Retrato de Fase e Classificação de Ponto Crítico – Caso Não Linear

Teoria Completa

Quando tivermos um sistema não linear, para analisar cada ponto devemos, primeiro, fazer a matriz jacobiana. Jacobiana?! WTF?! Calma, considerando x ' = f 1 e y ' = f 2 a jacobiana nada mais é do que:

J = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y

Depois substituímos os valores do ponto crítico na matriz, e vai ser essa matriz que vamos analisar. Sacou?

Vamos ver um exemplo.

x ' = x 2 + y 2 - 2 y ' = x + y

Isolando x na equação de baixo vamos ter

y = - x

Substituindo isso na equação de cima, vamos ter

x 2 + - x 2 - 2 = 0

x 2 + x 2 = 2

2 x 2 = 2

x 2 = 1

x = ± 1

Isso nos diz que y = ∓ 1 , e os pontos críticos vão ser

1 , - 1     e     - 1,1

Pronto já encontramos os pontos críticos.

Aqui temos

f 1 = x 2 + y 2 - 2

f 2 = x + y

A matriz jacobiana vai ser

J = 2 x 2 y 1 1

Teríamos que analisar J 1 , - 1 e J - 1,1 que são os pontos críticos, entendeu? Depois é só consultar as relações que nós já vimos na teoria de retrato de fase para um caso linear. Vamos colocar a classificação aqui pra vocês lembrarem.

Classificação dos Pontos Críticos

Autovalores Reais Diferentes – Sinais Iguais e valores diferentes de 0

Vamos começar vendo o caso mais básico. A figura base vai ser

Repara que eu desenhei duas retas verdes ali, elas são as direções dos autovetores, é importante saber essas direções só para se ter uma ideia se o gráfico está mais ou menos inclinado, quando ele pede para esboçar não vamos nos preocupar muito com isso.

Se tivermos o sinal dos autovalores positivos o gráfico vai se afastar da origem, ficando

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó instável ou repulsor.

Se tivermos o sinal dos autovalores negativos o gráfico vai se aproximar da origem, ficando

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó estável ou atrator.

Entendeu agora a ideia de positivo se afastas da origem e negativo se aproximar?

Vamos ver o próximo caso

Autovalores Reais Diferentes – Um deles sendo 0

A grande diferença é que aqui vamos ter uma direção só e as setinhas vão sair perpendicular a essa direção.

Vamos chamar de v 1 o autovetor de 0 e v 2 o outro autovetor. Assim o gráfico vai ser

Se afastando se o outro autovalor for positivo, como o gráfico abaixo

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó instável ou repulsor.

e se aproximando se o outro autovalor for negativo, como o gráfico abaixo

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó estável ou atrator.

Os próximos exemplos vou colar direto qual o positivo e qual o negativo, mas tenta fixar na mente aquele truque, grava como é a figura, vai se aproximando se tivermos algo negativo e vai se afastando se tivermos algo positivo, o que vai variar o sinal de cada caso

Autovalores Reais Diferentes – Com sinais diferentes

Aqui a figura vai ficar

Neste caso o ponto crítico é chamado de ponto de sela.

Diferentes dos casos anteriores esse vai ter um formato só, que é esse aqui de cima.

Autovalores Reais Iguais – 2 Autovetores

Aqui é bem de boa, vamos ter retas saindo da origem, duas delas vão ter as direções dos autovetores. Quando tivermos os autovalores positivos o retrato de fase vai ficar

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó Próprio ou estrela.

Quando os autovalores forem negativos vai ficar

Neste caso o ponto crítico é chamado também de nó próprio ou estrela.

Autovalores Reais Iguais – 1 Autovetor

Aqui é o caso mais complicadinho, vamos precisar olhar com calma a orientação dos dois vetores.

Aqui temos o autovetor v 1 que vamos achar pelo método normal, ou seja, resolvendo A - λ 1 I v 1 = 0 , o outro vetor vamos achar fazendo A - λ 1 I v 2 = v 1

Fique atento em quem é v 1 e v 2 porque essa parada é algo rotacionado de uma forma que depende da orientação de cada um.

As retas paralelas vão ser definidas por v 1 , enquanto a direção da forma vai depender de v 2 .

Vamos ver uns desenhos para entender melhor, por enquanto vamos ignorar o fato do autovalor ter sinal ou não. Já sabemos que a figura fica igual o que muda na verdade é se vai se aproximar ou se afastar da origem.

Reparou que o “desenho” sai para o lado onde os dois estão apontando? Vai ser sempre assim, olha outro desenho

Sacou comé? Só falta completar a direção que as “setinhas” vão ficar, mas agora você já está careca de saber né? Vou repetir porque nunca é ruim relembrar rs, se for positivo vai se afastar da origem, se for negativo vai se aproximar da origem.

Neste caso o ponto crítico é chamado de nó impróprio.

Autovalores Complexos – Possuindo parte Real diferente de 0

Aqui vamos ter autovalores complexos, mas tem um detalhe a mais: eles precisam ser da forma a + b i com a ≠ 0 ,ou seja, aquele cara não pode ter só componente de i . Aqui o desenho é molezinha, é uma espiral se aproximando da origem se a for negativo, como a figura abaixo

Neste caso o ponto crítico é chamado de espiral estável. Também pode ser chamado de espiral atrator.

E vai ser uma espiral se afastando da origem se a for positivo

Neste caso o ponto crítico é chamado de espiral instável. Também pode ser chamado de espiral repulsor.

Autovalores Complexos – Possuindo parte Real igual a 0

Vamos ver como fica o último retrato de fase. Aqui é de boa também, vamos ter elipses com o mesmo centro, não se preocupe muito com a direção que ele roda, para saber direitinho isso precisaríamos das soluções do sistema.

Aqui vai uma figura para você ver como é

Neste caso o ponto crítico é chamado de centro.

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine os pontos críticos e o retrato de fase, indicando qual tipo de ponto é o ponto crítico, no sistema abaixo.

x ' = x 2 - y 2 - 2 y ' = x + 3 y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar achando os pontos críticos fazendo x ' = 0 e y ' = 0

x 2 - y 2 - 2 = 0 x + 3 y = 0

Vamos isolar y na segunda equação

x = - 3 y

Substituindo na primeira equação vamos ter

- 3 y 2 - y 2 - 2 = 0

9 y 2 - y 2 - 2 = 0

8 y 2 = 2

y 2 = 2 8

y 2 = 1 4

y = ± 1 2

E vamos ter

x = ∓ 3 2

Os pontos críticos vão ser

3 2 , - 1 2         e         - 3 2 , 1 2

Passo 2

Agora que temos os pontos vamos fazer a análise da matriz jacobiana, mas lembra como ela vai ficar?

Vamos ter

f 1 = x 2 - y 2 - 2

f 2 = x + 3 y

A matriz jacobiana vai ser

J = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y

J = 2 x - 2 y 1 3

Passo 3

Vamos começar analisando o ponto 3 2 , - 1 2 , o jacobiano nesse ponto vai ficar

J = 2 3 2 - 2 - 1 2 1 3 = 3 1 1 3

Vamos achar os autovalores desse cara

3 - λ 1 1 3 - λ = 0

3 - λ 3 - λ - 1 = 0

9 - 6 λ + λ 2 - 1 = 0

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

Resolvendo isso vamos ter

λ 1 = - - 6 + - 6 2 - 4 1 8 2.1 = 6 + 36 - 32 2.1 = 6 + 4 2 = 6 + 2 2 = 8 2 = 4

λ 2 = - - 6 - - 6 2 - 4 1 8 2.1 = 6 - 36 - 32 2.1 = 6 - 4 2 = 6 - 2 2 = 4 2 = 2

Vamos ter dois autovalores reais, ambos sendo positivos então esse ponto crítico é um nó instável.

Passo 4

Vamos agora para o ponto - 3 2 , 1 2 , o jacobiano nesse ponto vai ficar

J = 2 - 3 2 - 2 1 2 1 3 = - 3 - 1 1 3