Geometria - Perímetro, Área e Volume

Teoria Completa

Introdução

Chegou a hora de falar de perímetro, área, volume e as principais fórmulas relacionadas. Não vamos falar aqui da origem dessas fórmulas, deixaremos o assunto para quando estudarmos Cálculo.

O conceito de Área

Muito bem, vamos falar do que é área. O conceito de área é muito empírico, ou seja, muita gente sabe o que é, mas pode encontrar dificuldade na hora de definir com palavras.

O conceito por trás da área está ligado às dimensões. O nosso mundo é composto por três dimensões espaciais: o comprimento, largura e altura.

Quando falamos de área, estamos tratando somente de 2 das 3 dimensões, ou porque o espaço em estudo não inclui essa dimensão, ou então ela é desprezível ou não é de interesse.

Dessa maneira, podemos interpretar a área de determinado objeto como a quantidade de espaço bidimensional, ou a quantidade de espaço plano.

Para mensurar essa “quantidade” de espaço plano chamada área, fazemos como é recorrente: comparamos com outra medida.

Isso significa que medimos a área usando unidades com valores padronizados e muito bem determinados.

É comum encontrar área medida no Sistema Internacional de Unidades, em metro quadrado (m²). Um metro quadrado nada mais é que um quadradão de 1 m de comprimento por 1 metro de largura.

Dizer que um terreno tem 100 m² é o mesmo que afirmar que caberiam 100 quadradões de 1 m² nele. Medir é comparar.

Principais fórmulas de área

Como falamos, a área é a quantidade de espaço plano e existem diversas formas planas com diferentes fórmulas para o cálculo da área a partir de suas dimensões.

Começamos com o clássico, o retângulo. A área de um retângulo é a base, ou comprimento b vezes a altura h :

\s

A = b h

A área do triângulo, tão popular nos tipos de trigonometria, é definida pela base b vezes a altura h dividida por 2 !

A = 1 2 b h

Para o trapézio, a área será a Base maior B mais a base menor b vezes a altura h dividida por dois (ufa!):

A = 1 2 B + b h

Já o círculo tem área igual a π vezes o quadrado de seu raio r :

A = π r 2

Perímetro

O perímetro é ainda mais simples que a área. Só possui uma dimensão e é justamente o comprimento da linha de contorno do objeto. Em geral, o perímetro é a soma do comprimento dos lados da forma plana. Para o retângulo:

P = 2 ( b + h )

No triângulo:

P = a + b + c

Já no círculo, o perímetro é comprimento da circunferência e igual a duas vezes π vezes o raio:

P = 2 π r

Volume e principais fórmulas

Enquanto a área só trata de duas dimensões, o volume vai em frente e pega as três dimensões logo de uma vez. Para ele, a unidade no sistema internacional de unidades é metro cubico m³, um cubo com um metro de comprimento por um metro de largura, por um metro de altura.

Existem vários sólidos importantes que você precisa saber como calcular o volume, então vamos ver tudo com atenção!

O paralelepípedo tem volume igual ao produto do seu comprimento a , largura b e altura c :

V = a b c

Vale lembrar que o cubo nada mais é que um paralelepípedo de lados iguais.

A pirâmide tem volume igual a área da base b vezes a altura h dividida por 3 :

V = 1 3 A b ⋅ h

Já a esfera, sendo r o seu raio, tem volume: V = 4 3 π r 3

E o cilindro de raio r e altura h tem volume igual a:

V = π r 2 h

E o cone, que reserva uma vaga de estacionamento que não é sua, com raio r e altura h , tem volume igual:

V = 1 3 π r 2 h

Área lateral

A área lateral está associada ao volume é justamente a área da superfície que envolve o sólido, como destacado em azul já na primeira figura desse texto:

Para o paralelepípedo de lados a , b e c , a área lateral é a soma das áreas de quadra retângulo que o compõe

A L = 2 a b + a c + b c

Para a esfera de raio r , a área lateral é:

4 π r 2

O cilindro de raio r e altura h tem área da base igual a área da circunferência:

A b = π r 2

E área a superfície lateral igual ao comprimento da circunferência da base vezes a altura:

A l = 2 π r h

Por fim, o cone de raio r e altura h tem área lateral igual a:

A = π r g

Onde g é geratriz:

g = r 2 + h 2

Isso é tudo! Sabemos que não é pouco e gravar isso tudo é realmente complicado, por isso é importante fazer bastante exercícios para fixar. Vamos lá!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Uma folha de papel retangular com perímetro de 90   c m foi dobrada no ponto A como na figura abaixo:

Determine a expressão da área da folha em função de x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A nossa folha é um retângulo. Para fazer a área do retângulo precisamos da sua base e sua altura. Olhando na figura, repara que a altura vai ser aquele x que ele desenhou.

A l t u r a ⇒ x

Falta achar a base. Para isso vamos usar o perímetro

Passo 2

Como ele disse que o perímetro é 90   c m , vamos ter

x + B a s e + x + B a s e = 90

Juntando tudo

2 x + 2 B a s e = 90

B a s e = 90 - 2 x 2

Podemos simplificar geral por 2 aqui

B a s e = 45 - x

Passo 3

Agora que temos a base e a altura, vamos para a área

A = A l t u r a   .   B a s e

A = x 45 - x

Abrindo essa conta, teremos

A = 45 x - x 2

Resposta

A = 45 x - x 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Ao redor de um jardim , vai ser construída uma calçada revestida de pedras. A largura dessa calçada é representada por x e é medida em metros. Veja a figura.

  1. Qual a área ocupada pelo jardim?
  2. Escreva, na forma reduzida, um polinômio que expresse a área ocupada pela calçada?
  3. Se a largura da calçada for de 2   m e o preço do metro quadrado de revestimento de pedras for R $   25,00 , quanto será o gasto?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Reparaque o jardim tem um formato de retângulo. Ele tem 10   m de base e 4   m de altura.

A área vai ser

A J a r d i m = b   .   h

A J a r d i m = 10   .   4 = 40   m 2

Passo 2

b)

O macete é notar que a área da calçada vai ser área do retângulo maior, que tem base 10 + 2 x e altura 4 + 2 x , menos a área do jardim.

Vamos começar achando a área do retângulo maior

A R e t â n g u l o   M a i o r = 10 + 2 x 4 + 2 x

Vamos fazer a distributiva nesse conta

A R e t â n g u l o   M a i o r = 40 + 20 x + 8 x + 4 x 2

A R e t â n g u l o   M a i o r = 40 + 28 x + 4 x 2