Equação de Diferença – Homogênea

Teoria Completa

Introdução

Imagina que temos um sistema de Equação de diferença. O que é isso? Vou te dar um exemplo

x n + 1 = x n + y n y n + 1 = 4 x n + y n

O sistema tem essa cara.

Temos um método para resolver isso, envolve achar os autovalores dessa equação. A primeira coisa que temos que fazer é escrever esse sistema dessa forma, fazemos

X n = x n y n

E vamos ter

X n + 1 = A X n

Nesse exemplo que eu dei vai ficar

X n + 1 = 1 1 4 1 X n

Beleza? E vai ser com essa matriz A que vamos fazer todas as contas.

O que temos que fazer agora é achar os autovalores dessa matriz A , é através dele que vamos chegar nas respostas. O primeiro passo é achar esses autovalores, vamos chama-los de λ 1 e λ 2 .

A resposta depende exclusivamente deles, vamos ver 3 casos que são aqueles mais comuns.

A resposta vai ser sempre assim

X n = A n X 0

Com os autovalores vamos descobrir essa matriz A n de forma mais fácil que simplesmente sair fazendo conta, vamos ver como fica em cada caso.

OBS: Fica atento a ordem dessa multiplicação como A n e X 0 são matrizes a ordem importa.

Autovalores Reais e Diferentes

Beleza, imagina que você achou os autovalores e eles são λ 1 e λ 2 , além disso eles são reais e diferentes, a matriz A n vai ficar

A n = λ 1 n I + λ 1 n - λ 2 n λ 1 - λ 2 A - λ 1 I

Onde I é a matriz identidade e A é a matriz do sistema.

De boa? É simples assim, Vamos voltar para aquele exemplo ali de cima

A = 1 1 4 1

Lembra como faz os autovalores? Temos que resolver a seguinte equação

1 - λ 1 4 1 - λ = 0

1 - λ 1 - λ - 4 = 0

1 - 2 λ + λ 2 - 4 = 0

λ 2 - 2 λ - 3 = 0

Resolvendo isso vamos ter

λ 1 = 3

λ 2 = - 1

Vamos achar agora A n

A n = λ 1 n I + λ 1 n - λ 2 n λ 1 - λ 2 A - λ 1 I

A n = 3 n 1 0 0 1 + 3 n - - 1 n 3 - - 1 1 1 4 1 - 3 1 0 0 1

⇒ 3 n 0 0 3 n + 3 n - - 1 n 3 + 1 1 1 4 1 - 3 0 0 3

⇒ 3 n 0 0 3 n + 3 n - - 1 n 4 1 - 3 1 - 0 4 - 0 1 - 3

⇒ 3 n 0 0 3 n + 3 n - - 1 n 4 - 2 1 4 - 2

⇒ 3 n 0 0 3 n + - 3 n + - 1 n 2 3 n - - 1 n 4 3 n - - 1 n - 3 n + - 1 n 2

⇒ - 3 n + - 1 n 2 + 3 n 3 n - - 1 n 4 + 0 3 n - - 1 n + 0 - 3 n + - 1 n 2 + 3 n

⇒ - 3 n + - 1 n 2 + 2 ∙ 3 n 2 3 n - - 1 n 4 3 n - - 1 n - 3 n + - 1 n 2 + 2 ∙ 3 n 2

⇒ - 3 n + - 1 n + 2.3 n 2 3 n - - 1 n 4 3 n - - 1 n - 3 n + - 1 n + 2.3 n 2

⇒ 3 n + - 1 n 2 3 n - - 1 n 4 3 n - - 1 n 3 n + - 1 n 2

E a solução vai ficar

X n = 3 n + - 1 n 2 3 n - - 1 n 4 3 n - - 1 n 3 n + - 1 n 2 X 0

O valor de X 0 depende da condição inicial, nos exercícios vamos ver isso com mais calma.

Vamos aos outros casos.

Autovalores Reais e iguais

Nesse caso a matriz A n vai ficar

A n = λ n I + n λ n - 1 A - λ I

E as contas são exatamente como antes, primeiro achamos autovalores, eles sendo iguais usamos a fórmula aqui de cima.

Vamos ver agora o último caso que é o mais complicado, mas é o que menos deve aparecer na realidade.

Autovalores Complexos

Aqui temos alguns passos extras para colocar, a primeira coisa é achar os autovalores como antes, aí vamos achar um cara da seguinte forma

λ = a ± b i

Aqui vamos precisar fazer esse cara elevado a n para isso é mais interessante colocar ele na forma trigonométrica,

Fica calmo, lembra de nada de número complexo do ensino médio né? Agora ferrou de vez. Relaxe, vamos ver que só precisamos de duas contas, e conseguimos escrever esse número complexo na forma trigonométrica. Um deles é o módulo desse número complexo, lembra como calcular? Escrevemos o módulo como ρ , e ele vai ser

ρ = a 2 + b 2

Beleza, a outra coisa é o argumento do número complexo, que é chamado de θ , e vamos ter

sen ⁡ θ = b ρ

E

cos ⁡ θ = a ρ

Agora com isso vamos calcular A n assim,

A n = ρ n b cos ⁡ n θ - a sen ⁡ n θ b I + sen ⁡ n θ b A

Gostosinho esse cara né? Infelizmente a parada é assim mesmo.

Resumindo

Vamos escrever aqui um passo a passo geral sobre isso

  1. Achar os autovalores
  2. Se eles forem diferentes basta trocar nessa fórmula aí de cima.
  3. A n = λ 1 n I + λ 1 n - λ 2 n λ 1 - λ 2 A - λ 1 I

  4. Se eles forem iguais basta trocar na fórmula aqui de baixo
  5. A n = λ n I + n λ n - 1 A - λ I

  6. Se ele for complexo, vamos lembrar que ele é da forma λ = a ± b i temos que fazer:
    1. Achar o módulo desse número complexo ρ
    2. ρ = a 2 + b 2

    3. Achar o argumento desse número complexo θ
    4. θ = arcsen ⁡ b ρ = arccos ⁡ a ρ

    5. Substituir isso tudo que rtemos na fórmula abaixo

A n = ρ n b cos ⁡ n θ - a sen ⁡ n θ b I + sen ⁡ n θ b A

Partiu exercícios agora?

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ, Cálculo 3, P2 2014.1, Questão 4

Classifique em verdadeiro ou falso a afirmação abaixo, justificando.

Temos que X n = 3 n - 2 n , 2 n é solução do sistema de diferenças finitas:

X n + 1 = B X n

Onde

B = 3 1 0 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos trocar o valor na EDO e ver se dá certo, simples assim rs.

X n + 1 = 3 n + 1 - 2 n + 1 2 n + 1

Vamos achar agora B X n

B X n = 3 1 0 2 3 n - 2 n 2 n

⇒ 3 . 3 n - 3 . 2 n + 2 n 2 . 2 n

⇒ 3 . 3 n - 2 . 2 n 2 . 2 n

⇒ 3 n + 1 - 2 n + 1 2 n + 1

Como podemos ver

X n + 1 = B X n

Então

X n = 3 n - 2 n , 2 n

É Solução dessa EDO.

Resposta

Verdadeiro

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Resolva o sistema e de equações de diferença abaixo.

x n + 1 = 2 x n + y n y n + 1 = x n + 2 y n

Com a seguinte condição inicial

X 0 = 1 - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de qualquer coisa temos que escrever esse sistema da forma matricial, fazendo

X n = x n y n

Vamos ter

X n + 1 = x n + 1 y n + 1

E o sistema vai ser, na forma matricial, da seguinte forma

X n + 1 = 2 1 1 2 X n

Temos que achar a matriz A n , primeiro fazemos os autovalores de A n lembra? Vamos a eles.

Passo 2

Agora temos que achar os autovalores dessa parada, vamos fazer

2 - λ 1 1 2 - λ = 0

2 - λ 2 - λ - 1 = 0

4 - 4 λ + λ 2 - 1 = 0

λ 2 - 4 λ + 3 = 0

Resolvendo essa equação de 2 º grau, vamos ter

λ 1 = - - 4 + - 4 2 - 4 . 1 3 2.1 = 4 + 16 - 12 2 = 4 + 4 2 = 4 + 2 2 = 6 2 = 3

λ 2 = - - 4 - - 4 2 - 4 . 1 3 2.1 = 4 - 16 - 12 2 = 4 - 4 2 = 4 - 2 2 = 2 2 = 1

Encontramos dois autovalores reais e diferentes, vamos agora fazer o valor de A n pela fórmula que vimos na teoria.

Passo 3

Como os autovalores são reais e diferente, vamos ter

A n = λ 1 n I + λ 1 n - λ 2 n λ 1 - λ 2 A - λ 1 I

⇒ 3 n 1 0 0 1 + 3 n - 1 n 3 - 1 2 1 1 2 - 3 1 0 0 1

⇒ 3 n 0 0 3 n + 3 n - 1 2 2 1 1 2 - 3 0 0 3

⇒ 3 n 0 0 3 n + 3 n - 1 2 2 - 3 1 - 0 1 - 0 2 - 3

⇒ 3 n 0 0 3 n + 3 n - 1 2 - 1 1 1 - 1

⇒ 3 n 0 0 3 n + - 3 n + 1 2 3 n - 1 2 3 n - 1 2 - 3 n + 1 2