Regra de 3 Composta

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Teoria

Introdução

Anteriormente, vimos como duas grandezas podem se relacionar de maneira direta ou indireta e como encontramos essa relação a partir da Regra de 3 Simples.

Mas o que fazer quando precisamos relacionar mais de duas grandezas!?

Decompor as relações de grandezas?

Multiplicar tudo?

Sentar e chorar?

Nada disso, nós usamos a Regra de 3 Composta!!! Ela é extremamente útil quando encontramos problemas com várias relações de grandezas.

Bora ver como ela funciona...

Aplicação

Olhe esse problema:

Em 8 horas, 20 caminhões são capazes de descarregar 1600 sacos de cimento, quantos caminhões serão necessários para descarregar 1250 sacos de cimento em 5 horas?

De início já percebemos que o problema apresenta três grandezas diferentes, sendo assim, não podemos usar a regra de 3 simples, ao invés disso, usamos a regra de 3 composta.

Para começar, construímos uma tabela com todas as grandezas envolvidas no problema e colocamos uma seta (para cima ou para baixo) na grandeza que contém a incógnita:

Após isso, relacionamos a grandeza que contém a incógnita com as duas outras:

1º Quanto mais caminhões, mais sacos são descarregados. As grandezas são diretamente proporcionais, portanto, as setas possuem a mesma direção.

2º Quanto mais horas, menos caminhões são necessários para concluir o trabalho. As grandezas são inversamente proporcionais, portanto, as setas possuem sentidos opostos.

Assim, temos:

Como o número de horas é inversamente proporcional às outras duas grandezas, invertemos a ordem das componentes (colocamos 5 no lugar do 8 ) e montamos a equação:

20 X = 1600 1250 ∙ 5 8

20 X = 8.000 10.000

Finalmente, podemos multiplicar cruzado:

8.000 X = 20 ∙ 10.000

8.000 X = 200.000

X = 200.000 8.000

X = 25

E tá resolvido, para descarregar 1250 sacos de cimento em 5 horas, precisamos de 25 caminhões.

Mais um exemplo:

Uma família com 3 pessoas consome 18   m 3 de água a cada 30 dias. Quantos metros cúbicos de água serão consumidos em uma semana por uma família de 6 pessoas com os mesmos hábitos de consumo?

Agora, temos três outras grandezas que são:

  • Quantidade de pessoas
  • Volume de água consumida
  • Quantidade de dias

Primeira coisa que vamos fazer é montar uma tabelinha com as informações que temos, colocando uma seta na grandeza da nossa incógnita (Nesse caso o volume de água):

Vamos comparar o nosso processo ( Volume de água ), com as outras grandezas :

  1. Se o número de pessoas aumentarem, o volume de água consumida também aumenta ( e vice e versa) . Assim, temos grandezas diretamente proporcionais.
  2. Se o número de dias diminui o volume de água também vai diminuir. Ou seja, também são grandezas diretamente proporcionais.

Assim, nossa tabela fica:

Agora montamos a igualdade (Volume de água = Quantidade de pessoas x Quantidade de dias ):

18 x = 3 6 × 30 7

18 x = 90 42

90 x = 18 × 42

x = 756 90

x ≅ 8.4

Ou seja, é consumido 8.4   m 3 de água.

Resumão

Para fechar, aí vai um resumão para você entender de vez o funcionamento dessa regra.

Vamos dividir em passos...

1º Passo

Identifique qual é a grandeza que contem a incógnita, ela será o nosso produto. As demais grandezas envolvidas no problema serão nosso processo.

2º Passo

Compara o produto com cada grandeza do processo e veja se são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º Passo

Caso a grandeza do processo seja inversa à grandeza do produto, inverta a ordem das componentes.

4º Passo

Multiplicamos as grandezas dos processos:

5º Passo

Por fim, multiplicamos cruzado e resolvemos a equação para descobrir a incógnita.

Isso funciona quando temos mais de 3 grandezas?

Sim!!!

Olhe essa tabela:

Neste caso, todas as grandezas do processo se relacionam diretamente com o produto, logo não precisamos fazer nenhuma inversão nas componentes.

Agora é só seguir os passos e terminar o problema...

Primeiro multiplicamos as componentes do processo:

5 ∙ 6 ∙ 30 7 ∙ 4 ∙ 40 = 520 X

900 1.120 = 520 X

Agora é só multiplicar cruzado e resolver a equação:

900 X = 1.120 ∙ 520

900 X = 582.400

X = 582.400 900

X ≅ 647

São produzidas 647 peças.

Bora mais um exemplo?

Três costureiras trabalhando 9 dias, 8 horas por dia, produzem 15 vestidos. Se 5 costureiras trabalharem por 5 dias, quantas horas elas precisarão trabalhar por dia para produzirem 20 vestidos ?

Agora as grandezas que temos:

  • Quantidade de costureiras
  • Quantidade de dias
  • Quantidade de horas por dia
  • Quantidade de vestidos

1º Passo

Identifique qual é a grandeza que contem a incógnita, ela será o nosso produto. As demais grandezas envolvidas no problema serão nosso processo.

Bom, nós queremos saber quantas horas por dia elas precisarão trabalhar, logo esse é o nosso produto e o resto é o nosso processo.

2º Passo

Compara o produto com cada grandeza do processo e veja se são diretamente ou inversamente proporcionais.

  1. Se aumentarmos o número de costureiras elas precisarão trabalhar menos horas por dia. Assim, são indiretamente proporcionais.
  2. Diminuindo o número de dias, elas terão que trabalhar mais horas. Logo, são indiretamente proporcionais
  3. Se aumentarmos a quantidade de produção de vestidos, vamos ter que aumentar também o número de horas trabalhadas. Assim, temos grandezas diretamente proporcionais.

3º Passo

Caso a grandeza do processo seja inversa à grandeza do produto, inverta a ordem das componentes:

4º Passo

Multiplicamos as grandezas dos processos:

8 x = 5 ∙ 5 ∙ 15 3 ∙ 9 ∙ 20

8 x = 375 540

5º Passo

Por fim, multiplicamos cruzado e resolvemos a equação para descobrir a incógnita.

375 x = 4320

x ≅ 11.52

Essa é a ideia

Agora que tal resolver alguns exercícios para fixar a idéia?

Resumão

Isso funciona quando temos mais de 3 grandezas?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um jovem compra todos os dias 30,00 reais em ingredientes para fazer 40 trufas e vender pela cidade, caso venda todas as trufas, terá ao final do dia 80,00 reais em trufas vendidas. Quantas trufas ele deverá produzir para ganhar ao final do dia o equivalente à 120,00 reais.

Passo 1

O problema nos apresenta três tipos diferentes de grandezas: Despesas dos ingredientes, número de trufas e total de trufas vendidas. Mas será que esse é um caso de regra de 3 composta?

Vamos analisar:

Como a incógnita está no número de trufas, devemos compará-la com as outras grandezas do problema:

1º Trufas – Ingredientes

Quanto mais trufas produzidas, mais é gasto com ingredientes., portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

2º Trufas – Faturamento.

Quanto mais trufas produzidas, maior será o faturamento, portanto, essas grandezas também são diretamente proporcionais.

Agora vem a sacada...

Como todas as grandezas são diretamente proporcionais, não precisamos aplicar a regra de 3 composta, podemos comparar a quantidade de trufas diretamente com o faturamento e aplicar uma regra de 3 simples.

Passo 2

Agora vamos aplicar a regra de de 3:

40   t r u f a s - 80   r e a i s   e m   v e n d a s

x   t r u f a s - 120   r e a i s   e m   v e n d a s

Multiplicando cruzado temos:

80 x = 40 ∙ 120

Fazendo a multiplicação, ficamos com:

80 x = 4.800

Para isolar o x , vamos passar o 80 para o outro lado dividindo e calcular o valor de x :

x = 4.800 80 = 60   t r u f a s

Precisamos de 60 trufas para ter um faturamento de 120,00 reais.

Resposta

60 trufas.

Exercício Resolvido #2

Em uma obra, 2 pedreiros levam 6 horas para construir um muro de 1,5 m . Quanto horas 3 pedreiros levaram para construir um muro de 2,5 m ?

Passo 1

As grandezas envolvidas no problema são: Número de pedreiros, altura do muro e as horas de trabalho.

Precisamos separa as grandezas entre processo e produto.

O produto sempre é aquele que contém a incógnita.

Passo 2

Em sequência, comparamos cada grandeza do processo com a grandeza do produto.

1º Pedreiros – Horas

Quanto mais pedreiros, menos horas de trabalho, portanto, são grandezas inversamente proporcionais.

2º Tamanho do muro – Horas

Quanto maior o muro, mais horas para construí-lo

Passo 3

Agora, montamos a equação invertendo a ordem das grandezas que possuem seta contrária ao produto:

3 ∙ 1,5 2 ∙ 2,5 = 6 X

4,5 5 = 6 X

Podemos agora multiplicar cruzado e resolver a equação para encontrar o valor de X :

4,5 X = 6 ∙ 5

4,5 X = 30

X = 30 4,5

X ≅ 6,7

O muro será construído em aproximadamente 6,7 horas.

Resposta

6,7 horas.

Exercício Resolvido #3

Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? 

Passo 1

As grandezas envolvidas nesse problema são: Quantidade de impressoras, quantidade de panfletos e tempo de produção.

Devemos primeiramente separar as grandezas do processo e do produto:

O tempo é o produto pois a incógnita está nele.

Passo 2

Agora devemos comparar cada grandeza do processo com o produto:

1º Tempo – Panfletos

Quanto mais panfletos forem imprimidos, maior será o tempo gasto, portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.

2º Tempo – Quantidade de impressoras

Quanto mais impressoras trabalhando, menor é o tempo gasto, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

Passo 3

Por fim, precisamos montar a equação invertendo as grandezas que tem seta contrária ao produto:

1.000 ∙ 3 2.000 ∙ 6 = 40 X

3.000 12.000 = 40 X

Multiplicando cruzado, temos:

3.000 X = 40 ∙ 12.000

3.000 X = 480.000

X = 480.000 3.000

X = 160

Resposta

160 minutos.

Exercício Resolvido #4

Uma equipe de trabalhadores formada por 12 homens extrai 2,4 toneladas de minério em 25 dias de trabalho. Em quantos dias 18 homens conseguiram extrair 3,8 toneladas de minério

Passo 1

O problema apresenta três tipos de grandezas: Quantidade de homes, quantidade de minério e dias de trabalho.

Para começar precisamos separa as grandezas entre processo e produto. Lembrando que o produto onde se encontra a incógnita.

Passo 2

Agora precisamos relacionar cada grandeza do processo com a grandeza do produto.

1º Homens – Dias

Quanto mais homens, em menos dias o trabalho é feito, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais

2º Quantidade de minério – Dias

Quanto mais dias de trabalho, mais minério é extraído, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

Passo 3

Invertemos as grandezas que tem seta contrária ao produto e montamos a equação:

18 ∙ 2,4 12 ∙ 3,8 = 25 X

43,2 45,6 = 25 X

Agora podemos multiplicar cruzado:

43,2 X = 25 ∙ 45,6

43,2 X = 1.140

X = 1.140 43,2

X ≅ 26,4

Resposta

26,4 dias.

Exercício Resolvido #5

Uma fábrica produz um tecido com 5400 m de comprimento com 90 c m de largura em 50 minutos. Qual será o comprimento do tecido produzido com 1 metro e 20 centímetros de largura em 25 minutos? 

Passo 1

De início, o enunciado nos apresenta três grandezas envolvidas no problema: Comprimento total do tecido, a largura do tecido e o tempo de produção.

Precisamos encontrar quais são as grandezas do processo e do produto. Como sempre, o produto sempre será aquele que contém a incógnita.

Passo 2

Agora devemos comparar cada grandezas do processo com a grandeza do produto:

1º Comprimento – Largura

Quanto maior a largura, menor será o comprimento, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

2º Comprimento – Tempo de produção

Quanto maior o tempo de produção, mais tecido será produzido, portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.

Passo 3

Devemos agora inverter as grandezas com seta contrária ao produto e montar a equação:

1,20 ∙ 50 0,90 ∙ 25 = 5.400 X

60 22,5 = 5.400 X

Multiplicando em cruz, temos:

60 X = 5.400 ∙ 22,5

60 X = 121.500

X = 121.500 60

X = 2.025

Resposta

2.025 m de comprimento.

Exercício Resolvido #6

10 funcionários de uma fábrica de colchões produzem 150 unidades trabalhando 4 dias por semana em um total de 3 semanas. Quantos unidades de colchões serão feitos se 12 funcionários trabalharem por 5 dias na semana em um total de 4 semanas?

Passo 1

O problema nos apresenta quatro grandezas diferentes dessa vez: Funcionários, colchões produzidos, dias e semanas.

Da mesma maneira, precisamos encontrar quais são as grandezas do processo e qual é a grandeza do produto.

Como a incógnita é o número de colchões produzidos, essa grandeza será nosso produto.

Passo 2

Nesse momento, devemos comparar todas as grandezas contidas no processo com a grandeza do produto e ver qual é a relação entre elas:

1º Colchões – Funcionários

Quanto mais funcionários, mais colchões produzidos, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

2º Colchões – Semanas

Quanto mais semanas trabalhadas, mais colchões produzidos, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

3º Colchões – Dias

Quanto mais dias trabalhados, mais colchões produzidos, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

Passo 3

Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo não precisamos inverter nenhuma das grandezas.

Montando a equação, temos:

10 ∙ 3 ∙ 4 12 ∙ 4 ∙ 5 = 150 X

120 240 = 150 X

Agora podemos multiplicar cruzado:

120 X = 150 ∙ 240

120 X = 36.000

X = 36.000 120

X = 300

Resposta

300 colchões.

Exercício Resolvido #7

Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias? 

Passo 1

Esse é um daqueles problemas que requer um pouco de interpretação.

O enunciado nos das três grandezas: Empregados, marmitas e dias. A quantidade de marmitas é dada implicitamente, porém basta multiplicar os dias pelo total de empregados:

X = 25 ∙ 750

X = 18.750

Agora temos todos os valores envolvidos no problema.

Passo 2

Entretanto, perceba que o número de marmitas não tem importância, pois cada empregado come a mesma quantidade de marmita.

Dessa forma, basta compararmos o número de empregados com o total de dias.

Quanto mais empregados, as marmitas são consumidas em menos dias, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

Passo 3

Como as grandezas são inversamente proporcionais, montamos a equação invertendo um dos lados:

750 + 500 750 = 25 X

1.250 750 = 25 X

Por fim, multiplicamos cruzado:

1.250 X = 25 ∙ 750

1.250 X = 18.750

X = 18.750 1.250

X = 15

As marmitas duraram por apenas 15 dias.

Resposta

15 dias.

Exercício Resolvido #8

Se foram empregados 4 K g de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 c m de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 1,2 m largura?

Passo 1

As grandezas envolvidas nesse problema são: Quantidade de fios (dada em quilogramas), comprimento (dado em metros) e largura (dado em metro e em centímetro).

A nossa atenção em exercícios como esse precisa ser na unidade de medida. Como a largura é dado tanto em metros como em centímetro, precisamos transformar uma das medias para que seja equivalente à unidade da outra.

Não faz diferença aqui se vamos trabalhar com metros ou centímetro, porém vamos escolher a unidade metro.

Temo que 1 m = 100 c m , logo:

80 c m = 80 100 = 0,8 m

Passo 2

Agora que já transformamos as medidas podemos montar a tabela separando as grandezas do processo e do produto:

Como a incógnita está na grandeza do quilo, ele se torna o produto.

Com a tabela montada, podemos encontra as relações entre aas grandezas do processo com a grandeza do produto:

1º Quilo – Largura

Quanto mais quilos de fio, maior poderá ser a largura, portanto, são grandezas diretamente proporcionais.

2º Quilo – Comprimento

Quanto mais quilos, maior poderá ser o comprimento, portanto, também são grandezas diretamente proporcionais.

Passo 3

Como as grandezas são diretamente proporcionais, não precisamos inverter a ordem de nenhuma delas e, portanto, podemos montar a equação:

0,8 ∙ 14 1,2 ∙ 350 = 4 X

11,2 420 = 4 X

Multiplicando cruzado, temos:

11,2 X = 4 ∙ 420

11,2 X = 1.680

X = 1.680 11,2

X = 150

Resposta

150 K g .