Teoria Completa
A ideia do círculo trigonométrico
Quando falamos sobre trigonometria, naturalmente deve aparecer na sua cabeça vários senos e cossenos hahaha
É realmente por aí...Mas agora vamos entender como funcionam as relações trigonométricas para QUALQUER ângulo. Precisamos nos recordar que uma volta completa tem 360°, ou seja, será uma circunferência!
Vamos pensar no círculo trigonométrico como um círculo de raio 1. Uma circunferência centrada em e de raio tem a seguinte forma:
Dentro do círculo, consideramos o ângulo de análise partindo da parte positiva do eixo e crescendo no sentido anti-horário. Da seguinte forma:
Ou seja, se andarmos no sentido anti-horário, teremos os ângulos POSITIVOS, no sentido horário, ângulos NEGATIVOS. OK?
Além disso, o sentido de crescimento dos quadrantes, também será anti-horário.
Agora, observe a figura abaixo
Vamos dar uma olhada no triângulo retângulo ABC...
Vamos calcular o seno e o cosseno do ângulo , observa só:
Por isso, dizemos que o y é o eixo do seno e o x é o eixo do cosseno.
Pra você lembrar disso...
Quem está com sono, fica deitado... Já quem está sem sono, fica em pé rs
Beleza?
Isso vai nos dar uma importante interpretação para o seno e o cosseno. Por exemplo, para um ângulo de 30°, teremos
As coordenadas do ponto B, serão
Graus e radianos
Como o círculo trigonométrico é um circunferência de raio 1, podemos representar um ângulo pelo comprimento de sua circunferência, uma vez que o comprimento de uma circunferência completa é:
Como , teremos
Por isso, podemos dizer que
Uma circunferência completa tem ângulo associado de , dessa maneira, por uma regrinha de três, conseguimos fazer a conversão de qualquer ângulo de graus para radianos e vice-versa. Por exemplo...
Chegamos que:
Simplificando por 120°, teremos:
Para converter de radianos para graus, é mais simples ainda...
Basta lembrarmos que se
Então
Isso significa que se tivermos um ângulo assim, ó
Se quisermos converter, basta fazer o seguinte
Ângulos em outros quadrantes
Vimos até agora valores de seno, cosseno e tangente no primeiro quadrante, mas e:
Achar esses valores não é difícil. Basta a gente observar a simetria do círculo trigonométrico. Vamos fazer para o para você ver como é.
Note que esse ângulo de , para chegar ao , está faltando .
Como esse está no segundo quadrante, repare que o seno que sempre é dado no eixo (Seno está sem sono, então ele está em pé rs) é positivo...
O cosseno, no entanto, sempre representado no eixo (cosseno está com sono rs) para ângulos como esse, no lado esquerdo do plano é negativo...
Como e tem em módulo os mesmos valores para o seno e o cosseno, então são considerados simétricos.
A tangente fica então bem simples:
Dá sempre para calcular senos, cossenos e tangentes em outros quadrantes só vendo a posição até o lado do eixo mais próximo, como fizemos acima, saca?
Lembrando que cada quadrante terá os seguintes sinais para o seno, cosseno e tangente ...
Basta lembrar que o seno cresce na vertical, por isso o 1° e 2° quadrante são positivos e o 3° e o 4° são negativos! Consideramos como referência apenas o eixo da vertical. A mesma lógica vale para o cosseno, só que na horizontal.
Para a tangente, basta lembrarmos que
Ou seja, com respeito aos sinais dos quadrantes, lembraremos daquela regrinha...
Ângulos notáveis...
Aqueles ângulos de , e são chamados de ângulos notáveis, pois são muito cobrados em provas. É sempre muito útil sabe-los de cor até mesmo em radianos, por exemplo, :
Transformado os outros ângulos, podemos montar a tabelinha...
No ciclo trigonométrico fica...
Veja que os outros ângulos simétricos aos notáveis estão determinados também no ciclo trigonométrico, por exemplo, o ângulo de
é simétrico ao
Um macete para determinar os ângulos simétricos em radianos nos outros quadrantes é cantando: “Tira um, põe um, dobra e tira um”. Veja com os simétricos de :
Para o , teremos...
No segundo quadrante, “tira 1”:
No terceiro quadrante, “põe 1”:
No quarto quadrante, “dobra e tira 1”:
Viu como é útil?
Arcos congruentes
Pra fecharmos, temos uma última coisa importante...
A partir do círculo trigonométrico, vemos que a cada , ou rad, damos uma volta completa e os valores de seno e cosseno se repetem. Chamamos os ângulos com relações trigonométricas em comum de ângulos congruentes que aparecem na frequência de ou rad.
Por exemplo, é congruênte de , pois:
E:
De maneira geral:
Com
precisa ser um número inteiro, pois somente dando uma volta inteira, voltamos ao mesmo lugar.
Vamos aos exercícios para praticarmos bem! :)
Exercício Resolvido #1
Calcule a primeira determinação positiva do conjunto de arcos de mesma extremidade que o arco de medida:
Passo 1
Eu não sei você, mas achei esse meio confuso!
Bom...Basicamente nós queremos achar um arco positivo que seja congruente a esse arco do enunciado, ou seja, queremos um arco positivo que “chegue no mesmo ponto” do que o arco . Para tal, temos que adicionar (ou seja, voltas) e ver o menor valor de que leva a um ângulo positivo. Vamos lá:
Onde é um número inteiro!
Passo 2
Pô...vamos fazer o seguinte: vamos ver qual seria o número de voltas que deveríamos dar para chegarmos no arco de ângulo . Portanto,
O valor de deu , né? Então, galera, como representa o número de voltas, ele tem que ser um número inteiro. Deste modo, o menor valor de maior que é .
Passo 3
Agora vamos substituir os candidatos e ver o que achamos. Para :
Dessa maneira, garante o menor ângulo positivo .
Resposta
Exercício Resolvido #2
Determine o valor de:
Passo 1
Vamos achar o arco congruente desse ângulo na primeira volta para podermos calcular. Na verdade a gente quer escrever esse ângulo como um múltiplo de , ou seja, somado a um ângulo em um dos quatro quadrantes, . Portanto,
Passo 2
O que precisamos definir é o ! Mas, isso é mole, pois esse valor é exatamente o resto da divisão de 3555 por 360!
Fazendo as contas, nós temos que o quociente da divisão vale 9 e o resto é 315! Ou seja, 3555 é o mesmo arco que começar em 315 e dar 9 voltas!
Passo 3
Mas ainda não está legal:
Você sabe o valor? É, é meio chato ver isso de cara. Mas repare que está há de que está na origem, então é equivalente a:
Pois se saíssemos da origem no sentido anti-horário e percorrêssemos chegaríamos no mesmo ponto que está no 4º quadrante
Pelo círculo trigonométrico, uma vez que o cosseno é o eixo , os seus valores tem o mesmo sinal no primeiro e quarto quadrantes (enquanto que o seno tem sinais iguais no primeiro e segundo quadrantes e terceiro e quarto). Assim:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Determine o valor de:
Passo 1
Novamente, temos que achar um ângulo congruente mais adequado. Para tal, vamos determinar o menor valor de para que o ângulo esteja na primeira volta:
Testando para
Como a tangente se repete a cada rad, podemos melhorara ainda mais isso, reduzindo rad:
Que é . Agora tá na tabelinha. Ficou fácil: