Equação de círculos, hipérboles e parábolas

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Teoria

Introdução

Fala, galera! Agora vamos aprender um pouco sobre as seções cônicas, que nada mais são que aquelas figuras que a gente já conhece: Circunferência, Elipse, Hipérbole e Parábola.

Mas aí você me pergunta: “Por que raios isso é chamado de cônicas?”

Faz de contas que a gente tem dois cones unidos pelos vértices, tipo uma ampulheta, e vamos fatiar estes cones em quatro posições distintas, formando as quatro figuras que a gente viu. Vamos ver como que a gente pode fazer isso explicando bem uma por uma.

Circunferência

É a seção horizontal, ou seja, se a gente cortar o cone com um plano horizontal a parte do cone que tocou o plano é uma circunferência, como na figura:

A equação geral da circunferência é dada por:

x - a ² + y - b 2 = R ²

Sendo C x , y = ( a , b ) o ponto que representa o centro e R o raio dessa circunferência. Tipo assim:

Daí, se a circunferência estiver centrada na origem, ou seja, C x , y = ( 0,0 ) a equação da circunferência será dada por:

x ² + y ² = R ²

Elipse

Uma elipse é meio que uma circunferência esticada em um dos eixos. Esse “esticamento” é feito a partir da rotação do plano que corta o cone em um pequeno ângulo, como na figura abaixo:

A equação da elipse é dada por:

x - a ² A ² + y - b 2 B ² = 1

Sendo novamente C x , y = a , b o centro da circunferência e A   e   B o tamanho dos semieixos horizontais e verticais respectivamente da elipse.

Obs: Se A > B , teremos uma elipse “deitada”, ou seja, o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo x . Já no caso de B > A , teremos uma elipse “em pé”, ou seja, o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo y . Se A = B teremos uma circunferência. :D

Bizus de como identificar uma elipse:

Existem algumas formas de se escrever a equação de uma elipse, porém para identificar que é uma elipse temos que SEMPRE transformar a equação dada em algo do tipo x - a ² A ² + y - b 2 B ² = 1 .

  • 4 x ² + 9 y ² = 36
  • Pra chegar na equação da elipse, devemos ter o lado direito da igualdade igual a 1, então bora dividir os dois lados por 36.

    4 36 x 2 + 9 36 y 2 = 1

    x 2 9 + y 2 4 = 1

    Que é uma elipse de semieixo maior A = 3 e semieixo menor B = 2 .

  • f x = x x - 4
  • Ah, aqui podemos substituir o f x por y pra ficar mais a cara da equação que aprendemos.

    y = x 4 - 2 x

    Elevando os dois lados ao quadrado, teremos:

    y ² = 4 x - 2 x ²

    Passando tudo pra um lado só, teremos:

    y ² + 2 x ² - 4 x = 0

    y ² + 2 x ² - 2 x = 0

    Aí que vem o pulo do gato. Podemos somar 2 os dois lados e teremos...

    y 2 + 2 x 2 - 2 x + 2 = 2

    y 2 + 2 x 2 - 2 x + 1 = 2

    y ² + 2 x - 1 ² = 2

    Mas como temos que deixar o lado direito da igualdade como 1 , devemos dividir os dois lados por 2, logo:

    y 2 2 + x - 1 2 = 1

    Ou melhor:

    y 2 2 ² + x - 1 2 = 1

    E pra esboçar, vamos ter uma elipse de A = 2 , B = 1 deslocada no eixo x na posição x = 1 .

    Mas tá, então, vamos ter uma elipse completa com essas características né?

    Só que não! Lááá em cima teve um passo em que a gente viu que a gente passou de   y = x 4 - 2 x para y ² = 4 x - 2 x ² . Se a gente tirasse a raiz de novo dessa segunda expressão nós teríamos:

    y = ± x 4 - 2 x

    Aí sim, essa expressão nos daria uma elipse completa, porém o que o enunciado nos deu só representa a parte positiva de y , logo o nosso gráfico será:

    Parábola

    A parábola é uma curva que a gente já conhece melhor desde o ensino fundamental que é a curva de uma equação de segundo grau, certo? Ela nada mais nada menos é que um corte no cone feito da seguinte forma:

    A equação das parábola é bem simples, e como falei, a gente já sabe bem como elas são escritas desde o ensino fundamental, as equações do 2° grau. A parada é que aqui também poderemos escrevê-las deitadas. Saca só!

    Equação Geral para uma parábola “em pé”:

    y = a x ² + b x + c

    Tá, mas como vou desenhar a parábola a partir desta equação?

    Aqui a gente vai fazer um sisteminha , onde os nossos coeficientes serão , [confia em mim]:

    a = 1 2 p ,   b = - m p   e   c = m 2 2 p + n

    Sendo m , n     a posição do vértice da parábola e p uma característica da parábola, (que aqui não vamos abordar muito, utilizaremos apenas para achar os valores de m   e   n ).

    Se a > 0   a parábola estará com concavidade voltada para cima, se a < 0 estará com a concavidade voltada para baixo, como mostrado nas figuras da esquerda e da direita respectivamente.

    Equação Geral para uma parábola “deitada:

    x = a y ² + b y + c

    Daí, teremos que:

    a = 1 2 p   ,   b = - m p     e     c = n 2 2 p + m

    Com as mesmas especificações dadas para o caso de parábola “em pé”.

    Nesse caso, que se a > 0 a parábola terá concavidade voltada para direita, e se a < 0 a parábola estará voltada para a esquerda, como na figura abaixo:

    Um exemplo de como fazemos isso? Se liga aí!

    Plotar o gráfico da função f x = x ² - 5 x + 6 .

    A gente já sabe que pode substituir o f x por y , né?

    Daí aqui temos que:

    a = 1 ,   b = - 5   e   c = 6

    Show?

    Agora utilizamos o sisteminha lá:

    a = 1 2 p = 1

    Logo, p = 1 2 .

    b = - m p = - 5

    5 = m 1 2

    Logo, m = 5 2 .

    c = m 2 2 p + n = 6

    25 4 2.1 2 + n = 6

    Logo, n = - 1 4 .

    Ah, também podemos ver que essa expressão tem duas raízes, x = 2   e   x = 3 . Para nos ajudar no esboço do gráfico podemos representar essas raízes também. Logo o gráfico será algo do tipo:

    Hipérbole

    A hipérbole talvez seja o gráfico que desses você menos ouviu falar. Ela é o corte do cone dado na seguinte posição:

    Como vimos aí, agora o plano corta duas vezes o cone em cima e embaixo.

    A equação da hipérbole é bem parecida com a da elipse, com apenas um detalhe, uma das partes tem sinal de menos, ou seja:

    x - a ² A ² - y - b ² B ² = 1

    Ou

    - x - a ² A ² + y - b ² B ² = 1

    No 1° caso, teremos uma hipérbole centrada no eixo horizontal, ou seja, a expressão que contém o x é positiva.

    No 2° caso, teremos uma hipérbole centrada num eixo vertical, ou seja, a expressão que contém o y é positiva.

    Tá, mas como é que eu vou esboçar essas hipérboles?

    Simples!

    Após aquela equação montada vamos ter o centro da hipérbole no ponto C = a , b . Ah, o centro é exatamente a metade da distância entre os vértices das duas folhas da hipérbole.

    Se a hipérbole for do tipo centrada no eixo horizontal, ou seja, x - a 2 A 2 - y - b 2 B 2 = 1 você vai pegar o ponto C = a , b e andar A pra esquerda e pra direita, de forma que os vértices serão em a + A   e   a - A se mantendo na posição de y = b .

    Logo os vértices serão V ' = a - A , b   e   V ' ' = a + A , b .

    Já para as hipérboles centradas na vertical a parada será o contrário. Elas também serão centradas em C = a , b , porém seus vértices serão no eixo vertical, dado por:

    V ' = a , b - B   e   V ' ' = a , b + B

    Bizu dos bizus: Como que figura representa a minha equação:

  • Parábola: Sempre um OU o x OU o y estará ao quadrado e não os dois.
  • Elipse: Os coeficientes que multiplicam x ² e y ² são diferentes mas sempre positivos.
  • Circunferência: Os coeficientes que multiplicam x ² e y ² são iguais e sempre positivos.
  • Hipérbole: Um dos coeficientes que multiplicam x ²   OU y ² são negativos, mas não os dois.

E é isso aí, pessoal! Oh, nos exercícios vou mostrar melhor como tudo isso é cobrado. #PartiuPassar.

Elipse

Parábola

Hipérbole

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Esboce o gráfico da função:

f x = x x - 4

Passo 1

A primeira coisa que a gente faz é mudar esse f x pra y , certo? Certo!

Daí ficaremos com:

y = x x - 4

Vamos elevar os dois lados ao quadrado e ficaremos com:

y ² =   x x - 4

MAS TOMA CUIDADO! Só existe função para x x - 4 > 0 , pois não existe função para raiz de números negativos, logo só teremos a parte do gráfico onde o x x - 4 > 0 , ou seja, acima do eixo x .

Passo 2

Continuando aqui teremos:

y ² = x ² - 4 x

Dando aquele pulo do gato, somando e subtraindo 4, teremos:

y 2 = x 2 - 4 x + 4 - 4

y ² = x - 2 ² - 4

4 = x - 2 2 - y 2

1 = x - 2 2 ² - y 2 2

Opa, chegamos na equação de uma hipérbole de centro C = 2,0 com A = B = 2 e centrada no eixo x .

Desta forma,como os vértices devem estar no eixo horizontal, eles estarão nas posições V ' = 2 - 2 = 0   e   V ' ' = 2 + 2 = 4 . Logo, nossa hipérbole será algo do tipo:

Resposta

Dada na resolução.

Exercício Resolvido #2

Esboce o gráfico da função:

t x = 2 + 4 - x ²       s e   - 2 ≤ x ≤ 2 2                                         s e   x < - 2   o u   x > 2

Passo 1

Opa, temos uma função composta! Devemos analisar as duas partes da equação. Primeiro, claro, chamando o t x de y teremos:

Na primeira parte:

y = 2 + 4 - x ²

y - 2 = 4 - x ²

Elevando os dois lados ao quadrado, teremos:

y - 2 2 = 4 - x ²

Mas toma cuidado na raiz, como sabemos, temos somente a parte positiva do gráfico, sendo o resultado da raiz quadrada sempre ≥ 0 , logo:

y - 2 ≥ 0

y ≥ 2

Nosso gráfico será esboçado a partir da reta y = 2 . :D

Passo 2

Ajeitando a nossa equação, teremos:

x ² + y - 2 2 = 4

Isso é exatamente a equação da circunferência, que é dada por:

x - x o 2 + y - y o 2 = R ²

Logo, teremos uma circunferência centrada em C = ( 0,2 ) e de raio R = 2 .

Relembrando:

  • C = ( 0,2 )
  • R = 2
  • Para valores acima da reta y = 2 .
  • No intervalo [ - 2,2 ] .
  • Para o resto da reta, ou seja, no intervalo - ∞ , - 2 ∪ 2 , ∞ teremos y = 2 .

Logo o nosso gráfico será:

Resposta

Dada na resolução.

Exercício Resolvido #3

Esboce o gráfico da função:

j x = x 2 - 1    

Passo 1

Como sempre, vamos chamar o nosso j x   d e   y .

y = x 2 - 1

O diferente dessa questão é que para qualquer valor de x existirá resultado para essa raiz quadrada pois esse resultado será SEMPRE maior ou igual a zero.

Vamos ver para quais valores a nossa função é positiva e quais ela é negativa. Pois:

Para os valores de x ² - 1 positivos teremos que :

y = x 2 - 1

Já para os valores negativos de x ² - 1 teremos :

y = 1 - x ²

Passo 2

Fazendo o estudo do sinal, teremos:

x ² - 1 = x - 1 x + 1

Logo, vemos que:

y = x 2 - 1   s e       x ≥ 1   o u   x < - 1       [ I ]

y = 1 - x ²     s e         - 1 ≤ x < 1         [ I I ]

Passo 3

Resolvendo a equação para o intervalo [I], teremos:

y ² = x ² - 1

x 2 1 ² - y 2 1 2 = 1

Logo, a gente vê que para o intervalo [I] teremos uma hipérbole centrada em C = 0,0 e vértice V ' = 0 - 1 = - 1   e   V ' ' = 0 + 1 = 1 . Mas lembrando... para valores de y ≥ 0 por causa da raiz quadrada lá que só nos da valores positivos! :D

Agora resolvendo a equação para o intervalo [II], teremos:

y = 1 - x 2    

y 2 = 1 - x 2

x 2 + y ² = 1

Temos uma circunferência de raio R = 1 , centrada na origem. Logo o nosso gráfico será:

Resposta

Dada na resolução.