Teoria Completa
Inequações Modulares
Outro tipo de inequação que aparece pra gente, são as inequações modulares. Um exemplo disso seria
A pergunta é: como vamos resolver?
Temos duas situações possíveis, uma que é como o exemplo acima onde o modulo é menor que um número, a outra seria quando o modulo é maior que um número. Vamos ver como resolver cada tipo dessa inequação.
Tipo 1: Módulo menor que um número
Essa situação é como no exemplo ali de cima, o macete aqui é transformar aquela inequação em duas inequações diferentes. A partir daí achamos a solução para cada uma e determinamos a interseção.
Transformamos em duas inequações, uma com o e outra com o .
O vai ficar menor que a função dentro do módulo enquanto o vai ficar maior que a função dentro do módulo. Aí basta pegarmos a interseção das soluções das inequações.
Assim temos duas inequações para resolver, a primeira vai ser:
A segunda vai ser:
Assim a nossa solução aqui vai ser
Beleza? De forma geral, essa inequação, para uma função louca qualquer, seria algo assim:
Assim para resolver é só escrever as duas inequações e achar a interseção das soluções.
Tipo 2: Módulo maior que um número
Aqui vamos transformar também em dois intervalos, porém, aqui a solução vai ser a união dos dois intervalos e não a interseção. Vamos ver um exemplo:
Assim vamos ter duas inequações:
Transformamos em duas inequações, uma com o e outra com o .
O vai ficar maior que a função dentro do módulo enquanto o vai ficar menor que a função dentro do módulo. Aí é só pegar a união das soluções dessas inequações.
Resolvendo as inequações vamos ter:
E:
E a nossa solução vai ser:
Beleza? De forma geral, essa inequação, para uma função louca qualquer, seria algo assim:
Assim para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união das soluções:
OBS:
Mesmo que tenhamos em vez de números uma função fora do módulo na inequação a lógica é a mesma, não se preocupe que vamos ver isso com calma nos exercícios.
Inequações Gerais
Claro que as inequações podem ser tão complicadas quanto se possa pensar, mas a ideia de resolução é a mesma. Aqui vão algumas dicas:
- Se a inequação tiver parcelas de ambos os lados, sempre jogue para o lado esquerdo, para ficar com no lado direito. NUNCA MULTIPLIQUE CRUZADO!
- Fatore sempre que possível; isso vai ajudar a aplicar a técnica acima.
- Esboçar as funções sempre ajuda a visualizar a solução.
Basicamente é isso galera, vamos ver nos exercícios algumas formas meio estranhas que eles aparecem, mas não se preocupem que vamos entender bem o que fazer.
Partiu exercícios!!
Exercício Resolvido #1
Resolva a seguinte inequação abaixo
Passo 1
Bem esse nosso exercício é de inequação, porque tem o sinal de desigualdade ali dentro. Repara que temos um módulo junto, então essa é aquele tipo de inequação que vimos na teoria, lembra como fica? Temos que achar duas inequações, como o sinal é de maior ou igual, temos que fazer as seguintes inequações
Aí pegamos a união desses intervalos da solução.
Vamos começar com a primeira inequação
Então
Passo 2
Vamos agora para a segunda inequação, que vai ser
Podemos escrever isso ao contrário,
E a nossa solução vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #2
Determine a solução da inequação abaixo
Passo 1
Aqui de novo temos uma inequação com módulo, dessa vez é uma função de segundo grau ali dentro, mas não vamos nos preocupar com isso por enquanto.
Vamos entender isso como a inequação módular com menor ou igual, vamos ter duas inequações abaixo
Temos que pegar a interseção das soluções duas inequações.
Passo 2
Vamos começar com a primeira inequação, vamos ter
Arrumando isso vamos ter
Para analisarmos o sinal dessa inequação com função de grau vamos fazer o gráfico dessa função e ver quando ela vai ser menor que .
A função de grau é uma parábola, então vamos ter que achar as raízes primeiro para depois ver como fica o gráfico. As raízes vão ser
Assim temos
O gráfico vai ser
Então a nossa função vai ser negativa entre a e positiva no resto.
Como ele quer a parte negativa a solução dessa nossa inequação vai ser
Passo 3
Vamos começar com a primeira inequação, vamos ter
Arrumando isso vamos ter
Para analisarmos o sinal dessa inequação com função de grau vamos fazer o gráfico dessa função e ver quando ela vai ser menor que .
A função de grau é uma parábola, então vamos ter que achar as raízes primeiro para depois ver como fica o gráfico. As raízes vão ser
As soluções vão ser
O seu gráfico vai ficar
Então a nossa função vai ser negativa entre a e positiva no resto.
Como ele quer a parte positiva da solução dessa nossa inequação vai ser
Passo 4
A nossa solução vai ser a interseção das suas soluções que achamos antes
Assim a interseção dessa parada vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #3
Determine a solução na inequação abaixo
Passo 1
De novo caímos naquela situação de inequações modulares com dois módulos, podemos resolver daquela forma que fizemos nos exercícios anteriores, mas é mais fácil dar uma manipulada nisso e transformar em um módulo só. Diferente do outro exercício que é mais tranquilo fazer da forma tradicional.
Vamos começar arrumando isso do lado direito,
Vamos passar aquele módulo de para a esquerda multiplicando, mas lembrando que ele nunca pode ser , assim já temos que excluir da nossa solução o , mais tarde vamos relembrar desse detalhe que vai ser importante.
Passando ele para o outro lado vamos ter
Arrumando isso
E passamos a ter um único módulo. Aqui temos a inequação modular menor ou igual, assim temos que achar a interseção das soluções das inequações abaixo
Passo 2
Vamos começar resolvendo a primeira
Passando o para esquerda
Temos que juntar essa parada toda
Precisamos analisar o sinal das duas funções, tanto no numerado como no denominador.
A do denominador é de boa, vamos ter ela positiva depois de e negativa antes.
A função de segundo grau precisamos do gráfico para isso, e para o gráfico precisamos das raízes
Isso nos diz que essa função não tem raízes, o seu gráfico vai ficar
Podemos ver que ele sempre vai ser positivo. Vamos fazer o quadro de sinais.
Queremos essa fração sendo negativa, então vamos pegar a parte menor que
Repara que a expressão tem menor ou igual, e aqui eu só coloquei menor. Isso porque o é raiz do denominador, e ele não pode ser , então precisamos excluir o
Passo 3
Vamos para a segunda inequação
Passando o para direita
Temos que juntar essa parada toda, e vamos escrever com o sinal ao contrario da desigualdade
Precisamos analisar o sinal das duas funções, tanto no numerado como no denominador.
A do denominador é de boa, vamos ter ela positiva depois de e negativa antes.
A função de segundo grau precisamos do gráfico para isso, e para o gráfico precisamos das raízes
Isso nos diz que essa função tem duas raízes,
E
O seu gráfico vai ficar
Podemos ver que entre as raízes ele vai ser negativo, e na outra parte vai ser positivo. Vamos fazer o quadro de sinais.
Queremos essa fração sendo positiva, então vamos pegar
Aqui de novo temos que excluir o , pelo mesmo motivo de antes, ele é raiz do denominador
Passo 4
Agora temos a solução de cada uma dessas inequações, a parada é achar a interseção dessas duas soluções
Assim, a nossa solução vai ser entre aqueles cara bonitinhos,
Resposta
Exercício Resolvido #4
Resolva para e represente a solução na reta numérica
Passo 1
Usando a definição de módulo para a função dentro do primeiro módulo:
Para os demais:
E:
Juntamos os intervalos, obtemos três intervalos onde as funções mudam:
Vamos testar para cada um deles.
Passo 2
Para :
Assim, temos:
Ou seja:
Como encontramos que a solução deve ser dentro do intervalo , não teremos solução nesse caso.
Passo 3
Para :
Assim, temos:
Ou seja:
Que será maior que zero para e .
Como encontramos que a solução deve ser ou dentro do intervalo , não teremos solução nesse caso.
Passo 4
Para :
Assim, temos:
Que não é verdade para nenhum valor de , ou seja, não satisfaz a inequação. Portanto, não teremos solução para a nossa inequação . Representaremos o conjunto solução como o conjunto vazio:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Determine o valor de e de forma que o conjunto seja a solução da inequação .
Passo 1
Vamos resolver a inequação modular:
Passo 2
A solução dada diz que e . Dessa forma, os valores de e devem satisfazer às seguintes igualdades para que seja a solução da inequação: