Inequações modulares

Teoria Completa

Inequações Modulares

Outro tipo de inequação que aparece pra gente, são as inequações modulares. Um exemplo disso seria

x - 3 ≤ 4

A pergunta é: como vamos resolver?

Temos duas situações possíveis, uma que é como o exemplo acima onde o modulo é menor que um número, a outra seria quando o modulo é maior que um número. Vamos ver como resolver cada tipo dessa inequação.

Tipo 1: Módulo menor que um número

Essa situação é como no exemplo ali de cima, o macete aqui é transformar aquela inequação em duas inequações diferentes. A partir daí achamos a solução para cada uma e determinamos a interseção.

x - 3 ≤ 4 ⇒ x - 3 ≤ 4 e - 4 ≤ x - 3

Transformamos em duas inequações, uma com o 4 e outra com o - 4 .

O - 4 vai ficar menor que a função dentro do módulo enquanto o 4 vai ficar maior que a função dentro do módulo. Aí basta pegarmos a interseção das soluções das inequações.

Assim temos duas inequações para resolver, a primeira vai ser:

- 4 ≤ x - 3

- 4 + 3 ≤ x

x ≥ - 1

A segunda vai ser:

x - 3 ≤ 4

x ≤ 7

Assim a nossa solução aqui vai ser

- 1 ≤ x ≤ 7

Beleza? De forma geral, essa inequação, para uma função louca qualquer, seria algo assim:

f x ≤ a

Assim para resolver é só escrever as duas inequações e achar a interseção das soluções.

f x ≤ a e - a ≤ f x

Tipo 2: Módulo maior que um número

Aqui vamos transformar também em dois intervalos, porém, aqui a solução vai ser a união dos dois intervalos e não a interseção. Vamos ver um exemplo:

x + 4 ≥ 5

Assim vamos ter duas inequações:

x + 4 ≥ 5 o u - 5 ≥ x + 4

Transformamos em duas inequações, uma com o 5 e outra com o - 5 .

O - 5 vai ficar maior que a função dentro do módulo enquanto o 5 vai ficar menor que a função dentro do módulo. Aí é só pegar a união das soluções dessas inequações.

Resolvendo as inequações vamos ter:

x + 4 ≥ 5

x ≥ 1

E:

- 5 ≥ x + 4

- 9 ≥ x

E a nossa solução vai ser:

x ≤ - 9 o u x ≥ 1

Beleza? De forma geral, essa inequação, para uma função louca qualquer, seria algo assim:

f x ≥ a

Assim para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união das soluções:

f x ≥ a e - a ≥ f x

OBS:

Mesmo que tenhamos em vez de números uma função fora do módulo na inequação a lógica é a mesma, não se preocupe que vamos ver isso com calma nos exercícios.

Inequações Gerais

Claro que as inequações podem ser tão complicadas quanto se possa pensar, mas a ideia de resolução é a mesma. Aqui vão algumas dicas:

  • Se a inequação tiver parcelas de ambos os lados, sempre jogue para o lado esquerdo, para ficar com 0 no lado direito. NUNCA MULTIPLIQUE CRUZADO!
  • Fatore sempre que possível; isso vai ajudar a aplicar a técnica acima.
  • Esboçar as funções sempre ajuda a visualizar a solução.

Basicamente é isso galera, vamos ver nos exercícios algumas formas meio estranhas que eles aparecem, mas não se preocupem que vamos entender bem o que fazer.

Partiu exercícios!!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Resolva a seguinte inequação abaixo

5 x + 2 ≥ 2

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Passo 1

Bem esse nosso exercício é de inequação, porque tem o sinal de desigualdade ali dentro. Repara que temos um módulo junto, então essa é aquele tipo de inequação que vimos na teoria, lembra como fica? Temos que achar duas inequações, como o sinal é de maior ou igual, temos que fazer as seguintes inequações

5 x + 2 ≥ 2 o u - 2 ≥ 5 x + 2

Aí pegamos a união desses intervalos da solução.

Vamos começar com a primeira inequação

5 x + 2 ≥ 2

5 x ≥ 0

Então

x ≥ 0

Passo 2

Vamos agora para a segunda inequação, que vai ser

- 2 ≥ 5 x + 2

- 4 ≥ 5 x

- 4 5 ≥ x

Podemos escrever isso ao contrário,

x ≤ - 4 5

E a nossa solução vai ser

x ≥ 0 o u x ≤ - 4 5

Resposta

x ≥ 0 o u x ≤ - 4 5

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine a solução da inequação abaixo

x 2 + 5 x + 5 ≤ 1

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Passo 1

Aqui de novo temos uma inequação com módulo, dessa vez é uma função de segundo grau ali dentro, mas não vamos nos preocupar com isso por enquanto.

Vamos entender isso como a inequação módular com menor ou igual, vamos ter duas inequações abaixo

x 2 + 5 x + 5 ≤ 1 e - 1 ≤ x 2 + 5 x + 5

Temos que pegar a interseção das soluções duas inequações.

Passo 2

Vamos começar com a primeira inequação, vamos ter

x 2 + 5 x + 5 ≤ 1

Arrumando isso vamos ter

x 2 + 5 x + 4 ≤ 0

Para analisarmos o sinal dessa inequação com função de 2 º grau vamos fazer o gráfico dessa função e ver quando ela vai ser menor que 0 .

A função de 2 º grau é uma parábola, então vamos ter que achar as raízes primeiro para depois ver como fica o gráfico. As raízes vão ser

x = - 5 ± 25 - 16 2 = - 5 ± 9 2 = - 5 ± 3 2

Assim temos

x 1 = - 4

x 2 = - 1

O gráfico vai ser

Então a nossa função vai ser negativa entre - 4 a - 1 e positiva no resto.

Como ele quer a parte negativa a solução dessa nossa inequação vai ser

- 4 ≤ x ≤ - 1

Passo 3

Vamos começar com a primeira inequação, vamos ter

- 1 ≤ x 2 + 5 x + 5

Arrumando isso vamos ter

x 2 + 5 x + 6 ≥ 0

Para analisarmos o sinal dessa inequação com função de 2 º grau vamos fazer o gráfico dessa função e ver quando ela vai ser menor que 0 .

A função de 2 º grau é uma parábola, então vamos ter que achar as raízes primeiro para depois ver como fica o gráfico. As raízes vão ser

x = - 5 ± 25 - 24 2 = - 5 ± 1 2 = - 5 ± 1 2

As soluções vão ser

x 1 = - 3

x 2 = - 2

O seu gráfico vai ficar

Então a nossa função vai ser negativa entre - 3 a - 2 e positiva no resto.

Como ele quer a parte positiva da solução dessa nossa inequação vai ser

x ≥ - 2 o u x ≤ - 3

Passo 4

A nossa solução vai ser a interseção das suas soluções que achamos antes

- 4 ≤ x ≤ - 1 e x ≥ - 2 o u x ≤ - 3

Assim a interseção dessa parada vai ser

- 4 ≤ x ≤ - 3 o u - 2 ≤ x ≤ - 1

Resposta

- 4 ≤ x ≤ - 3 o u - 2 ≤ x ≤ - 1

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Determine a solução na inequação abaixo

x + 3 x - 2 ≤ 2 x + 2

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Passo 1

De novo caímos naquela situação de inequações modulares com dois módulos, podemos resolver daquela forma que fizemos nos exercícios anteriores, mas é mais fácil dar uma manipulada nisso e transformar em um módulo só. Diferente do outro exercício que é mais tranquilo fazer da forma tradicional.

Vamos começar arrumando isso do lado direito,

x + 3 x - 2 ≤ 2 x + 2

Vamos passar aquele módulo de x + 2 para a esquerda multiplicando, mas lembrando que ele nunca pode ser 0 , assim já temos que excluir da nossa solução o x = - 2 , mais tarde vamos relembrar desse detalhe que vai ser importante.

Passando ele para o outro lado vamos ter

x + 3 x + 2 x - 2 ≤ 2

Arrumando isso

x 2 + 5 x + 6 x - 2 ≤ 2

E passamos a ter um único módulo. Aqui temos a inequação modular menor ou igual, assim temos que achar a interseção das soluções das inequações abaixo

x 2 + 5 x + 6 x - 2 ≤ 2 e - 2 ≤ x 2 + 5 x + 6 x - 2

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira

x 2 + 5 x + 6 x - 2 ≤ 2

Passando o 2 para esquerda

x 2 + 5 x + 6 x - 2 - 2 ≤ 0

Temos que juntar essa parada toda

x 2 + 5 x + 6 - 2 x + 4 x - 2 ≤ 0

x 2 + 3 x + 10 x - 2 ≤ 0

Precisamos analisar o sinal das duas funções, tanto no numerado como no denominador.

A do denominador é de boa, vamos ter ela positiva depois de x = 2 e negativa antes.

A função de segundo grau precisamos do gráfico para isso, e para o gráfico precisamos das raízes

x = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 ± - 31 2

Isso nos diz que essa função não tem raízes, o seu gráfico vai ficar

Podemos ver que ele sempre vai ser positivo. Vamos fazer o quadro de sinais.

Queremos essa fração sendo negativa, então vamos pegar a parte menor que 2

x < 2

Repara que a expressão tem menor ou igual, e aqui eu só coloquei menor. Isso porque o 2 é raiz do denominador, e ele não pode ser 0 , então precisamos excluir o 2

Passo 3

Vamos para a segunda inequação

- 2 ≤ x 2 + 5 x + 6 x - 2

Passando o - 2 para direita

0 ≤ x 2 + 5 x + 6 x - 2 + 2

Temos que juntar essa parada toda, e vamos escrever com o sinal ao contrario da desigualdade

x 2 + 5 x + 6 + 2 x - 4 x - 2 ≥ 0

x 2 + 7 x + 2 x - 2 ≥ 0

Precisamos analisar o sinal das duas funções, tanto no numerado como no denominador.

A do denominador é de boa, vamos ter ela positiva depois de x = 2 e negativa antes.

A função de segundo grau precisamos do gráfico para isso, e para o gráfico precisamos das raízes

x = - 7 ± 49 - 8 2 = - 7 ± 41 2

Isso nos diz que essa função tem duas raízes,

x 1 = - 7 + 41 2

E

x 2 = - 7 - 41 2

O seu gráfico vai ficar

Podemos ver que entre as raízes ele vai ser negativo, e na outra parte vai ser positivo. Vamos fazer o quadro de sinais.

Queremos essa fração sendo positiva, então vamos pegar

- 7 - 41 2 ≤ x ≤ - 7 + 41 2 o u x > 2

Aqui de novo temos que excluir o 2 , pelo mesmo motivo de antes, ele é raiz do denominador

Passo 4

Agora temos a solução de cada uma dessas inequações, a parada é achar a interseção dessas duas soluções

x < 2 e - 7 - 41 2 ≤ x ≤ - 7 + 41 2 o u x > 2

Assim, a nossa solução vai ser entre aqueles cara bonitinhos,

- 7 - 41 2 ≤ x ≤ - 7 + 41 2

Resposta

- 7 - 41 2 ≤ x ≤ - 7 + 41 2

Exercício Resolvido #4

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 20

Resolva para x e represente a solução na reta numérica

x 2 - 5 x < x 2 - 5 x

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Passo 1

Usando a definição de módulo para a função dentro do primeiro módulo:

x 2 - 5 x = - x 2 - 5 x 0 ≤ x ≤ 5 x 2 - 5 x x < 0   e   x > 5