Responde Aí

Briot Ruffini - Divisão de Polinômios

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala aí, você caiu no Responde Aí! E vamos aprender a dividir polinômios usando o método de Briot-Ruffini

Os polinômios são aquelas expressões assim:

Show! Mas talvez você já tenha visto expressões assim:

Isso é uma divisão de polinômios. Para resolver isso, a primeira coisa que podemos fazer é tentar encontrar algum produto notável que simplifique a expressão de cima ou de baixo:

Show!

Mas o que acontece se aparecer algo assim:

Dessa vez, não dá para simplificarmos nada, teremos que realizar a divisão na mão mesmo, já sabemos que ela não será exata, ou seja, teremos resto.

Então, vamos lá descobrir como fazer isso

Divisão de polinômio por Briot-Ruffini

Olha só o exemplo que vamos resolver:

O que que gera isso ai? Po, é como divisão de número: gera um quociente e um resto. A gente pode escrever um polinômio da seguinte forma:

Caaaaaalma, que vou te explicar o que é cada um neste nosso caso!

é
é

Para fazer a divisão do exemplo, podemos usar Briot-Ruffini: Esse método é bem simples e vamos mostrá-lo para você passo-a-passo:

Passo 1: Armando o quadro

Primeiro, vamos traçar um quadro da seguinte maneira:

Quadro de divisão vazio
Quadro de divisão vazio

Na parte superior esquerda, colocamos o valor no qual o denominador zera, ou seja:

Colocamos o valor no qual o denominador zera
Colocamos o valor no qual o denominador zera

Na parte superior direita, colocamos os coeficientes do polinômio no numerador, não esquecendo dos zeros:

Colocando os coeficientes
Colocando os coeficientes

Passo 2: Multiplique e some

Repita o primeiro coeficiente da parte superior direita na parte de baixo:

Repetindo primeiro coeficiente
Repetindo primeiro coeficiente

E multiplique o número pelo coeficiente na parte superior esquerda:

Multiplicando os coeficientes
Multiplicando os coeficientes

Some, então, o resultado com o coeficiente a direita e posicione o resultado logo abaixo deste:

Somando o resultado verde com o valor em azul
Somando o resultado verde com o valor em azul

Passo 3: Repita o passo anterior

Repita o processo até chegar ao termo que estará embaixo do seu último coeficiente. Esse será o resto da divisão:

Repetindo o processo
Repetindo o processo

Passo 4: Montando o polinômio

O último termo em lilás é o RESTO da divisão.

A última coisa que falta agora é montar o resultado. Pegamos cada um dos coeficientes da parte inferior direita com exceção do lilás e montamos um polinômio com um grau a menos que aquele que dividimos.

Como aquele que dividimos tem grau , este terá grau :

Prontinho!

Teorema do Resto

O teorema do resto é um teorema que permite achar o resto de uma divisão de polinômios sem nem mesmo dividir. É também uma excelente ferramenta para verificar o resultado da sua divisão. Em geral, o teorema é bem simples.

Se dividirmos um polinômio por , então o resto será , ou seja, o resto será dado pelo valor do polinômio original avaliado no ponto que zera o denominador! Para o exemplo anterior, que tivemos:

Teremos que o resto será:

Que condiz com o resultado encontrado usando Briot-Ruffini.

Videoaula

Quer aprender ainda mais? Então confere essa nossa super videoaula

E aqui você tem um montão de exercícios pra praticar 👇

Teorema do Resto

Videoaula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Qual o valor de p que faz com que o resto da divisão de P x = 3 x 5 + 2 x 4 + 3 p x 3 + x - 1 por x + 1 seja 4 ?

Passo 1

Vamos usar Briot-Ruffini para resolver essa questão. Queremos:

3 x 5 + 2 x 4 + 3 p x 3 + x - 1   x + 1

O denominador zera em x = - 1 . Vamos adicionar isso ao quadro:

Agora, marcamos os coeficientes na parte superior direita, lembrando que 0 x 2 tem que entrar:

Passo 2

Agora, vamos multiplicar o primeiro coeficiente na parte inferior direita pelo na parte superior esquerda: 3 ⋅ - 1 = - 3

Somamos isso ao segundo coeficiente para parte superior direita:

- 3 + 2 = - 1

Ficando:

Fazendo agora aos demais:

- 1 - 1 + 3 p = 3 p + 1

Agora:

3 p + 1 - 1 + 0 = - 3 p + 1

E:

- 3 p + 1 - 1 + 1 = 3 p + 1 + 1

Por fim: 3 p + 1 + 1 - 1 - 1 = - 3 p + 1 + 1 - 1

Passo 3

Esse último resultado é justamente o resto, pois é o valor mais à direita no quadro do Briot-Ruffini. Queremos que esse resto seja 4 , então igualamos: - 3 p + 1 + 1 - 1 = 4 ⟹ 3 p + 1 + 1 + 1 = - 4 ⟹ 3 p + 1 + 1 = - 5

3 p + 1 = - 6 ⟹ 3 p = - 7 ⟹ p = - 7 3

Passo 4

Se utilizássemos o Teorema do Resto, teríamos que o resto da divisão de P x = 3 x 5 + 2 x 4 + 3 p x 3 + x - 1 por x + 1 , ou seja, por x - - 1 é igual a P - 1 .

Vamos calcular dessa forma?

R x = P - 1 = 3 - 1 5 + 2 - 1 4 + 3 p - 1 3 + - 1 - 1 = - 3 - 3 p

Como queremos que o resto seja igual a 4 :

R x = - 3 - 3 p = 4 ⟹ p = - 7 3

Resposta

p = - 7 3

Exercício Resolvido #2

O polinômio x 2 - 14 x + 45 tem divisão exata por x - 9 ?

Passo 1

Olááá, jovem! Bom, para ter uma divisão exata, não podemos ter resto!

Eu poderia te dizer para usar o Briot-Ruffini (não estaria errado), mas eu sou muito sua amiga, então direi para você usar o Teorema do Resto!!!

Você lembra como ele é? Começa assim, temos uma divisão:

P x x - a

Para sabermos o resto dessa divisão, basta calcularmos P ( a ) .

Se esse resto for zero, significa que é uma divisão exata, ou ainda, significa que a é uma raiz de P ( x ) .

Passo 2

No nosso caso, P x = x 2 - 14 x + 45 e a = 9

Então vamos calcular:

P 9 = 9 2 - 14.9 + 45

P 9 = 81 - 126 + 45

P 9 = 0

Logo, 9 é raiz do polinômio, portanto o resto é 0 .

Resposta

Sim.

Exercício Resolvido #3

Determine o resto da divisão do polinômio:

x 3 - 6 x 2 + x + 5

Pelo polinômio:

x - 7

Passo 1

OPAAA! Se ele quer saber simplesmente o resto, vamos usar o Teorema do Resto.

Dado que temos uma divisão do tipo:

P x x - a

O resto dessa divisão é dado por P ( a ) . No nosso caso:

P x = x 3 - 6 x 2 + x + 5

a = 7

Então, o resto será:

P 7 = 7 3 - 6 . x 2 + 7 + 5

P 7 = 343 - 294 + 12

P 7 = 61

Resposta

O resto é 61 .

Exercício Resolvido #4

Uma das raízes do polinômio 2 x 3 + x 2 - 7 x - 6 é 2. Pode-se afirmar que:

  1. As outras raízes não são reais.
  2. As outras raízes são 17 e -19
  3. As outras raízes são iguais
  4. As outras raízes estão entre -2 e 0

Passo 1

Temos que o polinômio será sempre divisível pelas suas raízes sem resto. Vamos fazer isso para simplificá-lo. Usamos Briot-Ruffini, chegamos ao quadro:

Completando-o:

2 ⋅ 2 + 1 = 5

5 ⋅ 2 - 7 = 3

3 ⋅ 2 - 6 = 0

Veja que o resto é zero conforme esperado. Podemos reescrever esse polinômio na forma: P x = 2 x 2 + 5 x + 3 x - 2

Passo 2

As raízes do polinômio de segundo são as que faltam. Ele é mais fácil de resolver, podemos usar Bhaskara: 2 x 2 + 5 x + 3 = 0

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 5 ± 25 - 4 2 3 2 2 = - 5 ± 25 - 24 4 = - 5 ± 1 4

Assim, as raízes serão:

x 1 = - 6 4 = - 3 2

E: x 2 = - 4 4 = - 1

Passo 3

Vamos ver qual alternativa se encaixa no resultado encontrado. Vemos que as raízes são reais, então a letra (a) está fora. Também não são nem 17 e - 19 , então a (b) já era também. As raízes não são iguais, tiro fatal na (c).

Temos que - 3 / 2 = - 1.5 . Junto de - 1 , vemos que as raízes estão entre - 2 e 0 , logo a alternativa correta é a letra (d).

Resposta

Letra d.

Exercício Resolvido #5

Efetue a divisão dos polinômios, encontrando o quociente e o resto.

2 x 2 - 5 x + 7 x - 4

Passo 1

Olá! Tudo bem?

Bom, nessa questão não temos muito pra onde correr. Vamos usar o Briot-Ruffini! Começamos montando a tabelinha:

Agora vamos posicionar os termos, lembrando que precisamos deixar todos os termos completinhos:

2 x 2 - 5 x + 7

No nosso caso, já está tudo ok:

Passo 2

E agora realizar as operações: descer o primeiro coeficiente depois da barra

E multiplicar 2 × 4 + ( - 5 ) e assim, sucessivamente:

Passo 3

Perceba que o último termo 19 é o nosso resto. E os números 2 e 3 são coeficientes do novo polinômio de primeiro grau:

2 x + 3

Então:

q u o c i e n t e = Q x = 2 x + 3

r e s t o = R x = 19

Resposta

2 x 2 - 5 x + 7 = 2 x + 3 x - 4 + 19

Q x = 2 x + 3

R x = 19