Cálculo Funcional – Caso Homogêneo

Teoria Completa

Aqui vamos ver como resolver sistemas de EDOs pelo método do cálculo funcional. A primeira coisa a se fazer, é colocar o sistema na forma matricial, que nós já vimos.

x ' = x + 5 y y ' = 5 x + y

Perceba que de um lado temos só derivada e do outro só função linear.

Começamos fazendo

X = x t y t

O nosso vetor das derivadas vai ser

X ' = x ' t y ' t

Para escrever na forma matricial o sistema deve ficar assim

X ' = A X

Essa matriz A é dos coeficientes do sistema, que no caso vai ficar

A = 1 5 5 1

E o sistema vai ser

x ' t y ' t = 1 5 5 1 x t y t

Beleza?

Agora é que são elas!! Tendo essa matriz A podemos resolver o sistema.

No fundo tudo se resume a achar dois valores, α e β , porque isso tudo? Porque a solução geral vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Como fazemos isso?

Achando α e β

Vamos usar um pouco de álgebra linear aqui.

Primeiro, vamos achar os autovalores de A e chamar de λ 1 , λ 2 . Depois vamos resolver um sistema e vamos ter nossa solução.

Pra quem não lembra de álgebra linear, os autovalores são os λ que são solução da seguinte equação.

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

1 - λ 5 5 1 - λ = 0

1 - λ 2 - 25 = 0

1 - 2 λ + λ 2 - 25 = 0

λ 2 - 2 λ - 24 = 0

Daí temos que:

λ 1 = 6   e   λ 2 = - 4

Tendo λ 1 e λ 2 , temos um tipo de sistema para cada caso de autovalores que vamos achar

Autovalores Reais diferentes λ 1 ≠ λ 2

O nosso sistema de α e β vai ser

λ 1 α + β = e λ 1 t   λ 2 α + β = e λ 2 t

Autovalores Reais 2 iguais λ 1 = λ 2 = λ

O nosso sistema de α e β vai ser

λ α + β = e λ t   α = t e λ t

Autovalores Complexos

Os autovalores complexo tem essa forma

λ 1 = a + b i , λ 2 = a - b i

O nosso sistema de α e β vai ser

λ 1 α + β = e a t cos ⁡ b t + i sen ⁡ b t   λ 2 α + β = e a t cos ⁡ b t - i sen ⁡ b t

No nosso exemplo, temos autovalores reais e diferentes, o nosso sistema para o cálculo funcional vai ser,

6 α + β = e 6 t   - 4 α + β = e - 4 t

Subtraindo as duas equações vamos ter

6 α + 4 α = e 6 t - e - 4 t

10 α = e 6 t - e - 4 t

α = e 6 t - e - 4 t 10

Vamos agora achar β , pela segunda equação

β = e - 4 t + 4 α

β = e - 4 t + 4 ⋅ e 6 t - e - 4 t 10

β = 4 e 6 t + 6 e - t 10

A nossa solução vai ficar

X = e 6 t - e - 4 t 10 A + 4 e 6 t + 6 e - t 10 I ∙ C 1 C 2

Fazendo bastantes contas, vamos achar

X = C 1 + 2 C 2 e 6 t + C 1 - 2 C 2 e - 4 t 5 C 1 + 2 C 2 e 6 t + - C 1 + 2 C 2 e - 4 t 10

Solução geral

Então, só para deixarmos bem organizado, a nossa solução geral vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Onde I é a identidade e A é aquela matriz que já vimos lá em cima.

Então tudo se resume a achar essas duas constantes, α e β

Partiu exercícios!!!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Encontre a solução do sistema de EDO dado.

  X ' = 3 2 4 1 X

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo cálculo funcional.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 3 2 4 1

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

3 - λ 2 4 1 - λ = 0

3 - λ 1 - λ - 2 . 4 = 0

λ 2 - 4 λ + 3 - 8 = 0

λ 2 - 4 λ - 5 = 0

λ 1 = - - 4 + - 4 2 - 4 - 5 1 2.1 = 4 + 16 + 20 2 = 4 + 36 2 = 4 + 6 2 = 10 2 = 5

λ 2 = - - 4 - - 4 2 - 4 - 5 1 2.1 = 4 - 16 + 20 2 = 4 - 36 2 = 4 - 6 2 = - 2 2 = - 1

Esse é o caso de autovalores diferentes, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores diferentes o sistema para achar α e β vai ser

λ 1 α + β = e λ 1 t   λ 2 α + β = e λ 2 t

Com os nossos valores vai ficar

5 α + β = e 5 t   - α + β = e - t

Subtraindo as duas equações vamos ter

5 α + α = e 5 t - e - t

6 α = e 5 t - e - t

α = e 5 t - e - t 6

O valor de β vai ser

β = α + e - t

β = e 5 t - e - t 6 + e - t

β = e 5 t + 5 e - t 6

Passo 4

A nossa solução vai ser

X = α A + β I ∙ C 1 C 2

Substituindo os valores que temos

X = e 5 t - e - t 6 3 2 4 1 + e 5 t + 5 e - t 6 1 0 0 1 ∙ C 1 C 2

X = 3 e 5 t - 3 e - t 6 2 e 5 t - 2 e - t 6 2 e 5 t - 2 e - t 3 e 5 t - e - t 6 + e 5 t + 5 e - t 6 0 0 e 5 t + 5 e - t 6 ∙ C 1 C 2

X = 4 e 5 t + 2 e - t 6 2 e 5 t - 2 e - t 6 2 e 5 t - 2 e - t 3 2 e 5 t + 4 e - t 6 ∙ C 1 C 2

X = C 1 4 e 5 t + 2 e - t 6 + C 2 2 e 5 t - 2 e - t 6 C 1 2 e 5 t - 2 e - t 3 + C 2 2 e 5 t + 4 e - t 6

X = 4 C 1 + 2 C 2 e 5 t + 2 C 1 - 2 C 2 e - t 6 4 C 1 + 2 C 2 e 5 t + - 4 C 1 + 4 C 2 e - t 6

Resposta

X = 4 C 1 + 2 C 2 e 5 t + 2 C 1 - 2 C 2 e - t 6 4 C 1 + 2 C 2 e 5 t + - 4 C 1 + 4 C 2 e - t 6

Exercício Resolvido #2

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 229, exercício 7 – Modificado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

  X ' = 1 - 4 4 - 7 X

Com

X 0 = 3 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo cálculo funcional.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 1 - 4 4 - 7

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

1 - λ - 4 4 - 7 - λ = 0

1 - λ - 7 - λ - - 4 . 4 = 0

λ 2 + 6 λ - 7 + 16 = 0

λ 2 + 6 λ + 9 = 0

λ 1 = λ 2 = - 3

Esse é o caso de autovalores iguais, vamos agora fazer o cálculo funcional

Passo 3

Como temos autovalores iguais o sistema para achar α e β vai ser

λ α + β = e λ t   α = t e λ t

Com os nossos valores vai ficar

- 3 α + β = e - 3 t   α = t e - 3 t

Já temos de cara o valor de α