Equações Hiperbólicas

Teoria Completa

Introdução

As equações hiperbólicas podem assustar bastante assim de cara, sem nem dar um “oi”, mas, calma, você verá que elas são simpáticas.

Seno e cosseno hiperbólicos e companhia

Antes de falar das equações em si, vamos falar do seno e cosseno hiperbólico. Eles, em geral, aparecem com a seguinte forma: senh ⁡ x cosh ⁡ x

A primeira coisa a falar é que você não deve confundi-los com:

sen ⁡ h x cos ⁡ h x

Esses últimos são o seno e cosseno trigonométricos com argumento h x e não são iguais ao seno e cosseno hiperbólico.

Por trás do rompante, as hiperbólicas são relações recorrentes envolvendo exponenciais:

senh ⁡ x = e x - e - x 2 cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Assim, já dá para concluir algumas coisas, como:

senh ⁡ 0 = 0 cosh ⁡ 0 = 1

Só substituindo o x pelo zero na fórmula da exponencial. Repare que é o mesmo resultado esperado para o seno e o cosseno trigonométrico nesse caso.

Quanto àquela relação fundamental dos quadrados, o sinal muda para os hiperbólicos:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

Apresentados? Agora vamos para os parentes:

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x cotgh ⁡ x = cosh ⁡ x senh ⁡ x = 1 tgh ⁡ x

sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x cossech ⁡ x = 1 senh ⁡ x

É a mesma analogia das relações trigonométricas. Viu só? As hiperbólicas não são difíceis e nem diferentes do que você já viu até agora.

Aplicando as identidades

Vamos ver agora os problemas que cobram identidades hiperbólicas. Como:

Ache senh ⁡ x se:

cosh ⁡ x = - 4

Nesse caso, basta lembrar que:

cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

E substituir o valor dado:

- 4 2 - senh 2 ⁡ x = 1 ⟹ - senh 2 ⁡ x = 1 - 16

senh 2 ⁡ x = 15 ⟹ sinh ⁡ x = ± 15

Viu? Para identificar esse tipo de problema, repare que é pedido o valor de uma hiperbólica dado outra.

As equações

Agora que a gente já viu o que são e habitam as hiperbólicas, vamos falar de equações que as envolvem. O segredo para resolver essas equações é aplicar a definição!

Pense com a gente no seguinte problema:

tanh ⁡ x = 1

Qual o valor de x ? Vamos aplicar a definição para saber! Lembra que:

senh ⁡ x = e x - e - x 2 cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Então:

tanh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x = 2

Ficamos agora com uma equação exponencial! Vamos tentar simplificar as coisas:

e x - e - x = 2 e x + 2 e - x ⟹ 2 e x = 3 e - x

Aplicando ln dos dois lados, “cortamos” a exponencial:

ln ⁡ 2 e x = ln ⁡ 3 e - x ⟹ ln ⁡ 2 + ln ⁡ e x = ln ⁡ 3 + ln ⁡ e - x

ln ⁡ 2 + x = ln ⁡ 3 - x ⟹ 2 x = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2

Finalmente:

x = 1 2 ln ⁡ 3 2

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Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009 - Capítulo 7, Ex. 7.4.1 - Modificado

Sendo:

senh ⁡ x = - 3 4

Calcule as outras cinco hiperbólicas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, aqui precisamos aplicar a identidade. Como: cosh 2 ⁡ x - senh 2 ⁡ x = 1

Se substituirmos:

cosh 2 ⁡ x - 3 4 2 = 1 ⟹ cosh 2 ⁡ x - 9 16 = 1

cosh 2 ⁡ x = 16 16 + 9 16 = 25 16 ⟹ cosh ⁡ x = ± 5 4

Como o cosseno hiperbólico é sempre positivo, ficamos com parcela positiva da raiz:

cosh ⁡ x = 5 4

Passo 2

Calculados o cosseno hiperbólico, mas ainda faltam 4 : sech ⁡ x ,   cossech ⁡ x , tgh ⁡ x e cotgh ⁡ x . Para achar, basta lembrar-se das relações:

sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x = 1 5 / 4 = 4 5

cossech ⁡ x = 1 senh ⁡ x = 1 - 3 / 4 = - 4 3

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x = - 3 / 4 5 / 4 = - 3 5

cotgh ⁡ x = 1 tgh ⁡ x = 1 - 3 / 5 = - 5 3

Pronto, tudo ok!

Resposta

cosh ⁡ x = 5 4

sech ⁡ x = 4 5

cossech ⁡ x = - 4 3

tgh ⁡ x = - 3 5

cotgh ⁡ x = - 5 3

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Reescreva a expressão em forma de exponenciais e simplifique o máximo que puder:

senh ⁡ x - cosh ⁡ x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, não vá confundir:

senh ⁡ x - cosh ⁡ x 2

Com:

senh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x = - 1

Cuidado!

Como o problema quer o tudo em exponenciais, vamos aplicar a definição:

senh ⁡ x = e x - e - x 2 cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Que leva:

e x - e - x 2 - e x + e - x 2 2 = 2 e x 2 = e 2 x

Pronto, é só isso mesmo!

Resposta

senh ⁡ x - cosh ⁡ x 2 = e 2 x

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Reescreva a expressão em forma de exponenciais e simplifique o máximo que puder:

senh ⁡ x - cosh ⁡ x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, não vá confundir:

senh ⁡ x - cosh ⁡ x 2

Com:

senh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x = - 1

Cuidado!

Como o problema quer o tudo em exponenciais, vamos aplicar a definição:

senh ⁡ x = e x - e - x 2 cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Que leva:

e x - e - x 2 - e x + e - x 2 2 = 2 e x 2 = e 2 x

Pronto, é só isso mesmo!

Resposta

senh ⁡ x - cosh ⁡ x 2 = e 2 x

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