Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico – Caso Não Linear

Teoria Completa

Quando tivermos um sistema não linear, para analisar cada ponto devemos, primeiro, fazer a matriz jacobiana. Jacobiana?! WTF?! Calma, considerando x ' = f 1 e y ' = f 2 a jacobiana nada mais é do que:

J = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y

Depois substituímos os valores do ponto crítico na matriz, e vai ser essa matriz que vamos analisar. Sacou?

Vamos ver um exemplo.

x ' = x 2 + y 2 - 2 y ' = x + y

Isolando x na equação de baixo vamos ter

y = - x

Substituindo isso na equação de cima, vamos ter

x 2 + - x 2 - 2 = 0

x 2 + x 2 = 2

2 x 2 = 2

x 2 = 1

x = ± 1

Isso nos diz que y = ∓ 1 , e os pontos críticos vão ser

1 , - 1     e     - 1,1

Pronto já encontramos os pontos críticos.

Aqui temos

f 1 = x 2 + y 2 - 2

f 2 = x + y

A matriz jacobiana vai ser

J = 2 x 2 y 1 1

Teríamos que analisar J 1 , - 1 e J - 1,1 que são os pontos críticos, entendeu? Depois é só consultar as relações que nós já vimos na teoria de retrato de fase para um caso linear. Vamos colocar a classificação aqui pra vocês lembrarem.

Classificação dos Pontos Críticos

Autovalores Reais Diferentes – Sinais Iguais e valores diferentes de 0

Vamos começar vendo o caso mais básico. A figura base vai ser

Repara que eu desenhei duas retas verdes ali, elas são as direções dos autovetores, é importante saber essas direções só para se ter uma ideia se o gráfico está mais ou menos inclinado, quando ele pede para esboçar não vamos nos preocupar muito com isso.

Se tivermos o sinal dos autovalores positivos o gráfico vai se afastar da origem, ficando

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó instável ou repulsor.

Se tivermos o sinal dos autovalores negativos o gráfico vai se aproximar da origem, ficando

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó estável ou atrator.

Entendeu agora a ideia de positivo se afastas da origem e negativo se aproximar?

Vamos ver o próximo caso

Autovalores Reais Diferentes – Um deles sendo 0

A grande diferença é que aqui vamos ter uma direção só e as setinhas vão sair perpendicular a essa direção.

Vamos chamar de v 1 o autovetor de 0 e v 2 o outro autovetor. Assim o gráfico vai ser

Se afastando se o outro autovalor for positivo, como o gráfico abaixo

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó instável ou repulsor.

e se aproximando se o outro autovalor for negativo, como o gráfico abaixo

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó estável ou atrator.

Os próximos exemplos vou colar direto qual o positivo e qual o negativo, mas tenta fixar na mente aquele truque, grava como é a figura, vai se aproximando se tivermos algo negativo e vai se afastando se tivermos algo positivo, o que vai variar o sinal de cada caso

Autovalores Reais Diferentes – Com sinais diferentes

Aqui a figura vai ficar

Neste caso o ponto crítico é chamado de ponto de sela.

Diferentes dos casos anteriores esse vai ter um formato só, que é esse aqui de cima.

Autovalores Reais Iguais – 2 Autovetores

Aqui é bem de boa, vamos ter retas saindo da origem, duas delas vão ter as direções dos autovetores. Quando tivermos os autovalores positivos o retrato de fase vai ficar

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó Próprio ou estrela.

Quando os autovalores forem negativos vai ficar

Neste caso o ponto crítico é chamado também de nó próprio ou estrela.

Autovalores Reais Iguais – 1 Autovetor

Aqui é o caso mais complicadinho, vamos precisar olhar com calma a orientação dos dois vetores.

Aqui temos o autovetor v 1 que vamos achar pelo método normal, ou seja, resolvendo A - λ 1 I v 1 = 0 , o outro vetor vamos achar fazendo A - λ 1 I v 2 = v 1

Fique atento em quem é v 1 e v 2 porque essa parada é algo rotacionado de uma forma que depende da orientação de cada um.

As retas paralelas vão ser definidas por v 1 , enquanto a direção da forma vai depender de v 2 .

Vamos ver uns desenhos para entender melhor, por enquanto vamos ignorar o fato do autovalor ter sinal ou não. Já sabemos que a figura fica igual o que muda na verdade é se vai se aproximar ou se afastar da origem.

Reparou que o “desenho” sai para o lado onde os dois estão apontando? Vai ser sempre assim, olha outro desenho

Sacou comé? Só falta completar a direção que as “setinhas” vão ficar, mas agora você já está careca de saber né? Vou repetir porque nunca é ruim relembrar rs, se for positivo vai se afastar da origem, se for negativo vai se aproximar da origem.

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó impróprio.

Autovalores Complexos – Possuindo parte Real diferente de 0

Aqui vamos ter autovalores complexos, mas tem um detalhe a mais: eles precisam ser da forma a + b i com a ≠ 0 ,ou seja, aquele cara não pode ter só componente de i . Aqui o desenho é molezinha, é uma espiral se aproximando da origem se a for negativo, como a figura abaixo

Neste caso o ponto crítico é chamado de espiral estável. Também pode ser chamado de espiral atrator.

E vai ser uma espiral se afastando da origem se a for positivo

Neste caso o ponto crítico é chamado de espiral instável. Também pode ser chamado de espiral repulsor.

Autovalores Complexos – Possuindo parte Real igual a 0

Vamos ver como fica o último retrato de fase. Aqui é de boa também, vamos ter elipses com o mesmo centro, não se preocupe muito com a direção que ele roda, para saber direitinho isso precisaríamos das soluções do sistema.

Aqui vai uma figura para você ver como é

Neste caso o ponto crítico é chamado de centro.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine os pontos críticos e o retrato de fase, indicando qual tipo de ponto é o ponto crítico, no sistema abaixo.

x ' = x 2 - y 2 - 2 y ' = x + 3 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar achando os pontos críticos fazendo x ' = 0 e y ' = 0

x 2 - y 2 - 2 = 0 x + 3 y = 0

Vamos isolar y na segunda equação

x = - 3 y

Substituindo na primeira equação vamos ter

- 3 y 2 - y 2 - 2 = 0

9 y 2 - y 2 - 2 = 0

8 y 2 = 2

y 2 = 2 8

y 2 = 1 4

y = ± 1 2

E vamos ter

x = ∓ 3 2

Os pontos críticos vão ser

3 2 , - 1 2         e         - 3 2 , 1 2

Passo 2

Agora que temos os pontos vamos fazer a análise da matriz jacobiana, mas lembra como ela vai ficar?

Vamos ter

f 1 = x 2 - y 2 - 2

f 2 = x + 3 y

A matriz jacobiana vai ser

J = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y

J = 2 x - 2 y 1 3

Passo 3

Vamos começar analisando o ponto 3 2 , - 1 2 , o jacobiano nesse ponto vai ficar

J = 2 3 2 - 2 - 1 2 1 3 = 3 1 1 3

Vamos achar os autovalores desse cara

3 - λ 1 1 3 - λ = 0

3 - λ 3 - λ - 1 = 0

9 - 6 λ + λ 2 - 1 = 0

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

Resolvendo isso vamos ter

λ 1 = - - 6 + - 6 2 - 4 1 8 2.1 = 6 + 36 - 32 2.1 = 6 + 4 2 = 6 + 2 2 = 8 2 = 4

λ 2 = - - 6 - - 6 2 - 4 1 8 2.1 = 6 - 36 - 32 2.1 = 6 - 4 2 = 6 - 2 2 = 4 2 = 2

Vamos ter dois autovalores reais, ambos sendo positivos então esse ponto crítico é um nó instável.

Passo 4

Vamos agora para o ponto - 3 2 , 1 2 , o jacobiano nesse ponto vai ficar

J = 2 - 3 2 - 2 1 2 1 3 = - 3 - 1 1 3

Vamos achar os autovalores desse cara

- 3 - λ - 1 1 3 - λ = 0

- 3 - λ 3 - λ - - 1 = 0

- 9 + 3 λ - 3 λ + λ 2 + 1 = 0

λ 2 - 8 = 0

λ = ± 8

Vamos ter

λ 1 = 8

λ 2 = - 8

Vamos ter dois autovalores reais, com sinais trocados, então esse ponto crítico vai ser um ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são 3 2 , - 1 2 , que é um nó instável, e - 3 2 , 1 2 que é um ponto de sela.

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ, Cálculo 3, P2 2013.1, Questão 1

Considere o sistema abaixo que representa o comportamento de duas espécies( com densidades populacionais x t e y ( t ) ).

E

d x d t = x 0,5 - 1,5 y

d y d t = y ( - 1,5 + x )

a) Determine as singularidades e classifique-as.

b) Esboce as trajetórias do sistema no primeiro quadrante.

c) Suponha que as populações iniciais em um laboratório sejam x 0 = 10 e y 0 = 1 . Interprete a evolução da população no tempo t .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

  1. Primeiramente, para determinar as singularidades fazemos
  2. d x d t = 0

    d y d t = 0

    Ou seja,

    x 0,5 - 1,5 y = 0

    y - 1,5 + x = 0

    Resolvendo as equações achamos como solução:

    0,0   e   ( 3 2 , 1 3 )

    Que são as singularidades do sistema.

    Passo 2

    Para classifica-las então vamos achar a matriz jacobiana que é dada por

    J ( x , y ) = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y

    Onde f 1 x , y = x 0,5 - 1,5 y e f 2 x , y = y ( - 1,5 + x ) .

    Então a matriz jacobiana aplicada ao nosso problema fica

    J ( x , y ) = 1 2 - 3 2 y - 3 2 x y - 3 2 + x

    Passo 3

    Agora vamos aplicar a matriz nas nossas singularidades, isto é:

    J 0,0 = 1 2 0 0 - 3 2

    E

    J 3 2 , 1 3 = 0 - 9 4 1 3 0

    Passo 4

    Vamos analisar primeira a matriz referente ao ponto ( 0,0 ) .

    Como é uma matriz diagonal seus autovalores são exatamente o elementos da diagonal, ou seja:

    λ 1 = 1 2

    λ 2 = - 3 2

    Portanto, como são dois autovalores reais e diferentes temos que o ponto 0,0 é um ponto de sela.

    Passo 5

    Agora vamos analise a outra matriz referente ao ponto 3 2 , 1 3 .

    Os autovalores são dados por

    - λ - 9 4 1 3 - λ = 0

    ⇒ λ 2 + 3 4 = 0

    ⇒ λ = ± 3 2 i

    Ou seja, temos dois autovalores complexos com parte real nula o que caracteriza um ponto de centro.

    Passo 6

  3. Bom, vimos na questão anterior que que o ponto 0,0 é um ponto de sela e o ponto 3 2 , 1 3 é um ponto de centro.
  4. E as separatrizes do retrato de fase são as retas

    y = 1 3

    x = 3 2

    Portanto, no primeiro quadrante em torno de ( 0,0 ) temos uma sela e em torno de 3 2 , 1 3   temos um centro.

    Passo 7

  5. Agora usamos as condições inicias x 0 = 10 e y 0 = 1 e queremos interpretar a evolução das populações no tempo t .

Como as coordenadas das condições iniciais são positivas, significa que a trajetória associada é fechada.

Mas o que isso significa??

Significa que a trajetória é periódica, isto é, se X t for essa trajetória então existe um T > 0   tal que X t + T = X ( t ) para todo t real.

Isso implica que a evolução das duas espécies é periódica no tempo, sem que nenhuma delas desapareça.

Resposta

  1. 0,0 é um ponto de sela e 3 2 , 1 3 é um ponto de centro.

c) Isso implica que a evolução das duas espécies é periódica no tempo, sem que nenhuma delas desapareça.

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ, Cálculo 3, P3 2013.2, Questão 1

Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies (com densidades populacionais x ( t ) e y ( t ) ) competindo por suprimentos comuns.

d x d t = x 1 - x + 0,5 y

d y d t = y 2,5 - 1,5 y + 0,25 x

  1. Determine as singularidades e classifique-as.
  2. Esboçe as trajetórias do retrato de fase no primeiro quadrante.
  3. Para quais condições iniciais existe uma configuração de equilíbrio na qual nenhuma espécie desaparece, e qual é esta configuração?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Resolvendo a letra a)

Pra encontrar as singularidades, devemos igualar as derivadas d x d t e d y d t a zero! E encontrar valores de x e y que satisfaçam o sistema. Vamos lá:

d x d t = x 1 - x + 0,5 y = 0 →   x = 0   e   x = 1 + 0,5 y

d y d t = y 2,5 - 1,5 y + 0,25 x = 0

Com x = 0 :

y = 0

y = 5 3

Com x = 1 + 0,5 y

y = 0

2,5 - 1,5 y + 0,25 1 + 0,5 y = 0 → y = 2

Então, as singularidades são: 0,0 ,   0 , 5 3 ,   1,0 , 2,2 . E agora devemos classificá-las!!

Passo 2

Pra classificá-las, devemos construir a matriz Jacobiana, J x , y que carrega as derivadas das expressões das populações em relação a x e y . Veja só:

J x , y = d d x d t d x d d x d t d y d d y d t d x d d y d t d y

E pra esse caso, a matriz J x , y será:

J x , y = 1 - 2 x + 0,5 y 0,5 x 0,25 y 2,5 - 3 y + 0,25 x

E utilizamos o critério de traço e determinante da matriz em cada singularidade pra classifica-las!

Pra 0,0 :

J 0,0 = 1 0 0 2,5

Portanto:

D e t J 0,0 = 2,5 > 0

T r J 0,0 = 3,5 > 0

Então, 0,0 é repulsor!

Pra 0 , 5 3 :

J 0 , 5 3 = 1 6 0 5 12 - 2,5

Portanto:

D e t J 0 , 5 3 = - 2,5 - 5 12 < 0

Então, 0 , 5 3 é sela!

Pra 1,0 :

J 1,0 = - 1 0,5 0 2,75

Portanto:

D e t J 1,0 = - 2,75 < 0

Então, 1,0 é sela!

Pra 2,2 :

J 2,2 = - 2 1 0,5 - 3

Portanto:

D e t J 2,2 = 6 - 0,5 > 0

T r J 2,2 = - 6 < 0

Então, 2,2 é atrator!

Passo 3

Resolvendo a letra b)

O retrato de fase será mais ou menos assim:

Passo 4

Resolvendo a letra c)

Como 2,2 é atrator, qualquer condição inicial fora dos eixos irá convergir pra solução de equilíbrio 2,2 . A única solução que não há extinção é a solução com dados iniciais 2,2 ! Condições iniciais sobre os eixos resultam na extinção de pelo menos uma das duas espécies.

Resposta

a)

0,0 → r e p u l s o r

0 , 5 3 → s e l a

1,0 → s e l a

2,2 → a t r a t o r

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