Redução de Grau – Briot-Ruffini

Teoria Completa

Introdução

Bem, já vimos o que é um polinômio. Só para te lembrar são aqueles carinhas com essa forma:

P x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + … + a 1 x + a 0

Onde n é um número natural.

Já vimos também como obtemos o valor numérico de um polinômio. Agora, sabe o que mais vamos fazer com esses caras? Nós vamos dividir, fatorar e achar raízes de polinômios. Preparem-se é hora do shooow!

Você já viu coisa desse tipo:

x 2 - 1 x + 1

E a primeira coisa que fazíamos era tentar encontrar algum produto notável para simplificar, desse jeito:

x 2 - 1 x + 1 = x - 1 x + 1 x + 1 = x - 1

Show! Isso é lindo. Mas e se aparece:

x 2 - 1 x + 2

Dessa vez, não dá para simplificarmos nada, teremos que realizar a divisão na mão mesmo, já sabemos que ela não será exata, ou seja, teremos resto.

Porém, como sou sua amiga do core, vou te dar um macete para resolvermos isso!

Divisão de polinômio por Briot-Ruffini

Olha só o exemplo que vamos resolver:

2 x 5 - 3 x 2 - 2 x - 3   x - 1

O que que gera isso ai? Po, é como divisão de número: gera um quociente e um resto. A gente pode escrever um polinômio P ( x ) da seguinte forma:

P x = Q x D x + R x

Caaaaaalma, que vou te explicar o que é cada um neste nosso caso!

P x = 2 x 5 - 3 x 2 - 2 x - 3

D x = x - 1

Q x = q u o c i e n t e   q u e   v a m o s   e n c o n t r a r

R x = r e s t o   q u e   v a m o s   e n c o n t r a r

Para fazer a divisão do exemplo, podemos usar Briot-Ruffini: Esse método é bem simples e vamos mostrá-lo para você passo-a-passo:

Passo 1: Armando o quadro:

Primeiro, vamos traçar um quadro da seguinte maneira:

Na parte superior esquerda, colocamos o valor no qual o denominador zera, ou seja: x - 1 = 0 ⟹ x = 1

Na parte superior direita, colocamos os coeficientes do polinômio no numerador, não esquecendo dos zeros: 2 x 5 - 3 x 2 - 2 x - 3 ⟹ 2 x 5 + 0 x 4 + 0 x 3 - 3 x 2 - 2 x 1 - 3 x 0

Passo 2: Multiplique e some

Não é para multiplicar e sair fora não. Repita o primeiro coeficiente da parte superior direita na parte de baixo:

E multiplique o número pelo coeficiente na parte superior esquerda:

1 ⋅ 2 = 2

Some, então, o resultado com o coeficiente a direita e posicione o resultado logo abaixo deste:

1 ⋅ 2 + 0 = 2

Passo 3: Repita

Repita o processo até chegar ao termo que estará embaixo do seu último coeficiente. Esse será o resto da divisão:

2 ⋅ 1 + 0 = 2

Novamente:

2 ⋅ 1 - 3 = - 1

- 1 ⋅ 1 - 2 = - 3

Novamente:

- 3 ⋅ 1 - 3 = - 6

Ficando:

O último termo em lilás é o RESTO R ( x ) da divisão. A última coisa que falta agora é montar o resultado. Pegamos cada um dos coeficientes da parte inferior direita com exceção do lilás e montamos um polinômio com um grau a menos que aquele que dividimos.

Como aquele que dividimos tem grau 5 , este terá grau 4 :

2 x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 - x - 3

Então temos o seguinte

Q x = 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 - x - 3

R x = - 6

Prontinho!

Se quiser verificar se fez a conta certa, basta verificar a seguinte igualdade:

2 x 5 - 3 x 2 - 2 x - 3 = x - 1 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 - x - 3 + ( - 6 )

Teorema do resto

O teorema do resto é um teorema que permite achar o resto de uma divisão de polinômios sem nem mesmo dividir. É também uma excelente ferramenta para verificar o resultado da sua divisão. Em geral, o teorema é bem simples.

Se dividirmos um polinômio P x por x - a , então o resto será P a , ou seja, o resto será dado pelo valor do polinômio original avaliado no ponto que zera o denominador! Para o exemplo anterior, que tivemos:

2 x 5 - 3 x 2 - 2 x - 3   x - 1

Teremos que o resto será: R x = P 1 = 2 1 5 - 3 1 2 - 2 1 - 3 = 2 - 3 - 2 - 3 = - 6  

Que condiz com o resultado encontrado usando Briot-Ruffini.

Considerando a divisão: P x x - a

O resto R x da divisão será:

R x = P ( a )

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Qual o valor de p que faz com que o resto da divisão de P x = 3 x 5 + 2 x 4 + 3 p x 3 + x - 1 por x + 1 seja 4 ?

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Passo 1

Vamos usar Briot-Ruffini para resolver essa questão. Queremos:

3 x 5 + 2 x 4 + 3 p x 3 + x - 1   x + 1

O denominador zera em x = - 1 . Vamos adicionar isso ao quadro:

Agora, marcamos os coeficientes na parte superior direita, lembrando que 0 x 2 tem que entrar:

Passo 2

Agora, vamos multiplicar o primeiro coeficiente na parte inferior direita pelo na parte superior esquerda: 3 ⋅ - 1 = - 3

Somamos isso ao segundo coeficiente para parte superior direita:

- 3 + 2 = - 1

Ficando:

Fazendo agora aos demais:

- 1 - 1 + 3 p = 3 p + 1

Agora:

3 p + 1 - 1 + 0 = - 3 p + 1

E:

- 3 p + 1 - 1 + 1 = 3 p + 1 + 1

Por fim: 3 p + 1 + 1 - 1 - 1 = - 3 p + 1 + 1 - 1

Passo 3

Esse último resultado é justamente o resto, pois é o valor mais à direita no quadro do Briot-Ruffini. Queremos que esse resto seja 4 , então igualamos: - 3 p + 1 + 1 - 1 = 4 ⟹ 3 p + 1 + 1 + 1 = - 4 ⟹ 3 p + 1 + 1 = - 5

3 p + 1 = - 6 ⟹ 3 p = - 7 ⟹ p = - 7 3

Passo 4

Se utilizássemos o Teorema do Resto, teríamos que o resto da divisão de P x = 3 x 5 + 2 x 4 + 3 p x 3 + x - 1 por x + 1 , ou seja, por x - - 1 é igual a P - 1 .

Vamos calcular dessa forma?

R x = P - 1 = 3 - 1 5 + 2 - 1 4 + 3 p - 1 3 + - 1 - 1 = - 3 - 3 p

Como queremos que o resto seja igual a 4 :

R x = - 3 - 3 p = 4 ⟹ p = - 7 3

Resposta

p = - 7 3

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

O polinômio x 2 - 14 x + 45 tem divisão exata por x - 9 ?

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Passo 1

Olááá, jovem! Bom, para ter uma divisão exata, não podemos ter resto!

Eu poderia te dizer para usar o Briot-Ruffini (não estaria errado), mas eu sou muito sua amiga, então direi para você usar o Teorema do Resto!!!

Você lembra como ele é? Começa assim, temos uma divisão:

P x x - a

Para sabermos o resto dessa divisão, basta calcularmos P ( a ) .

Se esse resto for zero, significa que é uma divisão exata, ou ainda, significa que a é uma raiz de P ( x ) .

Passo 2

No nosso caso, P x = x 2 - 14 x + 45 e a = 9

Então vamos calcular:

P 9 = 9 2 - 14.9 + 45

P 9 = 81 - 126 + 45

P 9 = 0

Logo, 9 é raiz do polinômio, portanto o resto é 0 .

Resposta

Sim.

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Determine o resto da divisão do polinômio:

x 3 - 6 x 2 + x + 5

Pelo polinômio:

x - 7

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Passo 1

OPAAA! Se ele quer saber simplesmente o resto, vamos usar o Teorema do Resto.

Dado que temos uma divisão do tipo:

P x x - a

O resto dessa divisão é dado por P ( a ) . No nosso caso:

P x = x 3 - 6 x 2 + x + 5

a = 7

Então, o resto será:

P 7 = 7 3 - 6 . x 2 + 7 + 5

P 7 = 343 - 294 + 12

P 7 = 61

Resposta

O resto é 61 .

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Uma das raízes do polinômio 2 x 3 + x 2 - 7 x - 6 é 2. Pode-se afirmar que:

  1. As outras raízes não são reais.
  2. As outras raízes são 17 e -19
  3. As outras raízes são iguais
  4. As outras raízes estão entre -2 e 0
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Passo 1

Temos que o polinômio será sempre divisível pelas suas raízes sem resto. Vamos fazer isso para simplificá-lo. Usamos Briot-Ruffini, chegamos ao quadro:

Completando-o:

2 ⋅ 2 + 1 = 5

5 ⋅ 2 - 7 = 3

3 ⋅ 2 - 6 = 0

Veja que o resto é zero conforme esperado. Podemos reescrever esse polinômio na forma: P x = 2 x 2 + 5 x + 3 x - 2

Passo 2

As raízes do polinômio de segundo são as que faltam. Ele é mais fácil de resolver, podemos usar Bhaskara: 2 x 2 + 5 x + 3 = 0

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 5 ± 25 - 4 2 3 2 2 = - 5 ± 25 - 24 4 = - 5 ± 1 4

Assim, as raízes serão:

x 1 = - 6 4 = - 3 2