacos de cimento;


Se problema apresenta três grandezas diferentes, não podemos usar a regra de 3 simples, ao invés disso, usamos a regra de 3 composta!

Como Fazer Regra de 3 composta - Passo a Passo

Pra a gente entender como calcular a regra de 3 composta, vamos pegar o exemplo que usamos ali em cima!

Em horas, caminhões são capazes de descarregar sacos de cimento, quantos caminhões serão necessários para descarregar sacos de cimento em horas?

Passo 1: Identificar a grandeza que contém a incógnita

A primeira coisa que vamos fazer é identificar qual é a grandeza que contém a incógnita, ela será o nosso produto. As demais grandezas envolvidas no problema serão nosso processo.

Beleza! A pergunta do enunciado é “quantos caminhões serão necessários para descarregar sacos de cimento em horas?”. Então a grandeza que contém a incógnita é a quantidade de caminhões.

Vamos organizar nossas informações:

Grandezas e dados.
Grandezas e dados.

Passo 2: As grandezas são direta ou inversamente proporcionais?

Agora, relacionamos a grandeza que contém a incógnita com as duas outras:

  1. Quanto mais caminhões, mais sacos são descarregados. As grandezas são diretamente proporcionais, portanto, as setas possuem a mesma direção.
  2. Quanto mais horas, menos caminhões são necessários para concluir o trabalho. As grandezas são inversamente proporcionais, portanto, as setas possuem sentidos opostos.

Assim, temos:

Proporcionalidade das grandezas.
Proporcionalidade das grandezas.

Passo 3: Montar a equação

Agora vamos montar a equação! Deixamos a grandeza que possui incógnita no primeiro membro da igualdade e depois o produto da galerinha que restou:

-Agora é só calcular o ?

Calma, ainda não!

Passo 4: Definir a ordem dos componentes

Caso a grandeza do processo seja inversa à grandeza do produto, inverta a ordem das componentes.

Nesse caso, como o número de horas é inversamente proporcional às outras duas grandezas, invertemos a ordem das componentes (colocamos no lugar do ) e montamos a equação:

Passo 5: Calcular o

Até agora temos:

Isolamos o :

Agora é só calcular:

õ

E tá resolvido, para descarregar sacos de cimento em horas, precisamos de caminhões.

Agora, vamos fazer um outro exercício?!

Exercício Resolvido

Se foram empregados  de fios para tecer  de uma maquete de fazenda com  de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir  de uma maquete de fazenda com  de largura?

Regra de 3 Composta com 4 grandezas

-E se ao invés de grandezas, tivermos , dá pra resolver com a regra de composta?!

SIIM! 🤩 E digo mais, o passo a passo é igualzinho da regra de 3 composta pra 3 grandezas!

Vamos ver um exercício resolvido! 👇

Exercício Resolvido:

Uma fábrica automobilística com funcionários e uma carga horária de produz peças em dias. Qual seria a produção em dias com funcionários trabalhando ?

Nossas grandezas são:

  • Dias de trabalho;
  • Número de Funcionários;
  • Carga horária;
  • Número de Peças

A pergunta é “Qual seria a produção em dias…”, então nossa incógnita é o número de peças. Organizamos nossos dados:

Dados
Dados

Todos as grandezas são diretamente proporcionais. Isso é, quanto mais funcionários, mais horas por dia e mais dias, mais peças. Então teremos:

Que é a mesma coisa que fazer aquele x que fazemos em regra de 3 simples:

Esquema: Regra de 3 composta
Esquema: Regra de 3 composta

Isolando o e calculando:

Ou seja, serão produzidas 647 peças!

Bora praticar com mais exercícios?!

Regra de 3 Composta com 4 grandezas

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um jovem compra todos os dias 30,00 reais em ingredientes para fazer 40 trufas e vender pela cidade, caso venda todas as trufas, terá ao final do dia 80,00 reais em trufas vendidas. Quantas trufas ele deverá produzir para ganhar ao final do dia o equivalente à 120,00 reais.

Passo 1

O problema nos apresenta três tipos diferentes de grandezas: Despesas dos ingredientes, número de trufas e total de trufas vendidas. Mas será que esse é um caso de regra de 3 composta?

Vamos analisar:

Como a incógnita está no número de trufas, devemos compará-la com as outras grandezas do problema:

1º Trufas – Ingredientes

Quanto mais trufas produzidas, mais é gasto com ingredientes., portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

2º Trufas – Faturamento.

Quanto mais trufas produzidas, maior será o faturamento, portanto, essas grandezas também são diretamente proporcionais.

Agora vem a sacada...

Como todas as grandezas são diretamente proporcionais, não precisamos aplicar a regra de 3 composta, podemos comparar a quantidade de trufas diretamente com o faturamento e aplicar uma regra de 3 simples.

Passo 2

Agora vamos aplicar a regra de de 3:

40   t r u f a s - 80   r e a i s   e m   v e n d a s

x   t r u f a s - 120   r e a i s   e m   v e n d a s

Multiplicando cruzado temos:

80 x = 40 ∙ 120

Fazendo a multiplicação, ficamos com:

80 x = 4.800

Para isolar o x , vamos passar o 80 para o outro lado dividindo e calcular o valor de x :

x = 4.800 80 = 60   t r u f a s

Precisamos de 60 trufas para ter um faturamento de 120,00 reais.

Resposta

60 trufas.

Exercício Resolvido #2

Em uma obra, 2 pedreiros levam 6 horas para construir um muro de 1,5 m . Quanto horas 3 pedreiros levaram para construir um muro de 2,5 m ?

Passo 1

As grandezas envolvidas no problema são: Número de pedreiros, altura do muro e as horas de trabalho.

Precisamos separa as grandezas entre processo e produto.

O produto sempre é aquele que contém a incógnita.

Passo 2

Em sequência, comparamos cada grandeza do processo com a grandeza do produto.

1º Pedreiros – Horas

Quanto mais pedreiros, menos horas de trabalho, portanto, são grandezas inversamente proporcionais.

2º Tamanho do muro – Horas

Quanto maior o muro, mais horas para construí-lo

Passo 3

Agora, montamos a equação invertendo a ordem das grandezas que possuem seta contrária ao produto:

3 ∙ 1,5 2 ∙ 2,5 = 6 X

4,5 5 = 6 X

Podemos agora multiplicar cruzado e resolver a equação para encontrar o valor de X :

4,5 X = 6 ∙ 5

4,5 X = 30

X = 30 4,5

X ≅ 6,7

O muro será construído em aproximadamente 6,7 horas.

Resposta

6,7 horas.

Exercício Resolvido #3

Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? 

Passo 1

As grandezas envolvidas nesse problema são: Quantidade de impressoras, quantidade de panfletos e tempo de produção.

Devemos primeiramente separar as grandezas do processo e do produto:

O tempo é o produto pois a incógnita está nele.

Passo 2

Agora devemos comparar cada grandeza do processo com o produto:

1º Tempo – Panfletos

Quanto mais panfletos forem imprimidos, maior será o tempo gasto, portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.

2º Tempo – Quantidade de impressoras

Quanto mais impressoras trabalhando, menor é o tempo gasto, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

Passo 3

Por fim, precisamos montar a equação invertendo as grandezas que tem seta contrária ao produto:

1.000 ∙ 3 2.000 ∙ 6 = 40 X

3.000 12.000 = 40 X

Multiplicando cruzado, temos:

3.000 X = 40 ∙ 12.000

3.000 X = 480.000

X = 480.000 3.000

X = 160

Resposta

160 minutos.

Exercício Resolvido #4

Uma equipe de trabalhadores formada por 12 homens extrai 2,4 toneladas de minério em 25 dias de trabalho. Em quantos dias 18 homens conseguiram extrair 3,8 toneladas de minério

Passo 1

O problema apresenta três tipos de grandezas: Quantidade de homes, quantidade de minério e dias de trabalho.

Para começar precisamos separa as grandezas entre processo e produto. Lembrando que o produto onde se encontra a incógnita.

Passo 2

Agora precisamos relacionar cada grandeza do processo com a grandeza do produto.

1º Homens – Dias

Quanto mais homens, em menos dias o trabalho é feito, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais

2º Quantidade de minério – Dias

Quanto mais dias de trabalho, mais minério é extraído, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

Passo 3

Invertemos as grandezas que tem seta contrária ao produto e montamos a equação:

18 ∙ 2,4 12 ∙ 3,8 = 25 X

43,2 45,6 = 25 X

Agora podemos multiplicar cruzado:

43,2 X = 25 ∙ 45,6

43,2 X = 1.140

X = 1.140 43,2

X ≅ 26,4

Resposta

26,4 dias.

Exercício Resolvido #5

Uma fábrica produz um tecido com 5400 m de comprimento com 90 c m de largura em 50 minutos. Qual será o comprimento do tecido produzido com 1 metro e 20 centímetros de largura em 25 minutos? 

Passo 1

De início, o enunciado nos apresenta três grandezas envolvidas no problema: Comprimento total do tecido, a largura do tecido e o tempo de produção.

Precisamos encontrar quais são as grandezas do processo e do produto. Como sempre, o produto sempre será aquele que contém a incógnita.

Passo 2

Agora devemos comparar cada grandezas do processo com a grandeza do produto:

1º Comprimento – Largura

Quanto maior a largura, menor será o comprimento, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

2º Comprimento – Tempo de produção

Quanto maior o tempo de produção, mais tecido será produzido, portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.

Passo 3

Devemos agora inverter as grandezas com seta contrária ao produto e montar a equação:

1,20 ∙ 50 0,90 ∙ 25 = 5.400 X

60 22,5 = 5.400 X

Multiplicando em cruz, temos:

60 X = 5.400 ∙ 22,5

60 X = 121.500

X = 121.500 60

X = 2.025

Resposta

2.025 m de comprimento.

Exercício Resolvido #6

10 funcionários de uma fábrica de colchões produzem 150 unidades trabalhando 4 dias por semana em um total de 3 semanas. Quantos unidades de colchões serão feitos se 12 funcionários trabalharem por 5 dias na semana em um total de 4 semanas?

Passo 1

O problema nos apresenta quatro grandezas diferentes dessa vez: Funcionários, colchões produzidos, dias e semanas.

Da mesma maneira, precisamos encontrar quais são as grandezas do processo e qual é a grandeza do produto.

Como a incógnita é o número de colchões produzidos, essa grandeza será nosso produto.

Passo 2

Nesse momento, devemos comparar todas as grandezas contidas no processo com a grandeza do produto e ver qual é a relação entre elas:

1º Colchões – Funcionários

Quanto mais funcionários, mais colchões produzidos, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

2º Colchões – Semanas

Quanto mais semanas trabalhadas, mais colchões produzidos, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

3º Colchões – Dias

Quanto mais dias trabalhados, mais colchões produzidos, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

Passo 3

Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo não precisamos inverter nenhuma das grandezas.

Montando a equação, temos:

10 ∙ 3 ∙ 4 12 ∙ 4 ∙ 5 = 150 X

120 240 = 150 X

Agora podemos multiplicar cruzado:

120 X = 150 ∙ 240

120 X = 36.000

X = 36.000 120

X = 300

Resposta

300 colchões.

Exercício Resolvido #7

Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias? 

Passo 1

Esse é um daqueles problemas que requer um pouco de interpretação.

O enunciado nos das três grandezas: Empregados, marmitas e dias. A quantidade de marmitas é dada implicitamente, porém basta multiplicar os dias pelo total de empregados:

X = 25 ∙ 750

X = 18.750

Agora temos todos os valores envolvidos no problema.

Passo 2

Entretanto, perceba que o número de marmitas não tem importância, pois cada empregado come a mesma quantidade de marmita.

Dessa forma, basta compararmos o número de empregados com o total de dias.

Quanto mais empregados, as marmitas são consumidas em menos dias, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

Passo 3

Como as grandezas são inversamente proporcionais, montamos a equação invertendo um dos lados:

750 + 500 750 = 25 X

1.250 750 = 25 X

Por fim, multiplicamos cruzado:

1.250 X = 25 ∙ 750

1.250 X = 18.750

X = 18.750 1.250

X = 15

As marmitas duraram por apenas 15 dias.

Resposta

15 dias.

Exercício Resolvido #8

Se foram empregados 4 K g de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 c m de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 1,2 m largura?

Passo 1

As grandezas envolvidas nesse problema são: Quantidade de fios (dada em quilogramas), comprimento (dado em metros) e largura (dado em metro e em centímetro).

A nossa atenção em exercícios como esse precisa ser na unidade de medida. Como a largura é dado tanto em metros como em centímetro, precisamos transformar uma das medias para que seja equivalente à unidade da outra.

Não faz diferença aqui se vamos trabalhar com metros ou centímetro, porém vamos escolher a unidade metro.

Temo que 1 m = 100 c m , logo:

80 c m = 80 100 = 0,8 m

Passo 2

Agora que já transformamos as medidas podemos montar a tabela separando as grandezas do processo e do produto:

Como a incógnita está na grandeza do quilo, ele se torna o produto.

Com a tabela montada, podemos encontra as relações entre aas grandezas do processo com a grandeza do produto:

1º Quilo – Largura

Quanto mais quilos de fio, maior poderá ser a largura, portanto, são grandezas diretamente proporcionais.

2º Quilo – Comprimento

Quanto mais quilos, maior poderá ser o comprimento, portanto, também são grandezas diretamente proporcionais.

Passo 3

Como as grandezas são diretamente proporcionais, não precisamos inverter a ordem de nenhuma delas e, portanto, podemos montar a equação:

0,8 ∙ 14 1,2 ∙ 350 = 4 X

11,2 420 = 4 X

Multiplicando cruzado, temos:

11,2 X = 4 ∙ 420

11,2 X = 1.680

X = 1.680 11,2

X = 150

Resposta

150 K g .