Círculo Trigonométrico

Teoria Completa

A ideia do círculo trigonométrico

Quando falamos sobre trigonometria, naturalmente deve aparecer na sua cabeça vários senos e cossenos hahaha

É realmente por aí...Mas agora vamos entender como funcionam as relações trigonométricas para QUALQUER ângulo. Precisamos nos recordar que uma volta completa tem 360°, ou seja, será uma circunferência!

Vamos pensar no círculo trigonométrico como um círculo de raio 1. Uma circunferência centrada em ( 0,0 ) e de raio 1 tem a seguinte forma:

Dentro do círculo, consideramos o ângulo de análise partindo da parte positiva do eixo x e crescendo no sentido anti-horário. Da seguinte forma:

Ou seja, se andarmos no sentido anti-horário, teremos os ângulos POSITIVOS, no sentido horário, ângulos NEGATIVOS. OK?

Além disso, o sentido de crescimento dos quadrantes, também será anti-horário.

Agora, observe a figura abaixo

Vamos dar uma olhada no triângulo retângulo ABC...

Vamos calcular o seno e o cosseno do ângulo α , observa só:

s e n   α = c a t .   o p o s t o h i p o t e n u s a = y 1 = y                                 cos ⁡ α = c a t .   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = x 1 = x

Por isso, dizemos que o y é o eixo do seno e o x é o eixo do cosseno.

Pra você lembrar disso...

C o s s e n o →     C O M   S O N O             S e n o →   S E M   S O N O

Quem está com sono, fica deitado... Já quem está sem sono, fica em pé rs

Beleza?

Isso vai nos dar uma importante interpretação para o seno e o cosseno. Por exemplo, para um ângulo de 30°, teremos

s e n   30 ° = 1 2                                 cos ⁡ 30 ° = 3 2

As coordenadas do ponto B, serão

B 3 2   , 1 2

Graus e radianos

Como o círculo trigonométrico é um circunferência de raio 1, podemos representar um ângulo pelo comprimento de sua circunferência, uma vez que o comprimento c de uma circunferência completa é:

c = 2 π r

Como r = 1 , teremos

c = 2 π   r a d

Por isso, podemos dizer que

360 °     c o r r e s p o n d e m   a   2 π   r a d

Uma circunferência completa tem ângulo associado de 360 ° , dessa maneira, por uma regrinha de três, conseguimos fazer a conversão de qualquer ângulo de graus para radianos e vice-versa. Por exemplo...

120 °   e m   r a d ?

360 ° → 2 π 120 ° → φ r a d

Chegamos que:

φ r a d = 2 π 360 ⋅ 120 °

Simplificando por 120°, teremos:

φ r a d = 2 π 3   r a d

Para converter de radianos para graus, é mais simples ainda...

Basta lembrarmos que se

360 ° → 2 π   r a d

Então

180 ° → π   r a d

Isso significa que se tivermos um ângulo assim, ó

3 π 4

Se quisermos converter, basta fazer o seguinte

3   .   180 ° 4 = 540 ° 4 = 135 °

Ângulos em outros quadrantes

Vimos até agora valores de seno, cosseno e tangente no primeiro quadrante, mas e:

sen ⁡ 120 ° =   ? ? cos ⁡ 270 ° =   ? ? tg ⁡ 135 ° =   ? ?

Achar esses valores não é difícil. Basta a gente observar a simetria do círculo trigonométrico. Vamos fazer para o sen ⁡ 120 º para você ver como é.

Note que esse ângulo de 120 ° , para chegar ao 180 ° , está faltando 60 ° .

Como esse 60 ° está no segundo quadrante, repare que o seno que sempre é dado no eixo y (Seno está sem sono, então ele está em pé rs) é positivo...

sen ⁡ 120 ° = sen ⁡ 60 ° =

3 2

O cosseno, no entanto, sempre representado no eixo x (cosseno está com sono rs) para ângulos como esse, no lado esquerdo do plano é negativo...

cos ⁡ 120 ° = - cos ⁡ 60 ° =

- 1 2

Como 120 ° e 60 ° tem em módulo os mesmos valores para o seno e o cosseno, então são considerados simétricos.

A tangente fica então bem simples:

tg ⁡ 120 ° = sen ⁡ 120 ° cos ⁡ 120 ° = - 3

Dá sempre para calcular senos, cossenos e tangentes em outros quadrantes só vendo a posição até o lado do eixo x mais próximo, como fizemos acima, saca?

Lembrando que cada quadrante terá os seguintes sinais para o seno, cosseno e tangente ...

Basta lembrar que o seno cresce na vertical, por isso o 1° e 2° quadrante são positivos e o 3° e o 4° são negativos! Consideramos como referência apenas o eixo da vertical. A mesma lógica vale para o cosseno, só que na horizontal.

Para a tangente, basta lembrarmos que

t g   x = s e n   x cos ⁡ x  

Ou seja, com respeito aos sinais dos quadrantes, lembraremos daquela regrinha...

S i n a i s   i g u a i s →   P O S I T I V O                                       S i n a i s   d i f e r e n t e s →   N E G A T I V O S

Ângulos notáveis...

Aqueles ângulos de 30 ° , 45 ° e 60 ° são chamados de ângulos notáveis, pois são muito cobrados em provas. É sempre muito útil sabe-los de cor até mesmo em radianos, por exemplo, 30 ° :

φ r a d = 2 π 360 ⋅ φ g r a u s               →             φ r a d = 2 π 360 ⋅ 30 ° = π 6

Transformado os outros ângulos, podemos montar a tabelinha...

No ciclo trigonométrico fica...

Veja que os outros ângulos simétricos aos notáveis estão determinados também no ciclo trigonométrico, por exemplo, o ângulo de

π 3 r a d = 60 °       é simétrico ao 2 π 3 r a d = 120 °

Um macete para determinar os ângulos simétricos em radianos nos outros quadrantes é cantando: “Tira um, põe um, dobra e tira um”. Veja com os simétricos de π / 6 :

Para o π 6 , teremos...

No segundo quadrante, “tira 1”:

π - π 6 = 5 π 6   r a d

No terceiro quadrante, “põe 1”:

π 6 + π = 7 π 6   r a d

No quarto quadrante, “dobra e tira 1”:

2 π - π 6 = 11 π 6   r a d

Viu como é útil?

Arcos congruentes

Pra fecharmos, temos uma última coisa importante...

A partir do círculo trigonométrico, vemos que a cada 360 ° , ou 2 π rad, damos uma volta completa e os valores de seno e cosseno se repetem. Chamamos os ângulos com relações trigonométricas em comum de ângulos congruentes que aparecem na frequência de 360 ° ou 2 π rad.

Por exemplo, π é congruênte de 3 π , pois: π + 2 π = 3 π

E:

sen ⁡ π = sen ⁡ 3 π = 0

cos ⁡ π = cos ⁡ 3 π = - 1

De maneira geral:

sen ⁡ φ + 2 π k = s e n   φ cos ⁡ φ + 2 π k = cos ⁡ φ Com k ∈ Z

k precisa ser um número inteiro, pois somente dando uma volta inteira, voltamos ao mesmo lugar.

Vamos aos exercícios para praticarmos bem! :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

UVA - Fernando Marinho - Lista 3 - 1b

Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco A de medida: A = - 2000 º

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Eu não sei você, mas achei esse meio confuso!

Bom...Basicamente nós queremos achar um arco positivo que seja congruente a esse arco A do enunciado, ou seja, queremos um arco positivo que “chegue no mesmo ponto” do que o arco A . Para tal, temos que adicionar 360 k (ou seja, k voltas) e ver o menor valor de k que leva a um ângulo positivo. Vamos lá: - 2000 º + 360 k > 0

Onde k é um número inteiro!

Passo 2

Pô...vamos fazer o seguinte: vamos ver qual seria o número de voltas k que deveríamos dar para chegarmos no arco de ângulo 0 ° . Portanto,

360 k > 2000 → k > 5,55555 …

O valor de k deu 5,555 … , né? Então, galera, como k representa o número de voltas, ele tem que ser um número inteiro. Deste modo, o menor valor de k maior que 5,555 . . . é k = 6 .

Passo 3

Agora vamos substituir os candidatos e ver o que achamos. Para k = 6 :

- 2000 º + 360   ⋅ 6 = 160 °

Dessa maneira, k = 6 garante o menor ângulo positivo = 160 ° .

Resposta

160 o

Exercício Resolvido #2

UVA - Fernando Marinho - Lista 3 - 4b

Determine o valor de:

cos ⁡ 3555 º

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Passo 1

Vamos achar o arco congruente desse ângulo na primeira volta para podermos calcular. Na verdade a gente quer escrever esse ângulo como um múltiplo de 360 o , ou seja, 360 k somado a um ângulo em um dos quatro quadrantes, α . Portanto, 3555 = 360 k + α

Passo 2

O que precisamos definir é o α ! Mas, isso é mole, pois esse valor é exatamente o resto da divisão de 3555 por 360!

Fazendo as contas, nós temos que o quociente da divisão vale 9 e o resto é 315! Ou seja, 3555 é o mesmo arco que começar em 315 e dar 9 voltas!

Passo 3

Mas ainda não está legal: cos ⁡ 315 º

Você sabe o valor? É, é meio chato ver isso de cara. Mas repare que 315 º está há 45 º de 360 º que está na origem, então é equivalente a: cos ⁡ - 45 º

Pois se saíssemos da origem no sentido anti-horário e percorrêssemos 45 º chegaríamos no mesmo ponto que está no 4º quadrante

Pelo círculo trigonométrico, uma vez que o cosseno é o eixo x , os seus valores tem o mesmo sinal no primeiro e quarto quadrantes (enquanto que o seno tem sinais iguais no primeiro e segundo quadrantes e terceiro e quarto). Assim:

cos ⁡ 3555 º = cos ⁡ 315 º = cos ⁡ - 45 º = 2 2  

Resposta

cos ⁡ 3555 º = 2 2

Exercício Resolvido #3

UVA - Fernando Marinho - Lista 3 - 4c

Determine o valor de: tg ⁡ - 35 π 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Novamente, temos que achar um ângulo congruente mais adequado. Para tal, vamos determinar o menor valor de k para que o ângulo esteja na primeira volta: - 35 π 4 + 2 π k = - 35 π 4 + 8 π k 4 = 8 π k - 35 π 4

Testando para k = 5 :

8 π k - 35 π 4 = 8 π ⋅ 5 - 35 π 4 = 40 π - 35 π 4 = 5 π 4

Como a tangente se repete a cada π rad, podemos melhorara ainda mais isso, reduzindo π rad:

5 π 4 - π = π 4

Que é 45 º . Agora tá na tabelinha. Ficou fácil:

tg ⁡ - 35 π 4 = tg ⁡ 5 π 4 = tg ⁡ π 4 = 1

Resposta

tg ⁡ - 35 π 4 = 1

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