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Função Definida por Partes

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Teoria

As funções definidas por partes são aquelas definidas por 2 ou mais expressões como no exemplo abaixo:

Pode parecer um pouco confuso, mas é tranquilo, o importante é sempre ficar atento aos limites permitidos de .

Por exemplo, qual o valor de ? Primeiro a gente observa que é menor do que ! Então a função será . E agora é só aplicar:

E se, por exemplo, ? A gente vê que é maior do que , então nesse caso , aplicando vamos ter:

Para resolver funções definidas por partes é só ficar atento aos limites de

Gráfico de uma função definida por partes

Vamos ver agora uma outra função definida por partes

A forma mais fácil de esboçar o gráfico da função por partes é primeiro esboçar o gráfico de cada expressão separadamente!

Então, vamos pro exemplo. Primeiro, vamos esboçar o gráfico de .

Essa é uma função de segundo grau com coeficiente positivo, ou seja, tem concavidade pra cima. Além disso, se a gente aplicar a fórmula de Bhaskara, vamos encontrar: . Então o gráfico vai ser mais ou menos assim:

Gráfico de
Gráfico de

Em seguida, a gente esboça o gráfico da segunda expressão , uma função de primeiro grau que gera um reta, que corta o eixo em:

e o eixo em:

Então, quando a gente esboçar o gráfico vai ficar desse jeito (em vermelho)

Gráfico de
Gráfico de

Com as duas curvas traçadas, podemos então limitar o gráfico de acordo com os intervalos de cada expressão.

A curva (azul) só é válida quando , então podemos apagar tudo que vem antes.

Apagando a curva azul para todos os valores de
Apagando a curva azul para todos os valores de

E o mesmo raciocínio vale para a reta. A expressão só vale pra valores de , então podemos apagar tudo que vem depois:

Apagando a curva vermelha para valores de
Apagando a curva vermelha para valores de

E o nosso esboço está quase pronto.

Esboço do gráfico incompleto
Esboço do gráfico incompleto

A última coisa a considerar é o ponto .

No caso desse gráfico, o ponto faz parte da expressão (azul), então devemos marcar o ponto com uma bolinha preenchida:

Esboço do gráfico com limite fechado na curva azul
Esboço do gráfico com limite fechado na curva azul

Por outro lado, o ponto não faz parte da expressão (vermelha), então devemos marcar o ponto com uma bolinha vazia:

Esboço do gráfico com limite aberto na linha vermelha e limite fechado na curva azul
Esboço do gráfico com limite aberto na linha vermelha e limite fechado na curva azul

E é isso! O esboço do gráfico de uma função definida por partes está pronto!

Quer aprender mais sobre funções definidas por partes? Então da uma olhada nessa aula completona!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a expressão matemática da função f x , para que ela valha x 4 apenas no intervalo [ - 2,2 ] .

Nos demais pontos, a função deve valer 0 .

Passo 1

Para tal precisamos restringir o intervalo de validade da função. Assim, escrevemos:

f x = x 4 , - 2 ≤ x ≤ 2 0 , r e s t o

Passo 2

Onde “resto” denota tudo aquilo que está fora do intervalo [ - 2,2 ] , ou seja, seria assim

f x = x 4 , - 2 ≤ x ≤ 2 0 , - 2 > x       o u       x > 2

Resposta

f x = x 4 , - 2 ≤ x ≤ 2 0 , - 2 > x       o u       x > 2

Exercício Resolvido #2

Determine os valores máximos e mínimos da seguinte função:

f x = sen ⁡ x ,     x < π x 2 - π x ,     x ≥ π

Passo 1

Temos que a função tem expressão sen ⁡ x para todo x < π . Enquanto x 2 - π x tem raízes:

x 1 = 0 x 2 = π

E vértice:

x v = - b 2 a = π 2

E:

y v = - Δ 4 a = - π 2 4

Formando o gráfico:

Passo 2

Observando a função, vemos que não tem ponto de máximo, pois a parte da parábola cresce indefinidamente e o mínimo é ditado pelos mínimos do seno que começam x = - π / 2 e se repetem a cada 2 π indo para a esquerda.

Resposta

Pontos de máximo: não há

Pontos de mínimo: - π 2 - 2 π ⋅ k ,   k = 0,1 , 2,3 …