Equação de círculos, hipérboles e parábolas

Teoria Completa

Introdução

Fala, galera! Agora vamos aprender um pouco sobre as seções cônicas, que nada mais são que aquelas figuras que a gente já conhece: Circunferência, Elipse, Hipérbole e Parábola.

Mas aí você me pergunta: “Por que raios isso é chamado de cônicas?”

Faz de contas que a gente tem dois cones unidos pelos vértices, tipo uma ampulheta, e vamos fatiar estes cones em quatro posições distintas, formando as quatro figuras que a gente viu. Vamos ver como que a gente pode fazer isso explicando bem uma por uma.

Circunferência

É a seção horizontal, ou seja, se a gente cortar o cone com um plano horizontal a parte do cone que tocou o plano é uma circunferência, como na figura:

A equação geral da circunferência é dada por:

x - a ² + y - b 2 = R ²

Sendo C x , y = ( a , b ) o ponto que representa o centro e R o raio dessa circunferência. Tipo assim:

Daí, se a circunferência estiver centrada na origem, ou seja, C x , y = ( 0,0 ) a equação da circunferência será dada por:

x ² + y ² = R ²

Elipse

Uma elipse é meio que uma circunferência esticada em um dos eixos. Esse “esticamento” é feito a partir da rotação do plano que corta o cone em um pequeno ângulo, como na figura abaixo:

A equação da elipse é dada por:

x - a ² A ² + y - b 2 B ² = 1

Sendo novamente C x , y = a , b o centro da circunferência e A   e   B o tamanho dos semieixos horizontais e verticais respectivamente da elipse.

Obs: Se A > B , teremos uma elipse “deitada”, ou seja, o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo x . Já no caso de B > A , teremos uma elipse “em pé”, ou seja, o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo y . Se A = B teremos uma circunferência. :D

Bizus de como identificar uma elipse:

Existem algumas formas de se escrever a equação de uma elipse, porém para identificar que é uma elipse temos que SEMPRE transformar a equação dada em algo do tipo x - a ² A ² + y - b 2 B ² = 1 .

  • 4 x ² + 9 y ² = 36
  • Pra chegar na equação da elipse, devemos ter o lado direito da igualdade igual a 1, então bora dividir os dois lados por 36.

    4 36 x 2 + 9 36 y 2 = 1

    x 2 9 + y 2 4 = 1

    Que é uma elipse de semieixo maior A = 3 e semieixo menor B = 2 .

  • f x = x x - 4
  • Ah, aqui podemos substituir o f x por y pra ficar mais a cara da equação que aprendemos.

    y = x 4 - 2 x

    Elevando os dois lados ao quadrado, teremos:

    y ² = 4 x - 2 x ²

    Passando tudo pra um lado só, teremos:

    y ² + 2 x ² - 4 x = 0

    y ² + 2 x ² - 2 x = 0

    Aí que vem o pulo do gato. Podemos somar 2 os dois lados e teremos...

    y 2 + 2 x 2 - 2 x + 2 = 2

    y 2 + 2 x 2 - 2 x + 1 = 2

    y ² + 2 x - 1 ² = 2

    Mas como temos que deixar o lado direito da igualdade como 1 , devemos dividir os dois lados por 2, logo:

    y 2 2 + x - 1 2 = 1

    Ou melhor:

    y 2 2 ² + x - 1 2 = 1

    E pra esboçar, vamos ter uma elipse de A = 2 , B = 1 deslocada no eixo x na posição x = 1 .

    Mas tá, então, vamos ter uma elipse completa com essas características né?

    Só que não! Lááá em cima teve um passo em que a gente viu que a gente passou de   y = x 4 - 2 x para y ² = 4 x - 2 x ² . Se a gente tirasse a raiz de novo dessa segunda expressão nós teríamos:

    y = ± x 4 - 2 x

    Aí sim, essa expressão nos daria uma elipse completa, porém o que o enunciado nos deu só representa a parte positiva de y , logo o nosso gráfico será:

    Parábola

    A parábola é uma curva que a gente já conhece melhor desde o ensino fundamental que é a curva de uma equação de segundo grau, certo? Ela nada mais nada menos é que um corte no cone feito da seguinte forma:

    A equação das parábola é bem simples, e como falei, a gente já sabe bem como elas são escritas desde o ensino fundamental, as equações do 2° grau. A parada é que aqui também poderemos escrevê-las deitadas. Saca só!

    Equação Geral para uma parábola “em pé”:

    y = a x ² + b x + c

    Tá, mas como vou desenhar a parábola a partir desta equação?

    Aqui a gente vai fazer um sisteminha , onde os nossos coeficientes serão , [confia em mim]:

    a = 1 2 p ,   b = - m p   e   c = m 2 2 p + n

    Sendo m , n     a posição do vértice da parábola e p uma característica da parábola, (que aqui não vamos abordar muito, utilizaremos apenas para achar os valores de m   e   n ).

    Se a > 0   a parábola estará com concavidade voltada para cima, se a < 0 estará com a concavidade voltada para baixo, como mostrado nas figuras da esquerda e da direita respectivamente.

    Equação Geral para uma parábola “deitada:

    x = a y ² + b y + c

    Daí, teremos que:

    a = 1 2 p   ,   b = - m p     e     c = n 2 2 p + m

    Com as mesmas especificações dadas para o caso de parábola “em pé”.

    Nesse caso, que se a > 0 a parábola terá concavidade voltada para direita, e se a < 0 a parábola estará voltada para a esquerda, como na figura abaixo:

    Um exemplo de como fazemos isso? Se liga aí!

    Plotar o gráfico da função f x = x ² - 5 x + 6 .

    A gente já sabe que pode substituir o f x por y , né?

    Daí aqui temos que:

    a = 1 ,   b = - 5   e   c = 6

    Show?

    Agora utilizamos o sisteminha lá:

    a = 1 2 p = 1

    Logo, p = 1 2 .

    b = - m p = - 5

    5 = m 1 2

    Logo, m = 5 2 .

    c = m 2 2 p + n = 6

    25 4 2.1 2 + n = 6

    Logo, n = - 1 4 .

    Ah, também podemos ver que essa expressão tem duas raízes, x = 2   e   x = 3 . Para nos ajudar no esboço do gráfico podemos representar essas raízes também. Logo o gráfico será algo do tipo:

    Hipérbole

    A hipérbole talvez seja o gráfico que desses você menos ouviu falar. Ela é o corte do cone dado na seguinte posição:

    Como vimos aí, agora o plano corta duas vezes o cone em cima e embaixo.

    A equação da hipérbole é bem parecida com a da elipse, com apenas um detalhe, uma das partes tem sinal de menos, ou seja:

    x - a ² A ² - y - b ² B ² = 1

    Ou

    - x - a ² A ² + y - b ² B ² = 1

    No 1° caso, teremos uma hipérbole centrada no eixo horizontal, ou seja, a expressão que contém o x é positiva.

    No 2° caso, teremos uma hipérbole centrada num eixo vertical, ou seja, a expressão que contém o y é positiva.

    Tá, mas como é que eu vou esboçar essas hipérboles?

    Simples!

    Após aquela equação montada vamos ter o centro da hipérbole no ponto C = a , b . Ah, o centro é exatamente a metade da distância entre os vértices das duas folhas da hipérbole.

    Se a hipérbole for do tipo centrada no eixo horizontal, ou seja, x - a 2 A 2 - y - b 2 B 2 = 1 você vai pegar o ponto C = a , b e andar A pra esquerda e pra direita, de forma que os vértices serão em a + A   e   a - A se mantendo na posição de y = b .

    Logo os vértices serão V ' = a - A , b   e   V ' ' = a + A , b .

    Já para as hipérboles centradas na vertical a parada será o contrário. Elas também serão centradas em