Elementos de Lógica e Linguagem Matemática

Teoria Completa

Faaaaaala aí, pequeno gafanhoto! Vamos começar a ver a Lógica Matemática!

Você deve estar pensando: “Pra mim, não tem lógica nenhuma, nunca entendo nada”

Mas calma, nessa teoria você começar a entender. Para começar, vou te dizer o porquê de aprendermos ela: a Matemática possui uma linguagem própria, assim como você tem o português.

“Mas por quê?”

Porque os grandes sábios foram se deparando com escritas em que precisaram tornar universal, para que todos pudessem interpretar corretamente!

O que mais complica na nossa vida de estudante é que, às vezes, os termos matemáticos têm significados muito precisos e diferentes do usual, do que estamos acostumados. Porém, relaxa que vou fazer de tudo aqui para você compreender um pouco dessa nova linguagem!

O que são proposições?

Bom, você deve ter notado que temos duas teorias de Lógica. Porém, olha que legal, vamos trabalhar apenas uma coisa nelas duas: proposições!

Sim, proposições são muito importantes e vamos ficar craques nelas!!!

Você sabe o que é uma proposição ou já ouviu falar nela?

As proposições matemáticas nada mais são que frases (ou sentenças) às quais são atribuídas um valor de VERDADEIRO ou FALSO.

Por exemplo:

  • 2 + 5 = 7
  • Eu sou uma pessoa.
  • 2 234 + 3 567 é primo”

Todas essas frases são proposições, pois podemos dizer que são verdadeiras ou falsas. Olha um exemplo de uma frase que NÃO é uma proposição:

H o j e   e s t á   q u e n t e .

Não podemos dizer que é verdadeira ou falsa, porque não sabemos o que é estar quente, precisaríamos de uma temperatura de comparação! Outro exemplo:

V a m o s   c o m e r ?

Tem como dizer se isso é verdadeiro ou falso? Não! Portanto, não é uma proposição!

Em toda teoria usaremos as letras p ,   q ,   r e s para identificarmos uma proposição, ok? Vamos nessa!

Proposições abertas

Vou colocar aqui algumas proposições que você vai ver ao longo do seu curso, e aí vamos identificar cada coisinha nela:

p x = " x ∈ N   |   2 < x < 7 "

Percebe que a gente não tem como falar de cara se isso é VERDADEIRO ou FALSO, pois não temos como julgar isto dessa maneira, então chamamos isso de proposições abertas (justamente porque o valor de verdadeiro ou falso fica em aberto), onde a proposição depende de uma ou mais variáveis ( p x ,   p ( x , y ) ).

Para começar, perceba que temos ali no início um p ( x ) . Como eu te disse, p é como identificamos a proposição e escrevemos p ( x ) , pois é uma proposição que tem a variável x como sujeito dela.

O conjunto dos números naturais é o nosso universo de discurso, ou seja, nós substituímos o x por número que pertençam ao conjunto dos naturais, TAL QUE (aquele símbolo | ) o nosso x esteja entre 2 e 7 .

Bom, eu disse que não tem como julgar de cara o p ( x ) , mas podemos julgar, por exemplo, p ( 3 ) . Ou seja, vamos substituir x por 3 e checar se é verdade:

p 3 = " 3 ∈ N   |   2 < 3 < 7 "

Opa, isso verdade, concorda comigo? 3 pertence aos naturais e está entre 2 e 7 . Vamos verificar cada número natural que esteja entre 2 e 7 . Serão os números 3 ,   4 ,   5   e   6 . Então conjunto:

{ 3 ,   4 ,   5 ,   6 }

É chamado de conjunto verdade. Isto é, é o conjunto de termos que faz com que a nossa proposição seja verdadeira.

Ufa! Falamos de tudo que é importante numa proposição aberta: variável, universo de discurso e conjunto verdade.

Proposições Universais e Particulares

Usando essas proposições abertas, a gente pode fazer afirmações sobre todos os elementos de um conjunto, usando o quantificador universal que significa “para todo”, “para cada” ou “qualquer que seja”. Chamei de quantificador, pois ele exprime uma ideia de quantidade!

Olha um exemplo:

  • Para escrever simbolicamente a proposição “Para todo número natural n temos que 2 n é par”:
  • ∀ n ∈ N , 2 n   é   p a r

    Ou

    ∀ n ∈ N , p ( n )

    Em que p n = " 2 n   é   p a r "

    Perceba que o “temos que” é representado por uma vírgula.

    Além disso, também conseguimos fazer afirmações sobre pelo menos um elemento de um conjunto, usando o quantificador existencial que significa “existe”, ou seja, podem ter mais elementos que satisfaçam a relação. Olha um exemplo:

  • Para escrever simbolicamente a proposição “Existe número natural n tal que ele é menor que 3 ”:
  • ∃ n ∈ N   |   n < 3

    Ou:

    ∃ n ∈ N   |   p ( n )

    Em que p n = " n < 3 "

    Existem casos em que apenas um elemento do universo de discurso satisfaz a relação, olha o exemplo:

  • Para escrever simbolicamente a proposição “Existe número natural n e é único tal que ele é menor que 1 ”:
  • ∃ ! n ∈ N   |   n < 1

    Colocamos um ponto de exclamação para indicar que existe o elemento e ele é único (no caso, seria o n = 0 )

    Fazendo um apanhado geral: a proposição é universal quando diz respeito a todos os elementos de um conjunto e é particular quando não.

    Exemplos e contraexemplos

    Vou colocar aqui outra proposição:

    ∀ n ∈ N ,   n + 1 2   é   í m p a r

    Traduzindo para o português:

    P a r a   t o d o   n ú m e r o   n a t u r a l   n ,   t e m o s   q u e   n + 1 2   é   í m p a r

    Concorda comigo que 2 faz com que essa afirmação seja verdadeira? Pois 2 + 1 2 = 9 . A gente o chama de exemplo: todo número que faz com que a proposição seja verdadeira.

    Concorda comigo que 3 faz com que essa afirmação seja falsa? Pois 3 + 1 2 = 16 . A gente o chama de contraexemplo: todo número que faz com que a proposição seja falsa (ou seja, todo número que pertence ao domínio, mas não está no conjunto verdade)

    Já o número - 1 não é exemplo nem contraexemplo, pois ele nem pertence ao domínio (universo de discurso)

    De uma maneira geral, se uma proposição universal tem contraexemplos, ela é falsa. Pensa comigo: na proposição universal, estamos falando de todos os elementos de um conjunto. Se a gente encontra alguém do conjunto que não respeita a relação, então aquilo é mentira.

    Além disso, se uma proposição é particular, ela só é verdadeira se tem exemplos que comprovem, não tem problema nenhum ter contraexemplos.

    E, ou e não

    Agora que já várias proposições, nós vamos aprender a combiná-las. Por exemplo:

    3   é   í m p a r   e   5   é   p a r

    2   é   p r i m o   o u   9   é   p a r

    Na primeira frase, nós temos o conectivo (chama-se assim porque ele conecta duas proposições) “ e ( r e p r e s e n t a d o   p o r ∧ ) . Matematicamente escrevendo:

    p = 3   é   í m p a r

    q = 5   é   p a r

    Nossa frase ali é:

    p ∧ q

    E essa combinação só será verdadeira se as duas proposições forem verdadeiras! Caso uma delas seja falsa, então a proposição composta é falsa também.

    p   é   v e r d a d e i r a

    q   é   f a l s a

    Portanto:

    p ∧ q   é   f a l s a

    A segunda frase tem o conectivo “ o u ( r e p r e s e n t a d o   p o r ∨ ) :

    p = 2   é   p r i m o

    q = 9   é   p a r

    Temos então:

    p ∨ q

    E já te adianto que essa proposição composta é verdadeira!

    “Mas como assim??? 9 não é par!”

    Pois é, aqui está a diferença do que estamos acostumados. Na Matemática, essa proposição composta com o “ o u ” é verdadeira sempre que uma das proposições for verdadeira! Ou seja, a única forma dela ser falsa é se as duas proposições forem falsas! Deixo aqui uma tabelinha pra você:

    Agora vamos aprender a negar as proposições!!! *Isso é muito massa*

    Quando negamos uma proposição, estamos dizendo que ela não é verdade. Grava aí:

    A   n e g a ç ã o   d e   p   é   n ã o p   o u   ¬   p

    A   n e g a ç ã o   d e   p ∧ q   é   n ã o p ∨ n ã o q

    A   n e g a ç ã o   d e   p ∨ q   é   n ã o p ∧ n ã o ( q )

    A   n e g a ç ã o   d e   n ã o p   é   p

    Ou seja, meu anjo, toda vez que você for negar e ou o u , pensa que um vira o outro. Primeiro você joga o não em tudo, depois conserta o símbolo: se era e vira o u e se era o u vira e . Faz sentido que a negação da negação seja o próprio p .

    Exemplo:

  • A negação de " x   é   d i v i s í v e l   p o r   4   e   x   é   d i v i s í v e l   p o r   7 " é " x   n ã o   é   d i v i s í v e l   p o r   4   o u   x   n ã o   é   d i v i s í v e l   p o r   7 "
  • Agora vamos aprender a negar os quantificadores e . Adivinha só? Um vira o outro também! Exemplo:

  • Existe número inteiro x tal que x + 2 = 1

Vamos negar essa proposição, ok? Escrevendo matematicamente:

∃ x ∈ Z   |   x + 2 = 1

Ou

∃ x ∈ Z   |   p ( x )

Em que p x : ” x + 2 = 1 ”

¬ ∃ x ∈ Z   |   p ( x ) = ¬ ∃ x ∈ Z ,   ¬ p x

Perceba que o “tal que” vira uma vírgula na negação! E se você tiver uma vírgula, ela vira um “tal que” na negação! Além disso, fizemos tipo uma distributiva, jogando a negação para antes do antigo tal que e para depois dele também. Continuando:

¬ ∃ x ∈ Z ,   ¬ p x = ∄ x ∈ Z ,   x + 2 ≠ 1

Sei que parece bem mais intuitivo dizer que a negação de “existe” é “não existe” (e não está errado), e eu concordo, porém, o mais correto é você colocar o “para todo”:

¬ ∃ x ∈ Z   |   x + 2 = 1 = ∀ x ∈ Z ,   x + 2 ≠ 1

Expandir

Exercício Resolvido #1

Atribua valores verdades as seguintes proposições lógicas:

a   7   é   p a r   e   4   é   p r i m o

b   7   é   í m p a r   o u   6   é   p r i m o

c   N ã o   é   v e r d a d e   q u e   2   é   í m p a r   o u   10   é   p a r

d   8   n ã o   é   í m p a r   e   n ã o   é   v e r d a d e   q u e   2   é   p r i m o

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

FAAAAAALA AÍ! Bora resolver esse exercício, começando pelo começo:

a   7   é   p a r   e   4   é   p r i m o

Aqui, nós temos o conectivo “ e ”.

Lembre-se que para uma proposição composta seja verdadeira, quando usamos esse conectivo, precisamos que que as duas proposições sejam verdadeiras. Caso contrário, ela é falsa.

No nosso caso, as duas proposições são:

p = 7   é   p a r

q = 4   é   p r i m o

Mas o número 7 não é par, logo p é falsa. Já poderíamos parar aqui e dizer que a proposição composta é falsa, mas vamos continuar só para ficar completinha a resolução.

Além disso, 4 não é primo, já que é divisível por 2 .

Portanto a proposição composta:

p ∧ q

É FALSA.

Passo 2

Bora pra próxima!!!

b   7   é   í m p a r   o u   6   é   p r i m o