Método de Eliminação – Caso Não Homogêneo

Teoria Completa

Nos tópicos anteriores nós vimos os métodos para resolver sistemas de EDOs homogêneos. Mas e se o sistema não for homogêneo? Olha esse exemplo:

  x ' = x + 4 y + t y ' = x + y + 2 t

Aqui, temos uma função de t , a forma geral do sistema é

X ' = A X + g t

Mas agora a função g ( t ) vai ser

g t = t 2 t

E não nula como quando era um sistema homogêneo. Beleza, mas como vamos resolver isso?

É igual fizemos para o caso homogêneo.

Nosso objetivo é transformar o sistema em apenas uma EDO de 2 ordem, ou em x ou em y, como for mais simples. Se escolhermos o y , como vai ficar?

Vamos isolar z em uma das duas equações, por exemplo na segunda.

x = y ' - y - 2 t

Agora vamos derivar implicitamente essa equação em relação a t , encontrando:

x ' = y ' ' - y ' - 2

Agora substituímos na segunda a derivada e a equação com y isolado.

x ' = x + 4 y + t

y ' ' - y ' - 2 = y ' - y - 2 t + 4 y + t

y ' ' - 2 y ' - 3 y = - t + 2

Pronto! Chegamos no objetivo de encontrar uma EDO de 2 ordem.

Já sabemos resolver esse tipo de EDO, mas vamos dar uma lembrada do passo a passo para essa EDO.

  1. Resolva a equação homogênea (fazendo o f t = 0 ).
  2. Identifique quem é o f ( t ) e compare com a tabela para determinar o seu chute.
  3. f ( t )

    Chute

    e d t

    A e d t

    sen ⁡ d t ou cos ⁡ d t

    A sen ⁡ d t + B cos ⁡ d t

    a t d + b t d - 1 + … + c

    A t d + B t d - 1 + … + C

  4. Compare a solução homogênea e a particular. Se a solução particular estiver dentro da solução homogênea, multiplicá-la por x . Repetir esse passo até que a solução particular não esteja mais na solução homogênea.
  5. Aplique o chute e suas derivadas na EDO para descobrir as constantes presentes nele, para assim, descobrir y p ( x ) .
  6. Fazer:

y x = y h x + y p x

A solução daquela EDO do nosso exemplo vai ser:

y = C 1 e - t + C 2 e 3 t - 8 9 + t 3

Agora para achar a função x basta fazer

x = y ' - y - 2 t

x = C 1 e - t + C 2 e 3 t - 8 9 + t 3 ' - C 1 e - t + C 2 e 3 t - 8 9 + t 3 - 2 t

x = - C 1 e - t + 3 C 2 e 3 t + 1 3 - C 1 e - t - C 2 e 3 t + 8 9 - t 3 - 2 t

x = - 2 C 1 e - t + 2 C 2 e 3 t + 11 9 - 7 t 3

Deu para relembrar esse método? Qualquer coisa é só voltar nos tópicos de resolução de EDOs de 2ª ordem.

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine a solução do sistema abaixo

x ' = 2 x + y + e 2 t y ' = x + 2 y + 3 e 2 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Esse nosso sistema é não homogêneo, a primeira coisa que temos que fazer é determinar g t

Repara que temos

g t = e 2 t 3 e 2 t

Beleza a próxima coisa que temos que fazer é resolver o sistema homogêneo, que vai ser

x ' = 2 x + y y ' = x + 2 y

Passo 2

Vamos resolver esse sistema pelo método da eliminação.

A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar y na primeira equação

y = x ' - 2 x

Agora vamos derivar implicitamente

y ' = x ' ' - 2 x '

Passo 3

O próximo passo é substituir y ' e y na segunda equação

x ' ' - 2 x ' = x + 2 x ' - 2 x

x ' ' - 2 x ' = x + 2 x ' - 4 x

x ' ' - 4 x ' + 3 x = 0

Passo 4

Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar

r 2 - 4 r + 3 = 0

r 1 = 1

r 2 = 3

Esse é o caso onde Δ > 0 então a solução vai ser

x h t = C 1 e t + C 2 e 3 t

Passo 5

Agora temos que encontrar y

y = x ' - 2 x

y t = C 1 e t + C 2 e 3 t ' - 2 C 1 e t + C 2 e 3 t

y t = C 1 e t + 3 C 2 e 3 t - 2 C 1 e t - 2 C 2 e 3 t

y h t = - C 1 e t + C 2 e 3 t

Passo 6

Agora temos que achar a solução particular, lembra que g t vai ser

g t = e 2 t 3 e 2 t

Vamos arrumar g t

g t = 1 3 e 2 t

Aqui temos só uma exponencial, então a solução particular vai ficar

X p = x p y p = a e 2 t

Vamos chamar esse vetor a da seguinte forma

a = A B

Assim fica mais fácil fazer as contas ali na frente.

X p = x p y p = A B e 2 t

Repara que nenhuma dessas paradas está na solução da parte homogênea.

Agora temos que cálculo a derivada dessa parada

Passo 7

A derivada vai ficar

X p ' = x p ' y p ' = 2 A 2 B e 2 t

Passo 8

Agora vamos substituir X p ' e X p no sistema

Vamos primeiro listar as funções aqui para ajudar

x p = A e 2 t

y p = B e 2 t

x p ' = 2 A e 2 t

y p ' = 2 B e 2 t

Substituindo no sistema vamos ter

2 A e 2 t = 2 A e 2 t + B e 2 t + e 2 t 2 B e 2 t = A e 2 t + 2 B e 2 t + 3 e 2 t

Vamos arrumar essas contas

2 A e 2 t = 2 A e 2 t + B e 2 t + e 2 t 2 B e 2 t = A e 2 t + 2 B e 2 t + 3 e 2 t

2 A e 2 t = 2 A + B + 1 e 2 t 2 B e 2 t = A + 2 B + 3 e 2 t

Assim vamos ter a seguinte relação

2 A = 2 A + B + 1

2 B = A + 2 B + 3

Isso nos diz que

B = - 1

A = - 3

Então a solução particular vai ficar

x p = - 3 e 2 t

y p = - e 2 t

Passo 9

A solução desse sistema vai ficar

y = y h + y p

x = x h + x p

Então

y t = - C 1 e t + C 2 e 3 t - e 2 t

x t = C 1 e t + C 2 e 3 t - 3 e 2 t

Resposta

x t = C 1 e t + C 2 e 3 t - 3 e 2 t

y t = - C 1 e t + C 2 e 3 t - e 2 t

Exercício Resolvido #2

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 220, exercício 9 – Modificado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

x ' = x - 5 y + cos ⁡ t y ' = x - 3 y ,   x 0 = 1 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Esse nosso sistema é não homogêneo, a primeira coisa que temos que fazer é determinar g t

Repara que temos

g t = cos ⁡ t 0

Beleza a próxima coisa que temos que fazer é resolver o sistema homogêneo, que vai ser

x ' = x - 5 y y ' = x - 3 y

Passo 2

Vamos usar o método da eliminação aqui.

A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar x na segunda equação

x = y ' + 3 y

Agora vamos derivar implicitamente

x ' = y ' ' + 3 y '

Passo 3

O próximo passo é substituir x ' e x na primeira equação

y ' ' + 3 y ' = y ' + 3 y - 5 y