Seno e Cosseno da Soma e Subtração de Arcos
Teoria
Sim, sim eu sei. O nome é gigante, mas o conteúdo não é, então pode ficar tranquilo.
Nesse texto veremos como lidar com somas e subtrações dentro do seno, cosseno e tangente que ajudam a calcular valores como:
Que nada mais é que:
Tá! E em que escrever como ajuda?! Ajuda porque podemos escrever a soma ou subtração do seno através seno de seus termos.
Soma e subtração no seno
Para o nosso exemplo, podemos escrever:
Veja que conseguimos transformar um seno de um ângulo não tabelado num conjunto de senos e cossenos tabelados, o que nos ajuda bastante e reforça o quanto você tem que lembrar daquela tabelinha!
De maneira geral, vamos ter que:
Veja que, para a soma de e , temos a soma do produto de seno e cosseno alternando e .
Para a subtração de e , temos a subtração do produto de seno e cosseno alternando e .
Para o caso que , temos o arco duplo:
Soma e subtração no cosseno
O cosseno segue a mesmíssima ideia do nosso amigo seno, com a diferença só na fórmula mesmo:
Veja, que para a soma de e b, temos a subtração do produto dos cossenos e senos de e .
Já para a subtração, temos a soma do produto dos cossenos e senos de e . Fique atento nessa troca de sinal!
Novamente, para o arco duplo, temos que:
Soma e subtração na tangente
A tangente tem uma formulinha um pouco mais complicada de lembrar que a do seno e cosseno:
Você pode gravá-la ou lembrar que:
E usar as fórmulas das seções anteriores, que você já vai ter que saber de qualquer forma. Usando qualquer uma das opções, chegamos que, para o arco duplo:
Soma e subtração no seno
Soma e subtração no cosseno
Soma e subtração na tangente
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
O valor de é:
Passo 1
Fala Aííí!! Nosso objetivo aqui é calcular o , certo? Como podemos fazer isso?! Podemos reescrever esse ângulo da seguinte forma:
Tá... mas em que isso nos ajuda??
Se você reparar, conseguimos quebrar em uma soma entre dois ângulos notáveis (tabelados), concorda? Agora podemos resolver utilizando o seno da soma entre dois ângulos, que tem a seguinte carinha:
Beleza?!
Passo 2
Vamos então substituir os valores dos ângulos na fórmula
E agora podemos substituir os valores da tabelinha que temos de ângulos notáveis
Substituindo, ficamos com
Agora é só partir pras continhas!!!
Show de bola?!
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
O valor de é:
Passo 1
Vamos láá!! Queremos calcular o , certo? Como podemos fazer isso?! Podemos reescrever esse ângulo da seguinte forma:
Beleza, mas fizemos isso por quê??
Se você reparar, conseguimos quebrar em uma soma entre dois ângulos notáveis (tabelados), concorda? Agora podemos resolver utilizando o cosseno da soma entre dois ângulos, que tem a seguinte carinha:
Beleza?!
Passo 2
Vamos então substituir os valores dos ângulos na fórmula
Show de bola?!
E agora podemos substituir os valores da tabelinha que temos de ângulos notáveis
Assim, substituindo ficamos com
Agora é só partir pras continhas!!!
Show de bola?!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Elaboração Própria
Qual o valor de ?
Passo 1
Faaaala Aíí!! Como podemos encontrar o valor de ???
Podemos reescrever esse ângulo da seguinte forma:
Tá... Podemos... mas por que fizemos isso??
Se você reparar, conseguimos quebrar em uma soma entre dois ângulos notáveis (tabelados), concorda? Agora podemos resolver utilizando o seno da soma entre dois ângulos, que tem a seguinte carinha:
Beleza?!
Passo 2
Vamos então substituir os valores dos ângulos na fórmula
Show de bola?!
E agora podemos substituir os valores da tabelinha que temos de ângulos notáveis
Assim, substituindo ficamos com
Agora é só partir pras continhas!!!
Show de bola?!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Calcule o valor de .
Passo 1
Opaaaa!! Fala Aí!! Nesse exercício queremos calcular o valor de , certo?! Como podemos resolver esse exercício??
Se você reparar, esse ângulo é um ângulo que não está tabelado, certo?! O ideal aqui então para resolver esse exercício é tentar quebrar esse ângulo numa soma, subtração ou multiplicação de ângulos notáveis (tabelados). Beleza?!
Nesse caso aqui, podemos reescrever esse ângulo da seguinte forma
Note que agora temos o multiplicando um ângulo que temos o valor tabelado, então vamos utilizar isso a nosso favor!! Show de bola?!
Passo 2
Para calcular o precisamos utilizar a fórmula
Substituindo os valores, temos
E agora podemos substituir os valores da tabelinha que temos de ângulos notáveis
Assim, substituindo ficamos com
Agora é só partir pras continhas!!!
Show de bola?!
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
Calcule o valor de .
Passo 1
Vamos lááá!! Aqui queremos calcular o valor de , certo?! Como vamos fazer isso então?
Se você reparar, esse ângulo é um ângulo que não está tabelado, certo?! O ideal aqui então para resolver esse exercício é tentar quebrar esse ângulo numa soma, subtração ou multiplicação de ângulos notáveis (tabelados). Beleza?!
Nesse caso aqui, podemos reescrever esse ângulo da seguinte forma
Note que agora temos o multiplicando um ângulo que temos o valor tabelado, então vamos utilizar isso a nosso favor!! Show de bola?!
Passo 2
Para calcular o precisamos utilizar a fórmula
Substituindo os valores, temos
E agora podemos substituir os valores da tabelinha que temos de ângulos notáveis
Assim, substituindo ficamos com
Portanto,
Show de bola?!
Resposta
Exercício Resolvido #6
Elaboração Própria
Qual o valor de ?
Passo 1
Falaaa galeraaa!! Como podemos calcular a de um ângulo que não é notável, ou seja, não está tabelado?!
O ideal aqui é tentar quebrar esse ângulo numa soma, subtração ou multiplicação de ângulos notáveis (tabelados). Beleza?!
Nesse caso aqui, podemos reescrever esse ângulo da seguinte forma
Onde os dois ângulos ( e ) estão na tabelinha de ângulos notáveis. Vamos então utilizar isso a nosso favor!!!
Passo 2
Para calcular o precisamos utilizar a fórmula
Substituindo os valores, temos
E agora podemos substituir os valores da tabelinha que temos de ângulos notáveis
Assim, substituindo ficamos com
Portanto,
Show de bola?!
Resposta
Exercício Resolvido #7
Elaboração Própria
Qual o valor de ?
Passo 1
Falaaa galeraaa!! Como podemos calcular a de um ângulo que não é notável, ou seja, não está tabelado?!
O ideal aqui é tentar quebrar esse ângulo numa soma, subtração ou multiplicação de ângulos notáveis (tabelados). Beleza?!
Nesse caso aqui, podemos reescrever esse ângulo da seguinte forma
Onde os dois ângulos ( e ) estão na tabelinha de ângulos notáveis. Vamos então utilizar isso a nosso favor!!!
Passo 2
Para calcular o precisamos utilizar a fórmula
Substituindo os valores, temos
E agora podemos substituir os valores da tabelinha que temos de ângulos notáveis
Assim, substituindo ficamos com
Portanto,
Podemos dar aquela arrumadinha marota pra deixar a resposta de forma simplificada!! Colocando no mesmo denominador, temos
Cortando os dois denominadores, temos
Multiplicando o numerador e o denominador por , temos
Fazendo a multiplicação
Show de bola?!
Resposta
Exercício Resolvido #8
Elaboração Própria
Considere as expressões
Sendo . O valor de é:
a)2
b)
c)
d)4
e)1
Passo 1
Antes de substituir, vamos tentar calcular e :
Agora, temos que:
Passo 2
Substituindo:
Pela relação fundamental da trigonometria, reduzimos a:
Veja agora que esse último é pela soma de arcos. Então, podemos escrever:
Passo 3
Como :
Que, pela simetria do círculo trigonométrico, é equivalente a:
Logo:
Resposta
Letra e
Exercício Resolvido #9
Vestibular FUVEST-SP 1994
Qual o valor de:
Passo 1
Opa, para resolver isso, vamos tentar deixar tudo no mesmo grau. Vamos então tentar mudar o que é mais fácil.
Pelo arco duplo:
Substituindo:
Passo 2
Agora vamos distribuir:
Passo 3
Vamos agora abrir a tangente para tentar cortar:
Substituindo:
Que, pela relação fundamental da trigonometria:
Pronto! Viu com as relações trigonométricas são poderosas? Não precisamos calcular nenhum ângulo!
Resposta
Exercício Resolvido #10
Elaboração Própria
Se calcule .
Passo 1
Primeiro, vamos ver o que queremos encontrar. Pela fórmula da tangente do arco duplo:
E agora:
Show! Então se encontrarmos a fórmula da resolvemos o problema! Tá vendo que nas tangentes que ele deu aparecem e ? Será coincidência? Eu acho que não!
Passo 2
Vamos abrir as fórmulas que ele deu.
Para a primeira:
Vamos multiplicar em cruz:
E isolar :
Vamos fazer o mesmo para a segunda:
Vamos multiplicar em cruz:
E isolar :
Passo 3
Beleza, agora vamos igualar o que achamos pra nos dois casos:
E multiplicar em cruz:
Agora vamos agrupar os termos iguais:
Agora isolar o 7 e o 9:
Opa, opa, opa. Tá aparecendo um cara conhecido aí! Lembra da ?
É exatamente a mesma coisa! Então podemos dizer que:
Passo 4
Agora que temos , conseguimos achar . Só substituir:
Aí você pode pensar: “Nossa, mas eu nunca iria pensar nisso na hora da prova!”. Cara, soma e subtração de arcos não tem jeito, você sempre vai ter que abrir as fórmulas pra chegar no que você quer. Da trabalho, mas pelo menos da certo. Hahaha
Resposta
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