Equação logarítmica

Teoria Completa

O logaritmo

O logaritmo está intimamente ligado a exponencial. O log a seguir:

log 10 ⁡ 100

Remete a seguinte pergunta:

10 (base) elevado a qual número tem como resultado 100 ?

A resposta para essa pergunta é 2 , pois 10 2 = 100 . Portanto: log 10 ⁡ 100 = 2

Essa base 10 no log é bastante comum, de maneira que muitas vezes ela é ocultada, ficando somente:

log ⁡ 100 = 2

Quando você ver um log com base oculta, lembre-se que é base 10 . Outras bases estarão especificadas, como: log 2 ⁡ 4 log 3 ⁡ 9 log 4 ⁡ 16

O logaritmo natural

Assim como a base 10 , existe um outro logaritmo de base bem recorrente no estudo do log. Trata-se do log de base e , ou seja, o log com base igual ao número de Euler, como:

log e ⁡ 3

Poxa, escrever isso é bem feio, então usamos sempre outra notação quando a base é o e :

ln ⁡ 3

Onde o ln é o logaritmo natural, ou simplesmente o log de base e .

Propriedades do log

Temos diversas propriedades para o log que aparecem independente de sua base, são elas:

log b ⁡ 1 = 0

Já que b elevado a 0 é 1 . Qual número que elevado a b (base) tem como resultado 1 ? 0 .

log b ⁡ b = 1

Já que b elevado a 1 é b . Qual número que elevado a b (base) tem como resultado b ? 1 .

Além desses valores padrões, temos que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos:

log b ⁡ x y = log b ⁡ x + log b ⁡ y

log 2 ⁡ 6 = l o g 2 3 + log 2 ⁡ 2

O logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos:

log b ⁡ x / y = log b ⁡ x - log b ⁡ y

log 5 ⁡ 3 2 = log 5 ⁡ 3 - log 5 ⁡ 2

E temos também a regra do peteleco. Damos um peteleco no expoente para ele cair multiplicando o logaritmo:

log b ⁡ x k = k log b ⁡ x

log 6 ⁡ 36 = log 6 ⁡ 6 2 = 2 . log 6 ⁡ 6 = 2 . 1 = 2

Temos também a mudança de base:

log b ⁡ a = log c ⁡ a log c ⁡ b

Equação logarítmica

A partir disso tudo, podemos falar das equações logarítmicas. Para resolver, a ideia é colocar tudo na mesma base ou tentar cortar o log usando suas propriedades. Vamos ver como isso fica?

log 2 ⁡ x + 1 = 0

Tá, mas qual como transformar esse zero num log de base 2 ? É simples, só lembrar das propriedades:

log b ⁡ 1 = 0

Então:

log 2 ⁡ 1 = 0

E podemos escrever:

log 2 ⁡ x + 1 = log 2 ⁡ 1

Uma vez que está tudo na mesma base, podemos “cortar” o log:

log 2 ⁡ x + 1 = log 2 ⁡ 1 ⟹ x + 1 = 1 ⟹ x = 0

Essa é a solução do problema: S = 0

Usamos o cortar com aspas, porque esta não é uma operação matemática rígida, trata-se de um atalho que tomamos para as situações propostas.

Podemos ter situações, onde aparece logs em base diferente, como: log 2 ⁡ x + 1 = log 4 ⁡   x + 1

Não dá para “cortar”, tem que estar tudo na mesma base antes. Aí, uma vez que o objetivo é colocar tudo na mesma base, usamos a propriedade de mudança de base para nos ajudar. Vamos colocar o log de base 4 na base 2 :

log 4 ⁡ x + 1 = log 2 ⁡ x + 1 log 2 ⁡ 4

Como log 2 ⁡ 4 = 2 , já que 2 2 = 4 ...

log 4 ⁡ x + 1 = log 2 ⁡ x + 1 2

Agora é só substituir a lindeza:

log 2 ⁡ x + 1 = log 4 x + 1 ⁡   ⟹ log 2 ⁡ x + 1 = 1 2 log 2 x + 1 ⁡  

Tudo tem que estar dentro do log para podermos “cortar”, então usamos a propriedade da potência para jogar a fração para dentro do log:

log b ⁡ x k = k log b ⁡ x ⟺ k log b ⁡ x = k log b ⁡ x

1 2 l o g 2 x + 1 = l o g 2 x + 1 1 / 2 = log 2 ⁡ x + 1

Assim:

log 2 ⁡ x + 1 = 1 2 log 2 x + 1 ⁡   ⟹ log 2 ⁡ x + 1 = log 2 ⁡ x + 1

Podemos finalmente “cortar”:

log 2 ⁡ x + 1 = log 2 ⁡ x + 1 ⟹ x + 1 = x + 1

Elevando os dois lados ao quadrado para sumir com a raiz:

x + 1 2 = x + 1 ⟹ x 2 + 2 x + 1 = x + 1 ⟹ x 2 + x = 0 ⟹ x x + 1 = 0

Ou seja:

x = 0 x = - 1

Será?? Temos um problema aí!

Condições de existência

Veja que quando substituímos x = - 1 na equação: log 2 ⁡ x + 1 = log 4 ⁡   x + 1 ⟹ log 2 ⁡ - 1 + 1 = log 4 ⁡   - 1 + 1 = log 2 ⁡ 0 = log 4 ⁡ 0

Agora te perguntamos: 2 elevado a qual número dá zero? Da mesma maneira, 4 elevado a qual número dá zero? A verdade é que podemos chegar cada vez mais perto de zero, mas não chegaremos em zero para valores finitos. Dessa maneira, não existe log b ⁡ 0 para nenhuma base!

Isso significa que x = - 1 não é solução da equação, pois leva a log b ⁡ 0 :

S = 0

Já que x = 0 é o único valor válido. Além do log de zero não existir, também não há log de número negativo. Olhe novamente para a pergunta do log:

2 elevado a qual número dá negativo? 2 é uma base maior que zero, como toda base do log, por definição. Elevar 2 a alguma coisa é multiplicá-lo por ele mesmo algumas vezes. Não dá para multiplicar um número por ele mesmo e chegar num resultado negativo, dessa maneira, também não existe log de número negativo!

Quando chegarmos ao resultado da equação que surge ao cortamos o log, depois temos sempre que substituir seu valor para ver se não aparece um log de zero ou negativo. Se isso acontecer, esse valor não fará parte do conjunto solução do problema. Fique atento a isso!

log b ⁡ A , com b > 0 e b ≠ 1 , existe se e somente se:

A > 0

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Resolva:

ln ⁡ ( 3 x + 10 ) - ln ⁡ x = ln ⁡ 5

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Passo 1

Tudo já está na mesma base, só precisamos simplificar. Para tal, só lembrar da propriedade: log ⁡ a - log ⁡ b ⟺ log ⁡ a b

Logo:

ln ⁡ 3 x + 10 - ln ⁡ x = ln ⁡ 5 ⟹ ln ⁡ 3 x + 10 x = ln ⁡ 5

Passo 2

Uma vez que está tudo na mesma base e simplificado, podemos igualar os logaritmandos (o que está dentro do log):

3 x + 10 x = 5 ⟹ 3 x + 10 = 5 x ⟹ 2 x = 10

x = 5

Passo 3

Precisamos verificar se esse valor não viola as condições de existência:

ln ⁡ 3 x + 10 x = ln ⁡ 5 ⟹ ln ⁡ 3 ⋅ 5 + 10 5 = ln ⁡ 5 ⟹ ln ⁡ 25 5 = ln ⁡ 5 ⟹ ln ⁡ 5 = ln ⁡ 5

Como os logaritmandos são sempre positivos, não viola as condições de existência e está tudo ok com nossa solução!

Resposta

x = 5

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Resolva a equação log 2 ⁡ ( x + 5 ) - log 6 ⁡ 1 = 0 .

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Passo 1

Primeiramente, podemos perceber que:

log 6 ⁡ 1 = 0

Já que 6 0 = 1

Passo 2

Continuando o cálculo:

log 2 ⁡ ( x + 5 ) - 0 = 0

log 2 ⁡ ( x + 5 ) = 0

2 0 = x + 5

1 = x + 5

Resposta

x = - 4

Exercício Resolvido #3

AV1 Estácio de Sá

As indicações R 1 e R 2 na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela formula

R 1 - R 2 = log ⁡ M 1 M 2

Em que M 1 e M 2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R 1 = 8 e outro correspondente a R 2 = 6 . Calcule a razão M 1 M 2 .

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Passo 1

Vamos começar substituindo o valor do R 1 - R 2 = 8 - 6 = 2

2 = log ⁡ M 1 M 2

Passo 2

Agora vamos escrever a razão M 1 M 2 e usar a operação inversa do logaritimo que é exponenciação

2 = log ⁡ M 1 M 2

Lembre que log ⁡ x = log 10 ⁡ x :

10 2 = M 1 M 2

Resposta

M 1 M 2 = 100

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Resolva:

log 4 ⁡ 2 x 2 + 1 2 log 2 ⁡ 2 x = 1

Dica: log a ⁡ a = 1 e   log a ⁡ a 2 = 2

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Passo 1

Usando a regra do peteleco, temos:

log 4 ⁡ 2 x 2 = x 2 log 4 ⁡ 2

Qual número que elevado a 4 2 ? A raiz, ou seja, ½ . Portanto:

log 4 ⁡ 2 = 1 2

Ficando:

log 4 ⁡ 2 x 2 = 1 2 x 2

Usando a regra do peteleco novamente:

1 2 log 2 ⁡ 2 x = x 2 log 2 ⁡ 2 = x 2

Ou seja, podemos reescrever a equação do problema na forma: log 4 ⁡ 2 x 2 + 1 2 log 2 ⁡ 2 x = 1 ⟹ 1 2 x 2 + x = 1 ⟹ x 2 + x - 2 = 0  

Passo 2

Conseguimos reduzir o problema a uma equação de segundo grau que se resolve por Bhaskara:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 1 ± 1 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 2 2 ⋅ 1 = - 1 ± 3 2

Logo, as raízes serão: x 1 = - 2 x 2 = 1

Como inicialmente o x