Funções definidas por partes

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Teoria

As funções definidas por partes ou funções chaveadas podem assustar um pouco para quem olha só o nome, mas em verdade não têm nada de mais. Vamos ver?

Essas funções são aquelas definidas por 2 ou mais expressões como no exemplo abaixo:

f x = x x ≤ 1 x 2 x > 1

Isso significa que a função tem expressão:

f x = x

Para todo x ≤ 1 , o que implica no gráfico:

Que é o gráfico da reta f x = x , mas sim, parando em x = 1 . Pois essa expressão só é válida para valores menores ou iguais a menos 1 ( x ≤ 1 ).

Para valores maiores que x > 1 , a função assume a expressão: f x = x 2

Que juntando com o gráfico anterior, fica:

O gráfico em vermelho é o gráfico da parábola f x = x 2 exibido a partir de x > 1 .

Isso que fizemos é exatamente o que diz a expressão dada no início.

Não há a necessidade dos dois ou mais gráficos de uma função definida por partes estarem ligados, pode ocorrer um salto na interseção entre uma expressão e outra.

A função:

g x = x x < 1 e x x ≥ 1

Tem o seguinte gráfico:

Repare que há um salto alí, as duas expressões não estão conectadas. Não há nenhum erro no esboço, muitas funções são assim mesmo. Falaremos da bolinha de recheio preto e a da bolinha de recheio branco na seção seguinte.

Esboço de funções definidas por partes

Por falar em esboço, esboçar uma função definida por partes em muito pouco se difere do esboço que vimos até agora. Para a função:

h x = x 2 - 2 x + 1 x ≥ 2 5 x + 1 x < 2

Podemos esboçar fazendo o esboço de cada expressão individualmente primeiro. Para x 2 - 2 x + 1 , temos, por Bhaskara, as raízes:

x 1 = x 2 = 1

Como o coeficiente do termo quadrático é maior que zero, a função é côncava para cima. Isso resultará no gráfico:

Agora, vamos para a segunda expressão, que é 5 x + 1 , uma linda reta, que corta o eixo x em:

5 x + 1 = 0 ⟹ x = - 1 5

E o eixo y em:

y = 5 ⋅ 0 + 1 = 1

Gerando o gráfico (em vermelho):

Com as duas curvas traçadas, podemos então limitar o gráfico de acordo com os intervalos de cada expressão. A parábola, é a expressão de h x para x ≥ 2 . Portanto, pontilhando os demais pontos:

Seguindo o mesmo raciocínio para a reta:

Agora, basta remover a parte pontilhada:

E praticamente teremos o nosso esboço. Falta só marcas as bolinhas de recheio branco e preto que citamos na seção anterior. Abolinha de recheio preto indica que aquele ponto faz parte da expressão da função. Como x 2 - 2 x + 1 é válida para x   ≥ 2 (menor ou IGUAL), o ponto x = 2 tem essa expressão e, portanto, marcamos com bolinha recheio preto.

De maneira análoga, a bolinha de recheio branco indica que aquele ponto não faz parte da expressão da função. Como 5 x + 1 é válida para x < 2 (menor apenas), o ponto x = 2 não tem essa expressão, portanto, marcamos com bolinha de recheio branco.

Isso resulta no esboço final:

\s

Então, o segredo é esboçar cada expressão como se fosse a única expressão da função e depois limitá-las ao intervalo da função chaveada.

Essas bolinhas são muito importantes quando estamos querendo determinar o domínio dessas funções. Por falar nisso:

Domínio e imagem de funções chaveadas.

Não há muito mistério quanto ao domínio de funções chaveadas. Será necessário verificar o domínio em cada uma das expressões e verificar se há restrições dentro do intervalo de cada expressão.

As funções vistas até agora, tinham todas expressões com retas, parábolas e exponenciais. Essas expressões têm sempre domínio nos números reais e, portanto, as respectivas funções definidas por partes também terão domínio:

D f = D g = D h = R

Para outras expressões com restrições, como expressões com funções racionais, por exemplo, é necessário verificar se a restrição no domínio está dentro do intervalo proposto da região. A função:

k x = x + 2 x - 1 x ≤ 0 5 x > 0

Tem, na primeira expressão, um ponto de singularidade em x = 1 , com todos os demais pontos pertencendo ao conjunto dos números reais.

Esse ponto, porém, não entra na restrição do domínio, pois essa expressão só é válida para x ≤ 0 , para x > 0 , quem manda é a constante 5 , que, em x = 1 não tem nenhum problema.

Dessa maneira:

D k = R

Porém, se os intervalos fossem:

k 2 x = x + 2 x - 1 x ≤ 2 5 x > 2

O ponto x = 1 teria como expressão a primeira, e portanto, deveria ser excluída a restrição no domínio:

D k 2 = R - { 1 }

Esboço de funções definidas por partes

Domínio e imagem de funções chaveadas.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a expressão matemática da função f x , para que ela valha x 4 apenas no intervalo [ - 2,2 ] .

Nos demais pontos, a função deve valer 0 .

Passo 1

Para tal precisamos restringir o intervalo de validade da função. Assim, escrevemos:

f x = x 4 , - 2 ≤ x ≤ 2 0 , r e s t o

Passo 2

Onde “resto” denota tudo aquilo que está fora do intervalo [ - 2,2 ] , ou seja, seria assim

f x = x 4 , - 2 ≤ x ≤ 2 0 , - 2 > x       o u       x > 2

Resposta

f x = x 4 , - 2 ≤ x ≤ 2 0 , - 2 > x       o u       x > 2

Exercício Resolvido #2

Determine os valores máximos e mínimos da seguinte função:

f x = sen ⁡ x ,     x < π x 2 - π x ,     x ≥ π

Passo 1

Temos que a função tem expressão sen ⁡ x para todo x < π . Enquanto x 2 - π x tem raízes:

x 1 = 0 x 2 = π

E vértice:

x v = - b 2 a = π 2

E:

y v = - Δ 4 a = - π 2 4

Formando o gráfico:

Passo 2

Observando a função, vemos que não tem ponto de máximo, pois a parte da parábola cresce indefinidamente e o mínimo é ditado pelos mínimos do seno que começam x = - π / 2 e se repetem a cada 2 π indo para a esquerda.

Resposta

Pontos de máximo: não há

Pontos de mínimo: - π 2 - 2 π ⋅ k ,   k = 0,1 , 2,3 …