Inequações modulares

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Teoria

Inequações Modulares

Outro tipo de inequação que aparece pra gente, são as inequações modulares. Um exemplo disso seria

x - 3 ≤ 4

A pergunta é: como vamos resolver?

Temos duas situações possíveis, uma que é como o exemplo acima onde o modulo é menor que um número, a outra seria quando o modulo é maior que um número. Vamos ver como resolver cada tipo dessa inequação.

Tipo 1: Módulo menor que um número

Essa situação é como no exemplo ali de cima, o macete aqui é transformar aquela inequação em duas inequações diferentes. A partir daí achamos a solução para cada uma e determinamos a interseção.

x - 3 ≤ 4 ⇒ x - 3 ≤ 4 e - 4 ≤ x - 3

Transformamos em duas inequações, uma com o 4 e outra com o - 4 .

O - 4 vai ficar menor que a função dentro do módulo enquanto o 4 vai ficar maior que a função dentro do módulo. Aí basta pegarmos a interseção das soluções das inequações.

Assim temos duas inequações para resolver, a primeira vai ser:

- 4 ≤ x - 3

- 4 + 3 ≤ x

x ≥ - 1

A segunda vai ser:

x - 3 ≤ 4

x ≤ 7

Assim a nossa solução aqui vai ser

- 1 ≤ x ≤ 7

Beleza? De forma geral, essa inequação, para uma função louca qualquer, seria algo assim:

f x ≤ a

Assim para resolver é só escrever as duas inequações e achar a interseção das soluções.

f x ≤ a e - a ≤ f x

Tipo 2: Módulo maior que um número

Aqui vamos transformar também em dois intervalos, porém, aqui a solução vai ser a união dos dois intervalos e não a interseção. Vamos ver um exemplo:

x + 4 ≥ 5

Assim vamos ter duas inequações:

x + 4 ≥ 5 o u - 5 ≥ x + 4

Transformamos em duas inequações, uma com o 5 e outra com o - 5 .

O - 5 vai ficar maior que a função dentro do módulo enquanto o 5 vai ficar menor que a função dentro do módulo. Aí é só pegar a união das soluções dessas inequações.

Resolvendo as inequações vamos ter:

x + 4 ≥ 5

x ≥ 1

E:

- 5 ≥ x + 4

- 9 ≥ x

E a nossa solução vai ser:

x ≤ - 9 o u x ≥ 1

Beleza? De forma geral, essa inequação, para uma função louca qualquer, seria algo assim:

f x ≥ a

Assim para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união das soluções:

f x ≥ a e - a ≥ f x

OBS:

Mesmo que tenhamos em vez de números uma função fora do módulo na inequação a lógica é a mesma, não se preocupe que vamos ver isso com calma nos exercícios.

Inequações Gerais

Claro que as inequações podem ser tão complicadas quanto se possa pensar, mas a ideia de resolução é a mesma. Aqui vão algumas dicas:

  • Se a inequação tiver parcelas de ambos os lados, sempre jogue para o lado esquerdo, para ficar com 0 no lado direito. NUNCA MULTIPLIQUE CRUZADO!
  • Fatore sempre que possível; isso vai ajudar a aplicar a técnica acima.
  • Esboçar as funções sempre ajuda a visualizar a solução.

Basicamente é isso galera, vamos ver nos exercícios algumas formas meio estranhas que eles aparecem, mas não se preocupem que vamos entender bem o que fazer.

Partiu exercícios!!

Inequações Gerais

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Resolva as inequações modulares abaixo:

  1. x > 6
  2. x ≤ 17

Passo 1

Vamos lá!!! Na letra (a) precisamos calcular a inequação

x > 6

Quando temos uma inequação do tipo

f x > a

Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações

f ( x ) > a e - a > f x

Beleza?!

Assim, para a inequação

x > 6

Teremos

x > 6 ou - 6 > x

Ou seja, o nosso conjunto solução é

S = x ∈   R |   x < - 6   o u   x > 6

Passo 2

Na letra (b) precisamos calcular a inequação

x ≤ 17

Quando temos uma inequação do tipo

f x ≤ a

Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações

f ( x ) ≤ a e - a ≤ f x

Assim, para a inequação

x ≤ 17

Teremos

x ≤ 17 e - 17 ≤ x

Portanto, o nosso conjunto solução é

S = x ∈   R | - 17 ≤ x ≤ 17

Beleza?!

Resposta

  1. S = x ∈   R |   x < - 6   o u   x > 6
  2. S = x ∈   R | - 17 ≤ x ≤ 17

Exercício Resolvido #2

Resolva a inequação modular

3 x + 4 ≤ 2

Passo 1

Vamos lá!!! Queremos resolver a inequação modular

3 x + 4 ≤ 2

Certo?! Antes de fazer as continhas vamos relembrar como vai funcionar?

Quando temos uma inequação do tipo

f x ≤ a

Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações

f ( x ) ≤ a e - a ≤ f x

Beleza?!

Passo 2

Então vamos lá!! Seguindo o raciocínio descrito acima, temos

3 x + 4 ≤ 2 e - 2 ≤ 3 x + 4

Vamos resolver cada uma das inequações separadamente e a solução será a interseção das duas!

Primeiro resolvendo

3 x + 4 ≤ 2

Isolando x , temos

3 x ≤ 2 - 4

3 x ≤ - 2

x ≤ - 2 3

Agora resolvendo a segunda inequação

- 2 ≤ 3 x + 4

Isolando o x

- 6 ≤ 3 x

- 6 3 ≤ x

- 2 ≤ x

A nossa solução será a interseção

- 2 ≤ x ≤ - 2 3

Resposta

- 2 ≤ x ≤ - 2 3

Exercício Resolvido #3

Resolva a inequação modular abaixo

x + 10 ≥ 4

Passo 1

Vamos lá!!! Queremos resolver a inequação modular

x + 10 ≥ 4

Certo?! Antes de fazer as continhas vamos relembrar como vai funcionar?

Quando temos uma inequação do tipo

f x ≥ a

Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações

f ( x ) ≥ a ou - a ≥ f x

Beleza?!

Passo 2

Então vamos lá!! Seguindo o raciocínio descrito acima, temos

x + 10 ≥ 4 ou - 4 ≥ x + 10

Vamos resolver cada uma das inequações separadamente e a solução será a união das duas!

Primeiro resolvendo

x + 10 ≥ 4

Isolando x , temos

x ≥ 4 - 10

x ≥ - 6

Agora resolvendo a segunda inequação

- 4 ≥ x + 10

Isolando o x

- 4 - 10 ≥ x

Podemos escrever isso ao contrário

x ≤ - 14

A nossa solução será

x ≤ - 14 ou x ≥ - 6

Resposta

x ≤ - 14 ou x ≥ - 6

Exercício Resolvido #4

Qual o conjunto solução da inequação abaixo

x + 10 ≤ - 4

  1. S = x ∈   R |   x < - 2 5   o u   x > 2 5
  2. S = x ∈   R |   - 2 5   ≤ x ≤ 2 5
  3. S = ∅
  4. S = x ∈   R |   - 2 5   ≤ x

Passo 1

Eitaaaa! Pode ser que o pensamento aqui seja utilizar o método que aprendemos para resolver esse tipo de inequação, certo?! Mas aqui não podemos utilizar o método que vimos....

Se você reparar, o valor numérico que se encontra do lado direito da desigualdade é menor que zero, ou negativo! O módulo de qualquer número real jamais pode ser negativo!

Portanto, não existe nenhum valor de que possa satisfazer essa inequação, e a solução para o exemplo só pode ser dada através do conjunto vazio.

Assim, nosso conjunto solução

S = ∅

Resposta

Letra C

Exercício Resolvido #5

Resolva a inequação modular abaixo

x + 110 ≥ 140

Passo 1

Opaaa! Queremos resolver a inequação modular

x + 110 ≥ 140

Certo?! Antes de fazer as continhas vamos relembrar como vai funcionar?

Quando temos uma inequação do tipo

f x ≥ a

Para resolver é só escrever as duas inequações e achar a união dessas inequações

f ( x ) ≥ a ou - a ≥ f x

Beleza?!

Passo 2

Então vamos lá!! Seguindo o raciocínio descrito acima, temos

x + 1 1 0 ≥ 140 ou - 140 ≥ x + 1 1 0

Vamos resolver cada uma das inequações separadamente e a solução será a união das duas!

Primeiro resolvendo

x + 1 1 0 ≥ 1 4 0

Isolando x , temos

x ≥ 1 4 0 - 1 1 0

x ≥ 30

Agora resolvendo a segunda inequação

- 1 4 0 ≥ x + 1 1 0

Isolando o x

- 1 4 0 - 1 1 0 ≥ x

Podemos escrever isso ao contrário

x ≤ - 250

A nossa solução será

x ≤ - 250 ou x ≥ 30

Resposta

x ≤ - 250 ou x ≥ 30

Exercício Resolvido #6

Resolva a seguinte inequação abaixo

5 x + 2 ≥ 2

Passo 1

Bem esse nosso exercício é de inequação, porque tem o sinal de desigualdade ali dentro. Repara que temos um módulo junto, então essa é aquele tipo de inequação que vimos na teoria, lembra como fica? Temos que achar duas inequações, como o sinal é de maior ou igual, temos que fazer as seguintes inequações

5 x + 2 ≥ 2 o u - 2 ≥ 5 x + 2

Aí pegamos a união desses intervalos da solução.

Vamos começar com a primeira inequação

5 x + 2 ≥ 2

5 x ≥ 0

Então

x ≥ 0

Passo 2

Vamos agora para a segunda inequação, que vai ser

- 2 ≥ 5 x + 2

- 4 ≥ 5 x

- 4 5 ≥ x

Podemos escrever isso ao contrário,

x ≤ - 4 5

E a nossa solução vai ser

x ≥ 0 o u x ≤ - 4 5

Resposta

x ≥ 0 o u x ≤ - 4 5

Exercício Resolvido #7

Determine a solução da inequação abaixo

x 2 + 5 x + 5 ≤ 1

Passo 1

Aqui de novo temos uma inequação com módulo, dessa vez é uma função de segundo grau ali dentro, mas não vamos nos preocupar com isso por enquanto.

Vamos entender isso como a inequação módular com menor ou igual, vamos ter duas inequações abaixo

x 2 + 5 x + 5 ≤ 1 e - 1 ≤ x 2 + 5 x + 5

Temos que pegar a interseção das soluções duas inequações.

Passo 2

Vamos começar com a primeira inequação, vamos ter

x 2 + 5 x + 5 ≤ 1

Arrumando isso vamos ter

x 2 + 5 x + 4 ≤ 0

Para analisarmos o sinal dessa inequação com função de 2 º grau vamos fazer o gráfico dessa função e ver quando ela vai ser menor que 0 .

A função de 2 º grau é uma parábola, então vamos ter que achar as raízes primeiro para depois ver como fica o gráfico. As raízes vão ser

x = - 5 ± 25 - 16 2 = - 5 ± 9 2 = - 5 ± 3 2

Assim temos

x 1 = - 4

x 2 = - 1

O gráfico vai ser

Então a nossa função vai ser negativa entre - 4 a - 1 e positiva no resto.

Como ele quer a parte negativa a solução dessa nossa inequação vai ser

- 4 ≤ x ≤ - 1

Passo 3

Vamos começar com a primeira inequação, vamos ter

- 1 ≤ x 2 + 5 x + 5

Arrumando isso vamos ter

x 2 + 5 x + 6 ≥ 0

Para analisarmos o sinal dessa inequação com função de 2 º grau vamos fazer o gráfico dessa função e ver quando ela vai ser menor que 0 .

A função de 2 º grau é uma parábola, então vamos ter que achar as raízes primeiro para depois ver como fica o gráfico. As raízes vão ser

x = - 5 ± 25 - 24 2 = - 5 ± 1 2 = - 5 ± 1 2

As soluções vão ser

x 1 = - 3

x 2 = - 2

O seu gráfico vai ficar

Então a nossa função vai ser negativa entre - 3 a - 2 e positiva no resto.

Como ele quer a parte positiva da solução dessa nossa inequação vai ser

x ≥ - 2 o u x ≤ - 3

Passo 4

A nossa solução vai ser a interseção das suas soluções que achamos antes

- 4 ≤ x ≤ - 1 e x ≥ - 2 o u x ≤ - 3

Assim a interseção dessa parada vai ser

- 4 ≤ x ≤ - 3 o u - 2 ≤ x ≤ - 1

Resposta

- 4 ≤ x ≤ - 3 o u - 2 ≤ x ≤ - 1

Exercício Resolvido #8

Determine a solução na inequação abaixo

x + 3 x - 2 ≤ 2 x + 2

Passo 1

De novo caímos naquela situação de inequações modulares com dois módulos, podemos resolver daquela forma que fizemos nos exercícios anteriores, mas é mais fácil dar uma manipulada nisso e transformar em um módulo só. Diferente do outro exercício que é mais tranquilo fazer da forma tradicional.

Vamos começar arrumando isso do lado direito,

x + 3 x - 2 ≤ 2 x + 2

Vamos passar aquele módulo de x + 2 para a esquerda multiplicando, mas lembrando que ele nunca pode ser 0 , assim já temos que excluir da nossa solução o x = - 2 , mais tarde vamos relembrar desse detalhe que vai ser importante.

Passando ele para o outro lado vamos ter

x + 3 x + 2 x - 2 ≤ 2

Arrumando isso

x 2 + 5 x + 6 x - 2 ≤ 2

E passamos a ter um único módulo. Aqui temos a inequação modular menor ou igual, assim temos que achar a interseção das soluções das inequações abaixo

x 2 + 5 x + 6 x - 2 ≤ 2 e - 2 ≤ x 2 + 5 x + 6 x - 2

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira

x 2 + 5 x + 6 x - 2 ≤ 2

Passando o 2 para esquerda

x 2 + 5 x + 6 x - 2 - 2 ≤ 0

Temos que juntar essa parada toda

x 2 + 5 x + 6 - 2 x + 4 x - 2 ≤ 0

x 2 + 3 x + 10 x - 2 ≤ 0

Precisamos analisar o sinal das duas funções, tanto no numerado como no denominador.

A do denominador é de boa, vamos ter ela positiva depois de x = 2 e negativa antes.

A função de segundo grau precisamos do gráfico para isso, e para o gráfico precisamos das raízes

x = - 3 ± 9 - 40 2 = - 3 ± - 31 2

Isso nos diz que essa função não tem raízes, o seu gráfico vai ficar

Podemos ver que ele sempre vai ser positivo. Vamos fazer o quadro de sinais.

Queremos essa fração sendo negativa, então vamos pegar a parte menor que 2

x < 2

Repara que a expressão tem menor ou igual, e aqui eu só coloquei menor. Isso porque o 2 é raiz do denominador, e ele não pode ser 0 , então precisamos excluir o 2

Passo 3

Vamos para a segunda inequação

- 2 ≤ x 2 + 5 x + 6 x - 2

Passando o - 2 para direita

0 ≤ x 2 + 5 x + 6 x - 2 + 2

Temos que juntar essa parada toda, e vamos escrever com o sinal ao contrario da desigualdade

x 2 + 5 x + 6 + 2 x - 4 x - 2 ≥ 0

x 2 + 7 x + 2 x - 2 ≥ 0

Precisamos analisar o sinal das duas funções, tanto no numerado como no denominador.

A do denominador é de boa, vamos ter ela positiva depois de x = 2 e negativa antes.

A função de segundo grau precisamos do gráfico para isso, e para o gráfico precisamos das raízes

x = - 7 ± 49 - 8 2 = - 7 ± 41 2

Isso nos diz que essa função tem duas raízes,

x 1 = - 7 + 41 2

E

x 2 = - 7 - 41 2

O seu gráfico vai ficar

Podemos ver que entre as raízes ele vai ser negativo, e na outra parte vai ser positivo. Vamos fazer o quadro de sinais.

Queremos essa fração sendo positiva, então vamos pegar

- 7 - 41 2 ≤ x ≤ - 7 + 41 2 o u x > 2

Aqui de novo temos que excluir o 2 , pelo mesmo motivo de antes, ele é raiz do denominador

Passo 4

Agora temos a solução de cada uma dessas inequações, a parada é achar a interseção dessas duas soluções

x < 2 e - 7 - 41 2 ≤ x ≤ - 7 + 41 2 o u x > 2

Assim, a nossa solução vai ser entre aqueles cara bonitinhos,

- 7 - 41 2 ≤ x ≤ - 7 + 41 2

Resposta

- 7 - 41 2 ≤ x ≤ - 7 + 41 2

Exercício Resolvido #9

Resolva para x e represente a solução na reta numérica

x 2 - 5 x < x 2 - 5 x

Passo 1

Usando a definição de módulo para a função dentro do primeiro módulo:

x 2 - 5 x = - x 2 - 5 x 0 ≤ x ≤ 5 x 2 - 5 x x < 0   e   x > 5

Para os demais:

x = x x ≥ 0 - x x < 0

E:

5 x = 5 x x ≥ 0 - 5 x x < 0

Juntamos os intervalos, obtemos três intervalos onde as funções mudam:

x < 0

0 < x < 5

x > 5

Vamos testar para cada um deles.

Passo 2

Para x < 0 :

x 2 - 5 x = x 2 - 5 x

x = - x

5 x = - 5 x

Assim, temos:

x 2 - 5 x < - x 2 - - 5 x

x 2 - 5 x < x 2 + 5 x

Ou seja:

- 5 x < 5 x → 0 < 10 x → x > 0

Como encontramos que a solução deve ser x > 0 dentro do intervalo x < 0 , não teremos solução nesse caso.

Passo 3

Para 0 < x < 5 :

x 2 - 5 x = - ( x 2 - 5 x )

x = x

5 x = 5 x

Assim, temos:

- ( x 2 - 5 x ) < x 2 - 5 x

x 2 - 5 x > 5 x - x 2

Ou seja:

2 x 2 - 10 x > 0

x 2 - 5 x > 0

Que será maior que zero para x < 0 e x > 5 .

Como encontramos que a solução deve ser x < 0 ou x > 5 dentro do intervalo 0 < x < 5 , não teremos solução nesse caso.

Passo 4

Para x > 5 :

x 2 - 5 x = x 2 - 5 x

x = x

5 x = 5 x

Assim, temos:

x 2 - 5 x < x 2 - 5 x

0 < 0

Que não é verdade para nenhum valor de x , ou seja, x > 5 não satisfaz a inequação. Portanto, não teremos solução para a nossa inequação x 2 - 5 x < x 2 - 5 x . Representaremos o conjunto solução como o conjunto vazio:

S = ∅

Resposta

S = ∅

Exercício Resolvido #10

( a ) Determine o valor de a e b de forma que o conjunto S = ( - ∞ , 1 ) ∪ ( 5 , ∞ ) seja a solução da inequação 3 x - a > b .

Passo 1

Vamos resolver a inequação modular:

3 x - a > b

3 x - a > b     ;   3 x - a < - b

3 x > b + a     ;   3 x < - b + a

x > b + a 3     ;   x < - b + a 3

Passo 2

A solução dada S diz que x < 1 e x > 5 . Dessa forma, os valores de b e a devem satisfazer às seguintes igualdades para que S seja a solução da inequação:

b + a 3 = 5 - b + a 3 = 1

b + a = 15 - b + a = 3    

2 a = 18 → a = 9

b = 6

Resposta

a = 9 ; b = 6

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