Elementos de Lógica

Teoria Completa

Fala aí, estamos aqui hoje para batermos um papo sobre elementos de lógica.

A matemática possuiu uma linguagem própria, assim como nós temos o português.

Mas não precisa se desesperar, porque aqui nós vamos fazer de tudo para você compreender um pouco dessa lógica matematica.

Uma das coisas mais importantes nessa lógica matemática são as proposições. As proposições nada mais são que frases às quais são atribuídos valores de VERDADEIRO ou FALSO.

Olha essas duas frases aqui:

  • $2+5=7$
  • Eu sou uma pessoa

Essas frases são proposições, porque podemos dizer se elas são falsas ou verdadeiras.

Agora olha essas outras duas aqui:

  • Está quente hoje;
  • Hoje vai chover?

Podemos dizer que essas frases são verdadeiras ou falsas? Não, porque estar quente ou não é bem relativo e não existe dizer que uma pergunta é falsa ou verdadeira, portanto essas frases NÃO são proposições.

Agora que já sabemos o que são proposições podemos falar sobre alguns elementos de lógica, ou seja, alguns símbolos e conectivos, que utilizamos para combinar proposições:

  • $p$, $q$, $r$ e $s$ são as letras do alfabeta que normalmente são utilizadas para identificar uma proposição;
  • $¬$ : É um símbolo de negação. Ele tem a função de negar uma proposição;
  • $Ʌ$ : É o símbolo da conjunção, ele tem a função de juntar duas proposições. Equivale ao conectivo "e" na língua portuguesa;
  • $V$ : É o símbolo da disjunção, ele tem a função de alternar entre duas proposições. Equivale ao conectivo "ou" na língua portuguesa;
  • $→$ : É o símbolo de condicional, implica em uma condição. Para uma proposição acontecer é necessário que outra acontece antes. Equivale ao "se ... então..." da língua portuguesa;
  • $↔$ : É o símbolo de bicondicional. passa a ideia de uma dupla condição para a preposição;
  • $V$ e $F$ indicam apenas se uma proposição é verdadeira ou falsa, respectivamente

Agora, vamos ver alguns exemplos da aplicação de alguns desses símbolos:

Negação $¬$ : Quando negamos uma preposição estamos dizendo que ela não é verdadeira. Desse modo, se a proposição $p$ é verdadeira, então $¬p$ é falsa, e vice-versa.

Conjunção $Ʌ$ : Uma conjunção é verdadeira se, e somente se, ambas as proprosições forem verdadeiras.

EXEMPLO:

$$p=3 ~~é~~ímpar ~~~~e~~~~q=5~~é~~par$$

Como:

$$p=V~~~e ~~~q=F, ~~~Então:~~~pɅq=F$$

Disjunção $V$ : A disjunção será falsa somente se ambas as proposições forem falsas.

EXEMPLO:

$$p=2 ~~é~~primo ~~~~e~~~~q=9~~é~~par$$

Como:

$$p=V~~~e ~~~q=F, ~~~Então:~~~pVq=V$$

Esses três são os elementos mais importantes.

Mas, se eu quiser combinar esses símbolos, ou seja, se eu quiser negar uma conjunção ou negar uma disjunção, o que acontece?

É bem tranquilo, toda vez que você negar um conjunção ou uma disjunção, lembra que uma vira a outra.

Se eu quero negar $pVq$, primeiro eu nego cada uma das proposições, $p$ e $q$ separadamente e depois eu inverto o símbolo, o que era $V$ passa a ser $Ʌ$:

$$A ~negação~de~pVq~é: ~~¬p~Ʌ~¬q$$

Do mesmo modo, se eu quero negar $pɅq$, primeiro eu nego cada uma das proposições, $p$ e $q$ separadamente e depois eu inverto o símbolo, o que era $Ʌ$ passa a ser $V$:

$$A ~negação~de~pɅq~é: ~~¬p~V~¬q$$

Show de bola?

Vídeo

Nós temos esse conteúdo em vídeo também, é só conferir aqui em baixo 👇🏾:

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Exercício Resolvido #1

Atribua valores verdades as seguintes proposições lógicas:

a   7   é   p a r   e   4   é   p r i m o

b   7   é   í m p a r   o u   6   é   p r i m o

c   N ã o   é   v e r d a d e   q u e   2   é   í m p a r   o u   10   é   p a r

d   8   n ã o   é   í m p a r   e   n ã o   é   v e r d a d e   q u e   2   é   p r i m o

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Passo 1

FAAAAAALA AÍ! Bora resolver esse exercício, começando pelo começo:

a   7   é   p a r   e   4   é   p r i m o

Aqui, nós temos o conectivo “ e ”.

Lembre-se que para uma proposição composta seja verdadeira, quando usamos esse conectivo, precisamos que que as duas proposições sejam verdadeiras. Caso contrário, ela é falsa.

No nosso caso, as duas proposições são:

p = 7   é   p a r

q = 4   é   p r i m o

Mas o número 7 não é par, logo p é falsa. Já poderíamos parar aqui e dizer que a proposição composta é falsa, mas vamos continuar só para ficar completinha a resolução.

Além disso, 4 não é primo, já que é divisível por 2 .

Portanto a proposição composta:

p ∧ q

É FALSA.

Passo 2

Bora pra próxima!!!

b   7   é   í m p a r   o u   6   é   p r i m o

Bora lembrar como sabemos se isso é verdadeiro ou falso?

Quando temos o conectivo “ o u ”, a proposição composta é verdadeira se uma das proposições forem verdadeiras. E a proposição composta é falsa se as duas proposições são falsas!

p = 7   é   í m p a r

q = 6   é   p r i m o

Ora, é verdade que 7 é ímpar, logo p é verdadeira.

6 não é primo, logo q é falsa.

Como uma delas é verdade, temos que:

p ∨ q

É VERDADEIRA.

Passo 3

Dá uma olhada nessa aqui agora:

c   N ã o   é   v e r d a d e   q u e   2   é   í m p a r   o u   10   é   p a r

Bom, novamente, temos uma proposição composta com o conectivo “ o u ”. Bora relembrar:

Quando temos o conectivo “ o u ”, a proposição composta é verdadeira se uma das proposições forem verdadeiras. E a proposição composta é falsa se as duas proposições são falsas!

p = N ã o   é   v e r d a d e   q u e   2   é   í m p a r

q = 10   é   p a r

Ora bolas, a primeira proposição está perfeitamente correta. Aliás, 2 é par, então não é verdade que ele é ímpar.

Já poderíamos parar por aqui mesmo e dizer que essa proposição composta é verdadeira, mas vamos analisar a outra proposição só para deixar tudo completinho.

A segunda proposição também é verdadeira, afinal, 10 é divisível por 2 , logo é par.

Portanto, a proposição composta:

p ∨ q

É VERDADEIRA.

Passo 4

Se liga nessa agora:

d   8   n ã o   é   í m p a r   e   n ã o   é   v e r d a d e   q u e �� 2   é   p r i m o

Ai gente, finalmente nos deparamos com “ e ”, já não aguentava mais esses “ o u ” hahaha

Lembre-se que para uma proposição composta seja verdadeira, quando usamos o conectivo “ e ”, precisamos que que as duas proposições sejam verdadeiras. Caso contrário, ela é falsa.

Bora dar uma olhada nas nossas proposições:

p = 8   n ã o   é   í m p a r

q = n ã o   é   v e r d a d e   q u e   2   é   p r i m o

Então, concorda comigo que p é verdadeira? Veja bem, sabemos que 8 é par por ser divisível por 2 , logo, ele não é ímpar.

Agora vamos analisar q : 2 é primo, logo, q é falsa.

Como não temos as duas proposições verdadeiras (temos uma apenas):

p ∧ q

É FALSA.

Resposta

a   F

b   V

c   V

d   F

Exercício Resolvido #2

Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica:

a   E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   n   t a l   q u e   n 2 = 3

b   N ã o   e x i s t e   n ú m e r o   r a c i o n a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

c   E x i s t e   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   e   d i v i s í v e l   p o r   5

d   E x i s t e   u m   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   o u   x 2   é   í m p a r

e   P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

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Passo 1

Bom, você deve estar arrancando os cabelos, depois de ter lido que vai ter que escrever essa galera toda na forma simbólica hahaha

Mas relaxa, vai ser muito divertido resolvermos isso! É como eu sempre digo, vamos começar do começo!

a   E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   n   t a l   q u e   n 2 = 3

Bom, primeiramente, comecemos com a primeira palavra: “Existe”Na Matemática, essa palavra tem um símbolo associado a ela, que é o .

Agora, vamos olhar para “um número real n ”: esse tipo de expressão nos diz a qual conjunto o nosso n pertence. Como ele é real temos que:

E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   n = ∃ n ∈ R

Maneiroooo! Falta só a expressão “tal que n 2 = 3 ”. Cara, “tal que” na Matemática pode ser substituído por “ | ” ou “ ,

Vamos ver como fica:

E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   n   t a l   q u e   n 2 = 3

Na forma simbólica:

∃ n ∈ R   |   n 2 = 3

Passo 2

Bora pra próxima!!!

b   N ã o   e x i s t e   n ú m e r o   r a c i o n a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

A gente acabou de ver como é o símbolo de “Existe” ( ∃ ) . Mas e como é o símbolo de “Não existe”??? É simples, é só cortar esse ( ∃ ) :

N ã o   e x i s t e = ∄

Maneiro, agora olha a expressão “não existe racional x ”: já te falei que esse tipo de expressão nos diz a qual conjunto o x pertence. Logo:

N ã o   e x i s t e   n ú m e r o   r a c i o n a l   x = ∄ x ∈ Q

Ai que lindo, to amando! Vamos para a próxima e última expressão: “tal que x 2 = 3

É só substituir o “tal que” por “ | ” ou “ ,

Assim, ficamos com:

N ã o   e x i s t e   n ú m e r o   r a c i o n a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

Na forma simbólica:

∄ x ∈ Q   |   x 2 = 3

Passo 3

Se liga nessa:

c   E x i s t e   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   e   d i v i s í v e l   p o r   5

Gente, mesma coisa que acabamos de ver nesse iniciozinho! Temos o “existe” que substituiremos por .

A expressão “número inteiro x ” nos costuma dizer a qual conjunto a variável x pertence, então substituiremos por x ∈ Z

Agora vamos olhar para o finalzinho da nossa proposição:

x 2   é   p a r   e   d i v i s í v e l   p o r   5

Cara, é o seguinte: para x 2 ser par, ele precisa ser divisível por 2 . Então vamos reescrever a expressão assim:

x 2   é   d i v i s í v e l   p o r   2   e   p o r   5

Pensa comigo: pra um cara ser divisível por 2 e 5 ao mesmo tempo, ele tem que ser divisível por 10 , que é o produto deles dois. Logo:

x 2   é   d i v i s í v e l   p o r   10

E para ser divisível por 10 , ele precisa ser múltiplo de 10 , então ele será igual a 10 vezes algum cara que pode ser qualquer número natural. Então escreveremos assim:

x 2 = 10 k ,   k ∈ N

Ficamos com:

E x i s t e   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   e   d i v i s í v e l   p o r   5

Na forma simbólica:

∃ x ∈ Z   |   x 2 = 10 k ,   k ∈ N

Passo 4

Próxima é essa:

d   E x i s t e   u m   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   o u   x 2   é   í m p a r

Show! Bora começar com a primeira palavra: “existe”. Ela será substituída por .

A segunda expressão é: “um número inteiro x ”. Como já falei, esse tipo de expressão nos diz a qual conjunto a variável x pertence. Então, substituiremos por x ∈ Z .

A última expressão é: “tal que x 2 é par ou x 2 é ímpar”. Esse tal que vamos substituir por “ | ” e para x 2 ser par, ele precisa ser múltiplo de 2 .

Para x 2 ser ímpar, ele precisa ser escrito na forma 2 k + 1 ,   k ∈ Z .

Então ficamos com:

E x i s t e   u m   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   o u   x 2   é   í m p a r

Na forma simbólica:

∃ x ∈ Z   |   x 2 = 2 k ∨ x 2 = 2 k + 1 ,   k ∈ Z

Passo 5

e   P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x ,   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

Bom, a primeira expressão é “para cada” e ela tem um símbolo associado a ela na Matemática: , que quer dizer “para todo”/ “para cada”/ “para qualquer”.

Próxima expressão: “número real x ”. Ela nos diz a qual conjunto nossa variável x pertence. Assim, temos: x ∈ R

Agora a próxima é: “existe”. Já sabemos, é só substituir por

Mais uma expressão: “um número real y ”. Ela nos diz a qual conjunto nossa variável y pertence. Assim, temos: y ∈ R

Finalmente: “tal que x + y = 0 ”. Vamos substituir “tal que” por “ |

Ficamos com:

P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x ,   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

Na forma simbólica:

∀ x ∈ R , ∃ y ∈ R   |   x + y = 0

Resposta

a   ∃ n ∈ R   |   n 2 = 3

b   ∄ x ∈ Q   |   x 2 = 3

c   ∃ x ∈ Z   |   x 2 = 10 k ,   k ∈ N

d   ∃ x ∈ Z   |   x 2 = 2 k ∨ x 2 = 2 k + 1 ,   k ∈ Z

e   ∀ x ∈ R , ∃ y ∈ R   |   x + y = 0

Exercício Resolvido #3

Para todas as afirmações a seguir n denota um número natural. Determine o conjunto verdade das seguintes proposições:

a   n 2 < 20

b   n - 4 n - 5 n - 6 = 0

c   2 n + 1 < 31   e   3 n + 2 > 8

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Passo 1

FAAAAALA AÍ, pequeno gafanhoto! Tu lembra o que é conjunto verdade? É justamente o conjunto que contém os valores da variável que torna a proposição verdadeira!

Dito isso, bora começar pelo começo:

a   n 2 < 20

Bom, o enunciado diz que n é número natural, então nós vamos considerar apenas os números maiores ou iguais a zero! Dá uma olhada na galera que compõe esse conjunto:

N = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   …

Como o nosso teto é 20 , não custa nada testar cada elemento do conjunto dos naturais para ver quais números obedecem a aquilo.

n = 0 → n 2 = 0 → 0 < 20

n = 1 → n 2 = 1 → 1 < 20

n = 2 → n 2 = 4 → 4 < 20

n = 3 → n 2 = 9 → 9 < 20

n = 4 → n 2 = 16 → 16 < 20

n = 5 → n 2 = 25 → 25 > 20

Pronto! Foi rápido! Então o conjunto verdade é:

{ 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 }

Passo 2

Dá uma olhada nessa:

b   n - 4 n - 5 n - 6 = 0

Bom, para ver o conjunto verdade, precisamos ver quais os valores que tornam a proposição verdadeira.

Ora bolas, se temos um produto com três parcelas sendo igual a 0 , quer dizer que ou:

n - 4 = 0 → n = 4

Ou:

n - 5 = 0 → n = 5

Ou:

n - 6 = 0 → n = 6

Ou pode ser os três sendo zero ao mesmo tempo. O importante aqui é perceber que esses são os números que tornam a nossa proposição verdadeira! Portanto, o conjunto verdade é:

4 ,   5 ,   6

Passo 3

Última, porém não menos importante:

c   2 n + 1 < 31   e   3 n + 2 > 8

Bom, aqui precisamos manipular essas inequações:

2 n + 1 < 31

2 n < 30

n < 15

Agora a próxima:

3 n + 2 > 8

3 n > 6

n > 2

Opa! Então estamos procurando por números naturais que sejam maiores que 2 e menores que 15 , já que:

2 < n < 15

Então o conjunto verdade:

{ 3,4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 ,   9 ,   10 ,   11 ,   12 ,   13 ,   14 }

Resposta

a   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4

b   { 4 ,   5 ,   6 }

c   { 3,4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 ,   9 ,   10 ,   11 ,   12 ,   13 ,   14 }

Exercício Resolvido #4

Dê exemplos ou contraexemplos, se existirem, para as seguintes afirmações:

a   P a r a   t o d o   x ∈ R ,   x + 3 > 4

b   P a r a   t o d o   y ∈ N ,   y 3 > 1

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Passo 1

Olá, meu anjo! Você lembra o que são os exemplos ou contraexemplos?

Exemplo é aquele cara que obedeça ao que nossa proposição diz!

Contraexemplo é justamente aquele que não obedece, que faz com que nossa proposição seja falsa! Olha o primeiro item:

a   P a r a   t o d o   x ∈ R ,   x + 3 > 4

Então, um exemplo para verificar nossa expressão é qualquer número REAL que obedeça a aquilo. Pode ser o número 2 , por exemplo, ou 3 , ou qualquer um acima de 1 .

Agora pensando num contraexemplo: o número 0 contradiz aquela inequação pois 0 + 3 < 4

A gente poderia simplesmente manipular aquela inequação, dessa forma:

x + 3 > 4

x > 1

Então aquilo só é verdade para números maiores que 1 . E é falso para números menores ou iguais a 1 .

E x e m p l o s : 2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6

C o n t r a e x e m p l o s : 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 2 ,   - 3

Tem inúmeros outros, mas selecionei alguns.

Passo 2

Agora dá uma olhada nessa aqui:

b   P a r a   t o d o   y ∈ N ,   y 3 > 1

Nesse item, precisamos ver quais números naturais obedecem a inequação:

y = 0 → y 3 = 0 → 0 < 1

Opa, já começamos achando aquele que não obedece! Ou seja, encontramos um contraexemplo.

y = 1 → y 3 = 1 → 1 = 1

Encontramos mais um contraexemplo!

y = 2 → y 3 = 8 → 8 > 1

Aeeee, a partir de agora todos os números irão satisfazer! Então:

E x e m p l o s : 2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6

C o n t r a e x e m p l o s : 0 ,   1

Resposta

a   E x e m p l o : 2   ,     C o n t r a e x e m p l o : 1

b   E x e m p l o : 3 ,     C o n t r a e x e m p l o : 0

Exercício Resolvido #5

Para as seguintes proposições, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas:

a   E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

b   E x i s t e   u m   n ú m e r o   n a t u r a l   n   t a l   q u e   n 2   é   d i v i s í v e l   p o r   10

c   P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

d   P a r a   t o d o   ϵ ,   e x i s t e   u m   δ ϵ   t a l   q u e   s e   0 < x - a < δ   e n t ã o   f x - f l < ϵ

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Passo 1

Bom, é como eu sempre digo, vamos começar do começo!

a   E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

Essa coisa de negação é meio chata né? Vamos começar passando para a linguagem simbólica, pois eu acho mais fácil de negar quando temos símbolos matemáticos, mas faça do jeito que você preferir!

Passando essa proposição para forma simbólica:

∃ x ∈ R   |   x 2 = 3

A negação será:

¬ ( ∃ x ∈ R   |   x 2 = 3 )

Na negação envolvendo os quantificadores e , o nosso amado “ | ” (tal que) se torna uma vígula.

Agora você imagina (só imagina, porque não é bem isso rs) que tem uma distributiva ali que vai jogar a negação para antes do “tal que” e para depois dele, assim:

¬ ∃ x ∈ R ,   ¬ ( x 2 = 3 )

Bom, para negar o “existe” é só colocar o “para todo”

∀ x ∈ R   ,   ¬ ( x 2 = 3 )

E negar uma igualdade, é só colocar uma desigualdade!

∀ x ∈ R   ,   x 2 ≠ 3

Em português:

P a r a   t o d o   n ú m e r o   r e a l   x ,   x 2 ≠ 3