Teorema de Pitágoras

Teoria Completa

Um dos principais assuntos quando falamos sobre triângulos é o Teorema de Pitágoras.

Mas pra que será que serve esse teorema??

Veja o triângulo abaixo:

Com Pitágoras somos capazes de encontrar o valor de X com apenas uma fórmula simples.

Mas se liga!!!

Para que sua aplicação seja possível, é necessário que haja um triângulo retângulo, que como vimos anteriormente, é aquele que tem um de seus ângulos internos igual a 90 °

Introdução

Para você que adora uma definição, segura essa aí:

Definição: Em um triângulo retângulo, temos que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

CATETO? HIPOTENUSA?? QUEEEE??

Ok... Isso pode assustar um pouco de cara, mas respira fundo e vem comigo...

Vamos entender primeiro o que é essa tal de hipotenusa e o que são esses catetos.

Em um triângulo retângulo, os catetos sempre serão os lados encostados no ângulo reto e a hipotenusa sempre estará oposta ao ângulo reto.

Por conveniência, podemos dizer que:

- Hipotenusa = a .

- Cateto = b .

- Outro Cateto = c .

Dessa forma chegamos na fórmula do Teorema de Pitágoras:

a 2 = b 2 + c 2

Relações importantes

Já vimos que o Teorema de Pitágoras só pode ser aplicado em triângulos retângulo. Mas será que tem algum jeito de aplicar nos outros tipos de triângulos também?

SIM!!! E é por isso que Pitágoras é tão importante quando falamos de triângulos...

Olhe o triângulo abaixo:

A princípio não sabemos aplicar Pitágoras, pois não temos um triângulo retângulo.

Em casos como esse, colocamos uma reta que liga um dos vértices até o lado oposto.

Ao fazermos isso, teremos dois triângulos retângulos e assim, seremos capazes de aplicar Pitágoras em cada um deles.

Pronto, desse modo conseguimos separar um triângulo inicial em dois triângulos retângulos e assim podemos aplicar Pitágoras para encontrar a medida de seus lados.

Aplicação

Que tal a gente ver como isso funcionaria na prática agora?

Determine a medida do lado não conhecido do triângulo abaixo:

Pela fórmula sabemos que hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos catetos ao quadrado.

a 2 = b 2 + c 2

Beleza, mas quem é a hipotenusa?

Moleza, é só lembrar da regrinha que diz que a hipotenusa é oposta ao ângulo de 90 ° .

Agora que já encontramos quem é a hipotenusa, podemos colocar tudo na fórmula, desse modo, teremos que:

10 2 = 6 2 + X 2

100 = 36 + X 2

100 - 36 = X 2

X 2 = 64

X = 64

X = 8

“Tcharaaaam”

Está resolvido, pelo Teorema de Pitágoras fomos capazes de encontrar que a medida do lado restante vale 8 metros.

Ficha de Resumo

Recapitulando...

1º - Aplicamos o Teorema de Pitágoras exclusivamente em triângulos retângulos.

2º - Os catetos são adjacentes ao ângulo de 90 ° (colados ao ângulo de 90 ° ).

3º - A hipotenusa é sempre oposta ao ângulo de 90 ° .

4º - Podemos traçar uma linha ligando um dos vértices à margem oposta, formando assim, dois triângulos retângulos.

5º - Fórmula do Teorema de Pitágoras é dada por:

a 2 = b 2 + c 2

Os exercícios envolvendo Pitágoras serão em geral, variações do exemplo que nós fizemos.

Portanto, para ficarmos craques basta treinar bastante até que a ideia seja fixada na nossa cabeça.

Bora praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Autoria própria.

Um jato percorre 500 metros inclinadamente, e atinge uma altura de 300 metros. Qual é a distância que o jato percorreu horizontalmente em relação ao plano horizontal do solo?

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Passo 1

A trajetória inclina e a altura do triângulo podem ser descritas como um triângulo retângulo

Com isso podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para achar o valor de X :

a 2 = b 2 + c 2

500 2 = b 2 + 300 2

250.000 = b 2 + 90.000

b 2 = 250.000 - 90.000

b 2 = 16 0 . 000

Agora é só tirar a raiz quadrada para saber o valor de b :

b = 16 0 . 000

b = 400

Resposta

400 metros.

Exercício Resolvido #2

Autoria própria.

Um campo de futebol retangular tem comprimento igual a 100 metros e largura de 55 metros. Qual a distância percorrida por um jogador que cruza de uma ponta a oura diagonalmente.

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Passo 1

A trajetória do jogador dividi o retângulo em dois triângulos retângulos.

Dessa forma, a trajetória do jogador será a hipotenusa e os lados do campo os catetos.

Podemos, portanto, aplicar Pitágoras para descobrir o a distância percorrida pelo jogador:

a 2 = b 2 + c 2

a 2 = 100 2 + 55 2

a 2 = 10.000 + 3.025

a 2 = 13.025

a = 13.025

a = 114,12

Resposta

114,12 metros.

Exercício Resolvido #3

Autoria própria.

Um homem encosta a ponta de uma barra de ferro em um muro de 16 metros, sabendo que a distância da base do muro até a base da barra é de 12 metros, determine o comprimento da barra.

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Passo 1

Com as informações dadas podemos montar o triângulo abaixo:

Como temos um triângulo retângulo podemos aplicar Pitágoras, sendo X (barra de ferro) a hipotenusa.

a 2 = b 2 + c 2

X 2 = 16 2 + 12 2

X 2 = 256 + 144

X 2 = 400

Tirando a raiz quadrada, teremos o comprimento da barra:

X = 400

X = 20

Resposta

20 metros.

Exercício Resolvido #4

Autoria própria.

Um homem deseja cercar seu terreno na forma de um triângulo retângulo com um muro. O maior lado do triângulo que mede 30 metros está encostado em um riacho e, portanto, não precisa ser cercado. Quantos metros de muro deverão ser construídos sabendo que o menor lado mede 12 metros?

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Passo 1

Primeiramente, devemos aplicar o teorema de Pitágoras para descobrir o valor do lado restante.

30 2 = 12 2 + X 2

900 = 144 + X 2

X 2 = 900 - 144

X 2 = 756

X = 756

X = 27,5 m

Passo 2

Agora precisamos encontrar o perímetro do triângulo:

P = 30 m + 12 m + 27,5 m

P = 69,5 m

O comprimento total do muro será o perímetro do triângulo menos o lado encostado no riacho:

X = P - 30 m

X = 69,5 m - 30 m

X = 39,5 m

Resposta

39,5 metros.

Exercício Resolvido #5

(CFT-MG).

As extremidades de um fio de antena totalmente esticado estão presas no topo de um prédio e no topo de um poste, respectivamente, de 16 e 4 m de altura. Considerando-se o terreno horizontal e sabendo-se que a distância entre o prédio e o poste é de 9 m, o comprimento do fio, em metros, é

a) 30 m

b) 15 m

c) 26 m

d) 35 m

e) 42 m

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Passo 1

O fio está ligado do alto do prédio ao topo do fio.

Podemos tomar o comprimento do fio como a hipotenusa de um triângulo formada por um cateto de 9 metros e um outro dado pela diferença entre a altura do prédio e a altura do poste.

a 2 = b 2 + c 2

a 2 = 9 2 + ( 16 - 4 ) 2

a 2 = 9 2 + 12 2

a 2 = 81 + 144

a 2 = 225

a = 225

a = 15

Resposta

15 metros.

Exercício Resolvido #6

(UFG).

Uma pista retangular para caminhada mede 100 por 250 metros. Deseja-se marcar um ponto P , conforme figura a seguir, de modo que o comprimento do percurso A B P A seja a metade do comprimento total da pista. Calcule a distância entre os pontos B e P .

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Passo 1

Sabemos que a soma dos lados do triângulo equivale à metade da soma dos lados triângulo, sendo assim, temos:

A B + B P + P A = 100 + 100 + 250 + 250 2

A B + B P + P A = 700 2

A B + B P + P A = 350

Como sabemos o valor de A B também podemos substituir na fórmula:

100 + B P + P A = 350

B P + P A = 350 - 100

B P + P A = 250

Isolando P A , temos:

P A = 250 - B P

Passo 2

O triângulo A B P é um triângulo retângulo, portanto, podemos aplicar Pitágoras para descobrir o valor de B P .

P A 2 = B P 2 + A B 2

Como isolamos a hipotenusa anteriormente, chegamos em uma equação em que a única incógnita será B P :

( 250 - B P ) 2 = B P 2 + 100 2

62.500 - 500 B P + B P 2 = B P 2 + 10.000

62.500 - 10.000 + B P 2 - B P 2 = 500 B P

52.500 = 500 B P

52.500 500 = B P

B P = 105

Resposta

105 metros.

Exercício Resolvido #7

Vestibular – PUC.

A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32 metros. Quanto mede a hipotenusa do triângulo?

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Passo 1

Inicialmente podemos não conseguir responder de maneira direta.

Temos três incógnitas, a , b e c , sendo a a hipotenusa.

Sabemos que a soma dos três lados é igual a 32, logo:

a 2 + b 2 + c 2 = 32

Também sabemos pelo teorema de Pitágoras que:

a 2 = b 2 + c 2

Dessa forma, podemos escrever a equação de Pitágoras dentro da primeira equação para obter apenas uma incógnita:

a 2 + ( b 2 + c 2 ) = 32