Elementos de Lógica e Linguagem Matemática

Resumo Completo

Faaaaaala aí, pequeno gafanhoto! Vamos começar a ver a Lógica Matemática!

Você deve estar pensando: “Pra mim, não tem lógica nenhuma, nunca entendo nada”

Mas calma, nessa teoria você começar a entender. Para começar, vou te dizer o porquê de aprendermos ela: a Matemática possui uma linguagem própria, assim como você tem o português.

“Mas por quê?”

Porque os grandes sábios foram se deparando com escritas em que precisaram tornar universal, para que todos pudessem interpretar corretamente!

O que mais complica na nossa vida de estudante é que, às vezes, os termos matemáticos têm significados muito precisos e diferentes do usual, do que estamos acostumados. Porém, relaxa que vou fazer de tudo aqui para você compreender um pouco dessa nova linguagem!

O que são proposições?

Bom, você deve ter notado que temos duas teorias de Lógica. Porém, olha que legal, vamos trabalhar apenas uma coisa nelas duas: proposições!

Sim, proposições são muito importantes e vamos ficar craques nelas!!!

Você sabe o que é uma proposição ou já ouviu falar nela?

As proposições matemáticas nada mais são que frases (ou sentenças) às quais são atribuídas um valor de VERDADEIRO ou FALSO.

Por exemplo:

  • 2 + 5 = 7
  • Eu sou uma pessoa.
  • 2 234 + 3 567 é primo”

Todas essas frases são proposições, pois podemos dizer que são verdadeiras ou falsas. Olha um exemplo de uma frase que NÃO é uma proposição:

H o j e   e s t á   q u e n t e .

Não podemos dizer que é verdadeira ou falsa, porque não sabemos o que é estar quente, precisaríamos de uma temperatura de comparação! Outro exemplo:

V a m o s   c o m e r ?

Tem como dizer se isso é verdadeiro ou falso? Não! Portanto, não é uma proposição!

Em toda teoria usaremos as letras p ,   q ,   r e s para identificarmos uma proposição, ok? Vamos nessa!

Proposições abertas

Vou colocar aqui algumas proposições que você vai ver ao longo do seu curso, e aí vamos identificar cada coisinha nela:

p x = " x N   |   2 < x < 7 "

Percebe que a gente não tem como falar de cara se isso é VERDADEIRO ou FALSO, pois não temos como jugar isto dessa maneira, então chamamos isso de proposições abertas (justamente porque o valor de verdadeiro ou falso fica em aberto), onde a proposição depende de uma ou mais variáveis ( p x ,   p ( x , y ) ).

Para começar, perceba que temos ali no início um p ( x ) . Como eu te disse, p é como identificamos a proposição e escrevemos p ( x ) , pois é uma proposição que tem a variável x como sujeito dela.

O conjunto dos números naturais é o nosso universo de discurso, ou seja, nós substituímos o x por número que pertençam ao conjunto dos naturais, TAL QUE (aquele símbolo | ) o nosso x esteja entre 2 e 7 .

Bom, eu disse que não tem como julgar de cara o p ( x ) , mas podemos julgar, por exemplo, p ( 3 ) . Ou seja, vamos substituir x por 3 e checar se é verdade:

p 3 = " 3 N   |   2 < 3 < 7 "

Opa, isso verdade, concorda comigo? 3 pertence aos naturais e está entre 2 e 7 . Vamos verificar cada número natural que esteja entre 2 e 7 . Serão os números 3 ,   4 ,   5   e   6 . Então conjunto:

{ 3 ,   4 ,   5 ,   6 }

É chamado de conjunto verdade. Isto é, é o conjunto de termos que faz com que a nossa proposição seja verdadeira.

Ufa! Falamos de tudo que é importante numa proposição aberta: variável, universo de discurso e conjunto verdade.

Proposições Universais e Particulares

Usando essas proposições abertas, a gente pode fazer afirmações sobre todos os elementos de um conjunto, usando o quantificador universal que significa “para todo”, “para cada” ou “qualquer que seja”. Chamei de quantificador, pois ele exprime uma ideia de quantidade!

Olha um exemplo:

  • Para escrever simbolicamente a proposição “Para todo número natural n temos que 2 n é par”:
  • n N , 2 n   é   p a r

    Ou

    n N , p ( n )

    Em que p n = " 2 n   é   p a r "

    Perceba que o “temos que” é representado por uma vírgula.

    Além disso, também conseguimos fazer afirmações sobre pelo menos um elemento de um conjunto, usando o quantificador existencial que significa “existe”, ou seja, podem ter mais elementos que satisfaçam a relação. Olha um exemplo:

  • Para escrever simbolicamente a proposição “Existe número natural n tal que ele é menor que 3 ”:
  • n N   |   n < 3

    Ou:

    n N   |   p ( n )

    Em que p n = " n < 3 "

    Existem casos em que apenas um elemento do universo de discurso satisfaz a relação, olha o exemplo:

  • Para escrever simbolicamente a proposição “Existe número natural n e é único tal que ele é menor que 1 ”:
  • ! n N   |   n < 1

    Colocamos um ponto de exclamação para indicar que existe o elemento e ele é único (no caso, seria o n = 0 )

    Fazendo um apanhado geral: a proposição é universal quando diz respeito a todos os elementos de um conjunto e é particular quando não.

    Exemplos e contraexemplos

    Vou colocar aqui outra proposição:

    n N ,   n + 1 2   é   í m p a r

    Traduzindo para o português:

    P a r a   t o d o   n ú m e r o   n a t u r a l   n ,   t e m o s   q u e   n + 1 2   é   í m p a r

    Concorda comigo que 2 faz com que essa afirmação seja verdadeira? Pois 2 + 1 2 = 9 . A gente o chama de exemplo: todo número que faz com que a proposição seja verdadeira.

    Concorda comigo que 3 faz com que essa afirmação seja falsa? Pois 3 + 1 2 = 16 . A gente o chama de contraexemplo: todo número que faz com que a proposição seja falsa (ou seja, todo número que pertence ao domínio, mas não está no conjunto verdade)

    Já o número - 1 não é exemplo nem contraexemplo, pois ele nem pertence ao domínio (universo de discurso)

    De uma maneira geral, se uma proposição universal tem contraexemplos, ela é falsa. Pensa comigo: na proposição universal, estamos falando de todos os elementos de um conjunto. Se a gente encontra alguém do conjunto que não respeita a relação, então aquilo é mentira.

    Além disso, se uma proposição é particular, ela só é verdadeira se tem exemplos que comprovem, não tem problema nenhum ter contraexemplos.

    E, ou e não

    Agora que já várias proposições, nós vamos aprender a combiná-las. Por exemplo:

    3   é   í m p a r   e   5   é   p a r

    2   é   p r i m o   o u   9   é   p a r

    Na primeira frase, nós temos o conectivo (chama-se assim porque ele conecta duas proposições) “ e ( r e p r e s e n t a d o   p o r ) . Matematicamente escrevendo:

    p = 3   é   í m p a r

    q = 5   é   p a r

    Nossa frase ali é:

    p q

    E essa combinação só será verdadeira se as duas proposições forem verdadeiras! Caso uma delas seja falsa, então a proposição composta é falsa também.

    p   é   v e r d a d e i r a

    q   é   f a l s a

    Portanto:

    p ��� q   é   f a l s a

    A segunda frase tem o conectivo “ o u ( r e p r e s e n t a d o   p o r ) :

    p = 2   é   p r i m o

    q = 9   é   p a r

    Temos então:

    p q

    E já te adianto que essa proposição composta é verdadeira!

    “Mas como assim??? 9 não é par!”

    Pois é, aqui está a diferença do que estamos acostumados. Na Matemática, essa proposição composta com o “ o u ” é verdadeira sempre que uma das proposições for verdadeira! Ou seja, a única forma dela ser falsa é se as duas proposições forem falsas! Deixo aqui uma tabelinha pra você:

    Agora vamos aprender a negar as proposições!!! *Isso é muito massa*

    Quando negamos uma proposição, estamos dizendo que ela não é verdade. Grava aí:

    A   n e g a ç ã o   d e   p   é   n ã o p   o u   ¬   p

    A   n e g a ç ã o   d e   p q   é   n ã o p n ã o q

    A   n e g a ç ã o   d e   p q   é   n ã o p n ã o ( q )

    A   n e g a ç ã o   d e   n ã o p   é   p

    Ou seja, meu anjo, toda vez que você for negar e ou o u , pensa que um vira o outro. Primeiro você joga o não em tudo, depois conserta o símbolo: se era e vira o u e se era o u vira e . Faz sentido que a negação da negação seja o próprio p .

    Exemplo:

  • A negação de " x   é   d i v i s í v e l   p o r   4   e   x   é   d i v i s í v e l   p o r   7 " é " x   n ã o   é   d i v i s í v e l   p o r   4   o u   x   n ã o   é   d i v i s í v e l   p o r   7 "
  • Agora vamos aprender a negar os quantificadores e . Adivinha só? Um vira o outro também! Exemplo:

  • Existe número inteiro x tal que x + 2 = 1

Vamos negar essa proposição, ok? Escrevendo matematicamente:

x Z   |   x + 2 = 1

Ou

x Z   |   p ( x )

Em que p x : x + 2 = 1

¬ x Z   |   p ( x ) = ¬ x Z ,   ¬ p x

Perceba que o “tal que” vira uma vírgula na negação! E se você tiver uma vírgula, ela vira um “tal que” na negação! Além disso, fizemos tipo uma distributiva, jogando a negação para antes do antigo tal que e para depois dele também. Continuando:

¬ x Z ,   ¬ p x = x Z ,   x + 2 1

Sei que parece bem mais intuitivo dizer que a negação de “existe” é “não existe” (e não está errado), e eu concordo, porém, o mais correto é você colocar o “para todo”:

¬ x Z   |   x + 2 = 1 = x Z ,   x + 2 1

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Atribua valores verdades as seguintes proposições lógicas:

a   7   é   p a r   e   4   é   p r i m o

b   7   é   í m p a r   o u   6   é   p r i m o

c   N ã o   é   v e r d a d e   q u e   2   é   í m p a r   o u   10   é   p a r

d   8   n ã o   é   í m p a r   e   n ã o   é   v e r d a d e   q u e   2   é   p r i m o

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

FAAAAAALA AÍ! Bora resolver esse exercício, começando pelo começo:

a   7   é   p a r   e   4   é   p r i m o

Aqui, nós temos o conectivo “ e ”.

Lembre-se que para uma proposição composta seja verdadeira, quando usamos esse conectivo, precisamos que que as duas proposições sejam verdadeiras. Caso contrário, ela é falsa.

No nosso caso, as duas proposições são:

p = 7   é   p a r

q = 4   é   p r i m o

Mas o número 7 não é par, logo p é falsa. Já poderíamos parar aqui e dizer que a proposição composta é falsa, mas vamos continuar só para ficar completinha a resolução.

Além disso, 4 não é primo, já que é divisível por 2 .

Portanto a proposição composta:

p q

É FALSA.

Passo 2

Bora pra próxima!!!

b   7   é   í m p a r   o u   6   é   p r i m o

Bora lembrar como sabemos se isso é verdadeiro ou falso?

Quando temos o conectivo “ o u ”, a proposição composta é verdadeira se uma das proposições forem verdadeiras. E a proposição composta é falsa se as duas proposições são falsas!

p = 7   é   í m p a r

q = 6   é   p r i m o

Ora, é verdade que 7 é ímpar, logo p é verdadeira.

6 não é primo, logo q é falsa.

Como uma delas é verdade, temos que:

p q

É VERDADEIRA.

Passo 3

Dá uma olhada nessa aqui agora:

c   N ã o   é   v e r d a d e   q u e   2   é   í m p a r   o u   10   é   p a r

Bom, novamente, temos uma proposição composta com o conectivo “ o u ”. Bora relembrar:

Quando temos o conectivo “ o u ”, a proposição composta é verdadeira se uma das proposições forem verdadeiras. E a proposição composta é falsa se as duas proposições são falsas!

p = N ã o   é   v e r d a d e   q u e   2   é   í m p a r

q = 10   é   p a r

Ora bolas, a primeira proposição está perfeitamente correta. Aliás, 2 é par, então não é verdade que ele é ímpar.

Já poderíamos parar por aqui mesmo e dizer que essa proposição composta é verdadeira, mas vamos analisar a outra proposição só para deixar tudo completinho.

A segunda proposição também é verdadeira, afinal, 10 é divisível por 2 , logo é par.

Portanto, a proposição composta:

p q

É VERDADEIRA.

Passo 4

Se liga nessa agora:

d   8   n ã o   é   í m p a r   e   n ã o   é   v e r d a d e   q u e �� 2   é   p r i m o

Ai gente, finalmente nos deparamos com “ e ”, já não aguentava mais esses “ o u ” hahaha

Lembre-se que para uma proposição composta seja verdadeira, quando usamos o conectivo “ e ”, precisamos que que as duas proposições sejam verdadeiras. Caso contrário, ela é falsa.

Bora dar uma olhada nas nossas proposições:

p = 8   n ã o   é   í m p a r

q = n ã o   é   v e r d a d e   q u e   2   é   p r i m o

Então, concorda comigo que p é verdadeira? Veja bem, sabemos que 8 é par por ser divisível por 2 , logo, ele não é ímpar.

Agora vamos analisar q : 2 é primo, logo, q é falsa.

Como não temos as duas proposições verdadeiras (temos uma apenas):

p q

É FALSA.

Resposta

a   F

b   V

c   V

d   F

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica:

a   E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   n   t a l   q u e   n 2 = 3

b   N ã o   e x i s t e   n ú m e r o   r a c i o n a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

c   E x i s t e   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   e   d i v i s í v e l   p o r   5

d   E x i s t e   u m   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   o u   x 2   é   í m p a r

e   P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, você deve estar arrancando os cabelos, depois de ter lido que vai ter que escrever essa galera toda na forma simbólica hahaha

Mas relaxa, vai ser muito divertido resolvermos isso! É como eu sempre digo, vamos começar do começo!

a   E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   n   t a l   q u e   n 2 = 3

Bom, primeiramente, comecemos com a primeira palavra: “Existe”Na Matemática, essa palavra tem um símbolo associado a ela, que é o .

Agora, vamos olhar para “um número real n ”: esse tipo de expressão nos diz a qual conjunto o nosso n pertence. Como ele é real temos que:

E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   n = n R

Maneiroooo! Falta só a expressão “tal que n 2 = 3 ”. Cara, “tal que” na Matemática pode ser substituído por “ | ” ou “ ,

Vamos ver como fica:

E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   n   t a l   q u e   n 2 = 3

Na forma simbólica:

n R   |   n 2 = 3

Passo 2

Bora pra próxima!!!

b   N ã o   e x i s t e   n ú m e r o   r a c i o n a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

A gente acabou de ver como é o símbolo de “Existe” ( ) . Mas e como é o símbolo de “Não existe”??? É simples, é só cortar esse ( ) :

N ã o   e x i s t e =

Maneiro, agora olha a expressão “não existe racional x ”: já te falei que esse tipo de expressão nos diz a qual conjunto o x pertence. Logo:

N ã o   e x i s t e   n ú m e r o   r a c i o n a l   x = x Q

Ai que lindo, to amando! Vamos para a próxima e última expressão: “tal que x 2 = 3

É só substituir o “tal que” por “ | ” ou “ ,

Assim, ficamos com:

N ã o   e x i s t e   n ú m e r o   r a c i o n a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

Na forma simbólica:

x Q   |   x 2 = 3

Passo 3

Se liga nessa:

c   E x i s t e   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   e   d i v i s í v e l   p o r   5

Gente, mesma coisa que acabamos de ver nesse iniciozinho! Temos o “existe” que substituiremos por .

A expressão “número real x ” nos costuma dizer a qual conjunto a variável x pertence, então substituiremos por x Z

Agora vamos olhar para o finalzinho da nossa proposição:

x 2   é   p a r   e   d i v i s í v e l   p o r   5

Cara, é o seguinte: para x 2 ser par, ele precisa ser divisível por 2 . Então vamos reescrever a expressão assim:

x 2   é   d i v i s í v e l   p o r   2   e   p o r   5

Pensa comigo: pra um cara ser divisível por 2 e 5 ao mesmo tempo, ele tem que ser divisível por 10 , que é o produto deles dois. Logo:

x 2   é   d i v i s í v e l   p o r   10

E para ser divisível por 10 , ele precisa ser múltiplo de 10 , então ele será igual a 10 vezes algum cara que pode ser qualquer número natural. Então escreveremos assim:

x 2 = 10 k ,   k N

Ficamos com:

E x i s t e   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   e   d i v i s í v e l   p o r   5

Na forma simbólica:

x Z   |   x 2 = 10 k ,   k N

Passo 4

Próxima é essa:

d   E x i s t e   u m   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   o u   x 2   é   í m p a r

Show! Bora começar com a primeira palavra: “existe”. Ela será substituída por .

A segunda expressão é: “um número inteiro x ”. Como já falei, esse tipo de expressão nos diz a qual conjunto a variável x pertence. Então, substituiremos por x Z .

A última expressão é: “tal que x 2 é par ou x 2 é ímpar”. Esse tal que vamos substituir por “ | ” e para x 2 ser par, ele precisa ser múltiplo de 2 .

Para x 2 ser ímpar, ele precisa ser escrito na forma 2 k + 1 ,   k Z .

Então ficamos com:

E x i s t e   u m   n ú m e r o   i n t e i r o   x   t a l   q u e   x 2   é   p a r   o u   x 2   é   í m p a r

Na forma simbólica:

x Z   |   x 2 = 2 k x 2 = 2 k + 1 ,   k Z

Passo 5

e   P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x ,   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

Bom, a primeira expressão é “para cada” e ela tem um símbolo associado a ela na Matemática: , que quer dizer “para todo”/ “para cada”/ “para qualquer”.

Próxima expressão: “número real x ”. Ela nos diz a qual conjunto nossa variável x pertence. Assim, temos: x R

Agora a próxima é: “existe”. Já sabemos, é só substituir por

Mais uma expressão: “um número real y ”. Ela nos diz a qual conjunto nossa variável y pertence. Assim, temos: y R

Finalmente: “tal que x + y = 0 ”. Vamos substituir “tal que” por “ |

Ficamos com:

P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x ,   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

Na forma simbólica:

x R , y R   |   x + y = 0

Resposta

a   n R   |   n 2 = 3

b   x Q   |   x 2 = 3

c   x Z   |   x 2 = 10 k ,   k N

d   x Z   |   x 2 = 2 k x 2 = 2 k + 1 ,   k Z

e   x R , y R   |   x + y = 0

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Para todas as afirmações a seguir n denota um número natural. Determine o conjunto verdade das seguintes proposições:

a   n 2 < 20

b   n - 4 n - 5 n - 6 = 0

c   2 n + 1 < 31   e   3 n + 2 > 8

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

FAAAAALA AÍ, pequeno gafanhoto! Tu lembra o que é conjunto verdade? É justamente o conjunto que contém os valores da variável que torna a proposição verdadeira!

Dito isso, bora começar pelo começo:

a   n 2 < 20

Bom, o enunciado diz que n é número natural, então nós vamos considerar apenas os números maiores ou iguais a zero! Dá uma olhada na galera que compõe esse conjunto:

N = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7 ,  

Como o nosso teto é 20 , não custa nada testar cada elemento do conjunto dos naturais para ver quais números obedecem a aquilo.

n = 0 n 2 = 0 0 < 20

n = 1 n 2 = 1 1 < 20

n = 2 n 2 = 4 4 < 20

n = 3 n 2 = 9 9 < 20

n = 4 n 2 = 16 16 < 20

n = 5 n 2 = 25 25 > 20

Pronto! Foi rápido! Então o conjunto verdade é:

{ 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 }

Passo 2

Dá uma olhada nessa:

b   n - 4 n - 5 n - 6 = 0

Bom, para ver o conjunto verdade, precisamos ver quais os valores que tornam a proposição verdadeira.

Ora bolas, se temos um produto com três parcelas sendo igual a 0 , quer dizer que ou:

n - 4 = 0 n = 4

Ou:

n - 5 = 0 n = 5

Ou:

n - 6 = 0 n = 6

Ou pode ser os três sendo zero ao mesmo tempo. O importante aqui é perceber que esses são os números que tornam a nossa proposição verdadeira! Portanto, o conjunto verdade é:

4 ,   5 ,   6

Passo 3

Última, porém não menos importante:

c   2 n + 1 < 31   e   3 n + 2 > 8

Bom, aqui precisamos manipular essas inequações:

2 n + 1 < 31

2 n < 30

n < 15

Agora a próxima:

3 n + 2 > 8

3 n > 6

n > 3

Opa! Então estamos procurando por números naturais que sejam maiores que 3 e menores que 15 , já que:

3 < n < 15

Então o conjunto verdade:

{ 4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 ,   9 ,   10 ,   11 ,   12 ,   13 ,   14 }

Resposta

a   0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4

b   { 4 ,   5 ,   6 }

c   { 4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 ,   9 ,   10 ,   11 ,   12 ,   13 ,   14 }

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Dê exemplos ou contraexemplos, se existirem, para as seguintes afirmações:

a   P a r a   t o d o   x R ,   x + 3 > 4

b   P a r a   t o d o   y N ,   y 3 > 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Olá, meu anjo! Você lembra o que são os exemplos ou contraexemplos?

Exemplo é aquele cara que obedeça ao que nossa proposição diz!

Contraexemplo é justamente aquele que não obedece, que faz com que nossa proposição seja falsa! Olha o primeiro item:

a   P a r a   t o d o   x R ,   x + 3 > 4

Então, um exemplo para verificar nossa expressão é qualquer número REAL que obedeça a aquilo. Pode ser o número 2 , por exemplo, ou 3 , ou qualquer um acima de 1 .

Agora pensando num contraexemplo: o número 0 contradiz aquela inequação pois 0 + 3 < 4

A gente poderia simplesmente manipular aquela inequação, dessa forma:

x + 3 > 4

x > 1

Então aquilo só é verdade para números maiores que 1 . E é falso para números menores ou iguais a 1 .

E x e m p l o s : 2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6

C o n t r a e x e m p l o s : 1 ,   0 ,   - 1 ,   - 2 ,   - 3

Tem inúmeros outros, mas selecionei alguns.

Passo 2

Agora dá uma olhada nessa aqui:

b   P a r a   t o d o   y N ,   y 3 > 1

Nesse item, precisamos ver quais números naturais obedecem a inequação:

y = 0 y 3 = 0 0 < 1

Opa, já começamos achando aquele que não obedece! Ou seja, encontramos um contraexemplo.

y = 1 y 3 = 1 1 = 1

Encontramos mais um contraexemplo!

y = 2 y 3 = 8 8 > 1

Aeeee, a partir de agora todos os números irão satisfazer! Então:

E x e m p l o s : 2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6

C o n t r a e x e m p l o s : 0 ,   1

Resposta

a   E x e m p l o : 2   ,     C o n t r a e x e m p l o : 1

b   E x e m p l o : 3 ,     C o n t r a e x e m p l o : 0

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Para as seguintes proposições, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas:

a   E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

b   E x i s t e   u m   n ú m e r o   n a t u r a l   n   t a l   q u e   n 2   é   d i v i s í v e l   p o r   10

c   P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

d   P a r a   t o d o   ϵ ,   e x i s t e   u m   δ ϵ   t a l   q u e   s e   0 < x - a < δ   e n t ã o   f x - f l < ϵ

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, é como eu sempre digo, vamos começar do começo!

a   E x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   x   t a l   q u e   x 2 = 3

Essa coisa de negação é meio chata né? Vamos começar passando para a linguagem simbólica, pois eu acho mais fácil de negar quando temos símbolos matemáticos, mas faça do jeito que você preferir!

Passando essa proposição para forma simbólica:

x R   |   x 2 = 3

A negação será:

¬ ( x R   |   x 2 = 3 )

Na negação envolvendo os quantificadores e , o nosso amado “ | ” (tal que) se torna uma vígula.

Agora você imagina (só imagina, porque não é bem isso rs) que tem uma distributiva ali que vai jogar a negação para antes do “tal que” e para depois dele, assim:

¬ x R ,   ¬ ( x 2 = 3 )

Bom, para negar o “existe” é só colocar o “para todo”

x R   ,   ¬ ( x 2 = 3 )

E negar uma igualdade, é só colocar uma desigualdade!

x R   ,   x 2 3

Em português:

P a r a   t o d o   n ú m e r o   r e a l   x ,   x 2 3

Percebe que isso soa meio esquisito né? Nessas horas, precisamos ter senso, anjo! Faz muito mais sentido:

P a r a   t o d o   n ú m e r o   r e a l   x   t e m o s   q u e   x 2 3

Passo 2

Próxima:

b   E x i s t e   u m   n ú m e r o   n a t u r a l   n   t a l   q u e   n 2   é   d i v i s í v e l   p o r   10

Novamente, passando pra linguagem simbólica:

n N   |   n 2 = 10 k ,   k N

Agora vamos negar tudo isso, lembrando que a negação do é , o “ | ” vira uma vírgula e a vírgula vira um “ | ”:

¬ ( n N   |   n 2 = 10 k ,   k N )

¬ n N , ¬ ( n 2 = 10 k ,   k N )

n N   ,   n 2 10 k   |   k N

Em português:

P a r a   t o d o   n ú m e r o   n a t u r a l   n ,   n 2   n ã o   é   d i v i s í v e l   p o r   10

Perceba que novamente é meio estranho. Utilizando o bom senso, escreveríamos:

P a r a   t o d o   n ú m e r o   n a t u r a l   n   t e m o s   q u e   n 2   n ã o   é   d i v i s í v e l   p o r   10

Passo 3

Se liga nessa belezura agora:

c   P a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   x ,   e x i s t e   u m   n ú m e r o   r e a l   y   t a l   q u e   x + y = 0

Novamente, passando isso para a forma simbólica:

x R ,   y R   |   x + y = 0

Vamos negar essa coisa toda agora! Lembrando que a negação de “existe” é “para todo” e a negação de “para todo” é “existe”, o tal que vira uma vírgula e a vírgula vira um tal que:

¬ ( x R ,   y R   |   x + y = 0 )

¬ x R ,   y R , ¬ ( x + y = 0 )

x R   |   y R   ,   x + y 0

Em português:

E x i s t e   n ú m e r o   r e a l   x   t a l   q u e   p a r a   t o d o   n ú m e r o   r e a l   y ,   x + y 0

Ou:

E x i s t e   n ú m e r o   r e a l   x   t a l   q u e   p a r a   c a d a   n ú m e r o   r e a l   y   t e m o s   q u e   x + y 0

Passo 4

Último item, porém, não menos importante:

d   P a r a   t o d o   ϵ ,   e x i s t e   u m   δ ϵ   t a l   q u e   s e   0 < x - a < δ   e n t ã o   f x - f l < ϵ

Vamos passar isso para a forma simbólica:

ϵ , δ ϵ   |   0 < x - a < δ     f x - f l < ϵ

Agora vamos negar tudo isso, lembrando que a negação de é e a negação de é , o tal que vira uma vírgula e a vírgula vira um tal que:

¬ ( ϵ , δ ϵ   |   0 < x - a < δ     f x - f l < ϵ )

Vamos fingir que tem uma distributiva:

¬ ϵ , δ ϵ ,   ¬ ( 0 < x - a < δ     f x - f l < ϵ )

Agora revolveremos em partes:

¬ ϵ , δ ϵ

ϵ   |   δ ϵ

Por último:

¬ 0 < x - a < δ     f x - f l < ϵ

Opaaaaa! Temos uma negação de uma implicação! Você lembra como é a negação disso? Olha só:

¬ p   q = p ¬ q

Então no nosso caso:

0 < x - a < δ f x - f l > ϵ

Juntando tudo:

ϵ   |   δ ϵ ,   0 < x - a < δ f x - f l > ϵ

Em português:

E x i s t e   ϵ   t a l   q u e   p a r a   t o d o   δ ϵ ,   0 < x - a < δ f x - f l > ϵ

Resposta

a   x R   |   x 2 3 ,     P a r a   t o d o   n ú m e r o   r e a l   x   t e m o   q u e   x 2 3

b   n N   |   n 2 10 k ,   k N ,     P a r a   t o d o   n ú m e r o   n a t u r a l   n   t e m o s   q u e   n 2   n ã o   é   d i v i s í v e l   p o r   10

c   x R ,   y R   |   x + y 0 ,     E x i s t e   n ú m e r o   r e a l   x   t a l   q u e   p a r a   t o d o   n ú m e r o   r e a l   y ,   x + y 0

d   ϵ ,   δ ϵ   |   0 < x - a < δ f x - f l > ϵ ,     E x i s t e   ϵ   t a l   q u e   p a r a   t o d o   δ ϵ ,   0 < x - a < δ f x - f l > ϵ

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas