Regra de 3 Composta

Teoria Completa

Introdução

Anteriormente, vimos como duas grandezas podem se relacionar de maneira direta ou indireta e como encontramos essa relação a partir da Regra de 3 Simples.

Mas o que fazer quando precisamos relacionar mais de duas grandezas!?

Decompor as relações de grandezas?

Multiplicar tudo?

Sentar e chorar?

Nada disso, nós usamos a Regra de 3 Composta!!! Ela é extremamente útil quando encontramos problemas com várias relações de grandezas.

Bora ver como ela funciona...

Aplicação

Olhe esse problema:

Em 8 horas, 20 caminhões são capazes de descarregar 1600 sacos de cimento, quantos caminhões serão necessários para descarregar 1250 sacos de cimento em 5 horas?

De início já percebemos que o problema apresenta três grandezas diferentes, sendo assim, não podemos usar a regra de 3 simples, ao invés disso, usamos a regra de 3 composta.

Para começar, construímos uma tabela com todas as grandezas envolvidas no problema e colocamos uma seta (para cima ou para baixo) na grandeza que contém a incógnita:

Após isso, relacionamos a grandeza que contém a incógnita com as duas outras:

1º Quanto mais caminhões, mais sacos são descarregados. As grandezas são diretamente proporcionais, portanto, as setas possuem a mesma direção.

2º Quanto mais horas, menos caminhões são necessários para concluir o trabalho. As grandezas são inversamente proporcionais, portanto, as setas possuem sentidos opostos.

Assim, temos:

Como o número de horas é inversamente proporcional às outras duas grandezas, invertemos a ordem das componentes (colocamos 5 no lugar do 8 ) e montamos a equação:

20 X = 1600 1250 ∙ 5 8

20 X = 8.000 10.000

Finalmente, podemos multiplicar cruzado:

8.000 X = 20 ∙ 10.000

8.000 X = 200.000

X = 200.000 8.000

X = 25

E tá resolvido, para descarregar 1250 sacos de cimento em 5 horas, precisamos de 25 caminhões.

Mais um exemplo:

Uma família com 3 pessoas consome 18   m 3 de água a cada 30 dias. Quantos metros cúbicos de água serão consumidos em uma semana por uma família de 6 pessoas com os mesmos hábitos de consumo?

Agora, temos três outras grandezas que são:

  • Quantidade de pessoas
  • Volume de água consumida
  • Quantidade de dias

Primeira coisa que vamos fazer é montar uma tabelinha com as informações que temos, colocando uma seta na grandeza da nossa incógnita (Nesse caso o volume de água):

Vamos comparar o nosso processo ( Volume de água ), com as outras grandezas :

  1. Se o número de pessoas aumentarem, o volume de água consumida também aumenta ( e vice e versa) . Assim, temos grandezas diretamente proporcionais.
  2. Se o número de dias diminui o volume de água também vai diminuir. Ou seja, também são grandezas diretamente proporcionais.

Assim, nossa tabela fica:

Agora montamos a igualdade (Volume de água = Quantidade de pessoas x Quantidade de dias ):

18 x = 3 6 × 30 7

18 x = 90 42

90 x = 18 × 42

x = 756 90

x ≅ 8.4

Ou seja, é consumido 8.4   m 3 de água.

Resumão

Para fechar, aí vai um resumão para você entender de vez o funcionamento dessa regra.

Vamos dividir em passos...

1º Passo

Identifique qual é a grandeza que contem a incógnita, ela será o nosso produto. As demais grandezas envolvidas no problema serão nosso processo.

2º Passo

Compara o produto com cada grandeza do processo e veja se são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º Passo

Caso a grandeza do processo seja inversa à grandeza do produto, inverta a ordem das componentes.

4º Passo

Multiplicamos as grandezas dos processos:

5º Passo

Por fim, multiplicamos cruzado e resolvemos a equação para descobrir a incógnita.

Isso funciona quando temos mais de 3 grandezas?

Sim!!!

Olhe essa tabela:

Neste caso, todas as grandezas do processo se relacionam diretamente com o produto, logo não precisamos fazer nenhuma inversão nas componentes.

Agora é só seguir os passos e terminar o problema...

Primeiro multiplicamos as componentes do processo:

5 ∙ 6 ∙ 30 7 ∙ 4 ∙ 40 = 520 X

900 1.120 = 520 X

Agora é só multiplicar cruzado e resolver a equação:

900 X = 1.120 ∙ 520

900 X = 582.400

X = 582.400 900

X ≅ 647

São produzidas 647 peças.

Bora mais um exemplo?

Três costureiras trabalhando 9 dias, 8 horas por dia, produzem 15 vestidos. Se 5 costureiras trabalharem por 5 dias, quantas horas elas precisarão trabalhar por dia para produzirem 20 vestidos ?

Agora as grandezas que temos:

  • Quantidade de costureiras
  • Quantidade de dias
  • Quantidade de horas por dia
  • Quantidade de vestidos

1º Passo

Identifique qual é a grandeza que contem a incógnita, ela será o nosso produto. As demais grandezas envolvidas no problema serão nosso processo.

Bom, nós queremos saber quantas horas por dia elas precisarão trabalhar, logo esse é o nosso produto e o resto é o nosso processo.

2º Passo

Compara o produto com cada grandeza do processo e veja se são diretamente ou inversamente proporcionais.

  1. Se aumentarmos o número de costureiras elas precisarão trabalhar menos horas por dia. Assim, são indiretamente proporcionais.
  2. Diminuindo o número de dias, elas terão que trabalhar mais horas. Logo, são indiretamente proporcionais
  3. Se aumentarmos a quantidade de produção de vestidos, vamos ter que aumentar também o número de horas trabalhadas. Assim, temos grandezas diretamente proporcionais.

3º Passo

Caso a grandeza do processo seja inversa à grandeza do produto, inverta a ordem das componentes:

4º Passo

Multiplicamos as grandezas dos processos:

8 x = 5 ∙ 5 ∙ 15 3 ∙ 9 ∙ 20

8 x = 375 540

5º Passo

Por fim, multiplicamos cruzado e resolvemos a equação para descobrir a incógnita.

375 x = 4320

x ≅ 11.52

Essa é a ideia

Agora que tal resolver alguns exercícios para fixar a idéia?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Autoria própria.

Um jovem compra todos os dias 30,00 reais em ingredientes para fazer 40 trufas e vender pela cidade, caso venda todas as trufas, terá ao final do dia 80,00 reais em trufas vendidas. Quantas trufas ele deverá produzir para ganhar ao final do dia o equivalente à 120,00 reais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O problema nos apresenta três tipos diferentes de grandezas: Despesas dos ingredientes, número de trufas e total de trufas vendidas. Mas será que esse é um caso de regra de 3 composta?

Vamos analisar:

Como a incógnita está no número de trufas, devemos compará-la com as outras grandezas do problema:

1º Trufas – Ingredientes

Quanto mais trufas produzidas, mais é gasto com ingredientes., portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

2º Trufas – Faturamento.

Quanto mais trufas produzidas, maior será o faturamento, portanto, essas grandezas também são diretamente proporcionais.

Agora vem a sacada...

Como todas as grandezas são diretamente proporcionais, não precisamos aplicar a regra de 3 composta, podemos comparar a quantidade de trufas diretamente com o faturamento e aplicar uma regra de 3 simples.

Passo 2

Agora vamos aplicar a regra de de 3:

40   t r u f a s - 80   r e a i s   e m   v e n d a s

x   t r u f a s - 120   r e a i s   e m   v e n d a s

Multiplicando cruzado temos:

80 x = 40 ∙ 120

Fazendo a multiplicação, ficamos com:

80 x = 4.800

Para isolar o x , vamos passar o 80 para o outro lado dividindo e calcular o valor de x :

x = 4.800 80 = 60   t r u f a s

Precisamos de 60 trufas para ter um faturamento de 120,00 reais.

Resposta

60 trufas.

Exercício Resolvido #2

Autoria própria.

Em uma obra, 2 pedreiros levam 6 horas para construir um muro de 1,5 m . Quanto horas 3 pedreiros levaram para construir um muro de 2,5 m ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

As grandezas envolvidas no problema são: Número de pedreiros, altura do muro e as horas de trabalho.

Precisamos separa as grandezas entre processo e produto.

O produto sempre é aquele que contém a incógnita.

Passo 2

Em sequência, comparamos cada grandeza do processo com a grandeza do produto.

1º Pedreiros – Horas

Quanto mais pedreiros, menos horas de trabalho, portanto, são grandezas inversamente proporcionais.

2º Tamanho do muro – Horas

Quanto maior o muro, mais horas para construí-lo

Passo 3

Agora, montamos a equação invertendo a ordem das grandezas que possuem seta contrária ao produto:

3 ∙ 1,5 2 ∙ 2,5 = 6 X

4,5 5 = 6 X

Podemos agora multiplicar cruzado e resolver a equação para encontrar o valor de X :

4,5 X = 6 ∙ 5

4,5 X = 30

X = 30 4,5

X ≅ 6,7

O muro será construído em aproximadamente 6,7 horas.

Resposta

6,7 horas.

Exercício Resolvido #3

Vestibular (Unifor-CE).

Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos? 

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

As grandezas envolvidas nesse problema são: Quantidade de impressoras, quantidade de panfletos e tempo de produção.

Devemos primeiramente separar as grandezas do processo e do produto:

O tempo é o produto pois a incógnita está nele.

Passo 2

Agora devemos comparar cada grandeza do processo com o produto:

1º Tempo – Panfletos

Quanto mais panfletos forem imprimidos, maior será o tempo gasto, portanto, as grandezas são diretamente proporcionais.

2º Tempo – Quantidade de impressoras

Quanto mais impressoras trabalhando, menor é o tempo gasto, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

Passo 3

Por fim, precisamos montar a equação invertendo as grandezas que tem seta contrária ao produto:

1.000 ∙ 3 2.000 ∙ 6 = 40 X

3.000 12.000 = 40 X

Multiplicando cruzado, temos:

3.000 X = 40 ∙ 12.000

3.000 X = 480.000

X = 480.000 3.000

X = 160

Resposta

160 minutos.

Exercício Resolvido #4

Autoria própria.

Uma equipe de trabalhadores formada por 12 homens extrai 2,4 toneladas de minério em 25 dias de trabalho. Em quantos dias 18 homens conseguiram extrair 3,8 toneladas de minério

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O problema apresenta três tipos de grandezas: Quantidade de homes, quantidade de minério e dias de trabalho.

Para começar precisamos separa as grandezas entre processo e produto. Lembrando que o produto onde se encontra a incógnita.

Passo 2

Agora precisamos relacionar cada grandeza do processo com a grandeza do produto.

1º Homens – Dias

Quanto mais homens, em menos dias o trabalho é feito, portanto, as grandezas são inversamente proporcionais

2º Quantidade de minério – Dias

Quanto mais dias de trabalho, mais minério é extraído, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

Passo 3

Invertemos as grandezas que tem seta contrária ao produto e montamos a equação:

18 ∙ 2,4 12 ∙ 3,8 = 25 X

43,2 45,6 = 25 X

Agora podemos multiplicar cruzado:

43,2 X = 25 ∙ 45,6