Transformada da Inversa de Funções Exponenciais

Teoria Completa

Transformada com exponencial

Vimos a função degrau, centrada num ponto c qualquer, é:

u c t = u ( t - c ) = 0 ,     t < c 1 ,     t ≥ c  

E vimos que a transformada de uma função deslocada para c e multiplicada por um degrau também em c é:

L f t - c u t - c = e - c s L { f ( t ) }  

Se isso ficou meio confuso, volta lá no tipo de transformada de função com degrau que a gente fala disso com mais detalhes.

Transformada inversa e exponenciais

Sabendo disso, vamos tentar calcular a transformada inversa de uma função que tem uma exponencial como:

F s = e - 5 s s 2

Pô, se a gente isolar essa exponencial, vai ficar:

F s = e - 5 s ⋅ 1 s 2

A transformada inversa de 1 / s 2   é t . Agora precisamos analisar o efeito da presença de e - 5 s nisso.

A presença da exponencial indica que a função original está deslocada. Então:

t → ( t - c )

E multiplicada por um degrau:

t - c → t - c u t - c

Qual o valor deste deslocamento? Igual a constante da exponencial. A constante da exponencial é 5 , então:

t - c u t - c → ( t - 5 ) u ( t - 5 )

Portanto,

L - 1 F s = L - 1 e - 5 s ⋅ 1 s 2 = ( t - 5 ) u ( t - 5 )

Está legal, então se a transformada de Laplace é:

L f t - c u t - c = e - c s L { f ( t ) }

A transformada inversa será:

L - 1 { e - c s L { f ( t ) } } = f t - c u t - c

Ou seja, quando quisermos calcular a transformada inversa de uma transformada com exponencial, já dá para ficar esperto porque terá um degrau na resposta.

Uma coisa que você precisa ficar bem atento é que:

L - 1 e - c s L f t ≠ f t u t - c

Por exemplo:

L - 1 e - 5 s ⋅ 2 s 2 + 2 2 ≠ s e n ( 2 t )   ⋅ u ( t - 5 )

Apesar da transformada inversa de 2 / ( s 2 + 2 2 ) ser de fato s e n ( 2 t )   , não basta pegar somente a transformada inversa da parte sem a exponencial e colocar um degrau multiplicando ela. Você precisa deslocá-la também! Então:

L - 1 e - 5 s ⋅ 2 s 2 + 2 2 = s e n [ 2 t - 5 ]   ⋅ u ( t - 5 )

É bem fácil confundir a exponencial e o degrau no início, mas fazendo exercício você pega o jeito. Lembre-se, sempre partindo da transformada:

  • Exponencial na transformada degrau na função e função deslocada para o ponto central do degrau. O sinal da constante da exponencial e do deslocamento não troca.
  • Deslocamento na transformada Exponencial na função. O sinal do deslocamento e da constante da exponencial é trocado.

Com nosso amigo seno deslocado. Exercícios uhuuul!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 382-34.

Calcule:

L - 1 e - π s 2 s s 2 + 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos uma exponencial na transformada. Ela indica que a função que a gente quer determinar está deslocada e multiplicada por um degrau:

L - 1 e - c s F ( s ) = f ( t - c ) u ( t - c )

Comparando:

F s = s s 2 + 4

E c = π / 2 . Teremos o formato:

L - 1 e - π / 2 s F ( s ) = f ( t - π / 2 ) u ( t - π / 2 )

Passo 2

Sendo f ( t ) a inversa de F ( s ) e comparando com a transformada do cosseno:

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Vemos que:

f t = L - 1 F s = L - 1 s s 2 + 4 = cos ⁡ ( 2 t )

Então:

f t - π 2 = cos ⁡ 2 t - π 2 = cos ⁡ 2 t - π

Lembrando da formula de adição de arcos

cos ⁡ 2 t - π = cos ⁡ 2 t cos ⁡ π + s e n 2 t s e n π = - cos ⁡ 2 t

f t - π 2 = - cos ⁡ 2 t

Passo 3

Então, substituindo:

L - 1 s e - π s 2 s 2 + 4 = - cos ⁡ 2 t u t - π 2

Resposta

L - 1 s e - π s 2 s 2 + 4 = - cos ⁡ 2 t u t - π 2

Exercício Resolvido #2

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 382-32.

Calcule:

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Tá bem, a primeira coisa a fazer aqui é abrir aquele numerador:

1 + e - 2 s 2 = 1 + 2 e - 2 s + e - 4 s

Passo 2

Então vai ficar:

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2 = L - 1 1 + 2 e - 2 s + e - 4 s s + 2

Como a transformada inversa é linear:

L - 1 1 + 2 e - 2 s + e - 4 s s + 2 = L - 1 1 s + 2 + 2 L - 1 e - 2 s s + 2 + L - 1 e - 4 s s + 2

Passo 3

Para a primeira, temos a transformada inversa de 1 deslocada. O que desloca a transformada? A exponencial na função:

L f t e a t = L { f t } ( s - a )

Comparando essa fórmula com o nosso caso, temos a = - 2 e f t = 1 ...

L 1 ⋅ e 2 t s = L 1 s - 2   →

Como L 1 = 1 s , substituindo s - 2 no lugar de s ...

L 1 ⋅ e 2 t = 1 s + 2   →

Logo...

L - 1 1 s + 2 = e - 2 t

Passo 4

Agora, além do deslocamento, temos uma exponencial. A exponencial na presença de um degrau na função:

L f ( t - c ) u ( t - c ) = e - c t L { f ( t ) }

Repare que não é só o degrau que surge, ele também desloca a função para seu ponto central. Então vai ficar:

L - 1 e - 2 s s + 2 = L - 1 1 s + 2 ( t - 2 ) u ( t - 2 )

Vimos que:

L - 1 1 s + 2 t = e - 2 t

Logo:

L - 1 1 s + 2 t - 2 = e - 2 t - 2

Portanto:

L - 1 e - 2 s s + 2 = e - 2 t - 2 u ( t - 2 )

Passo 5

A mesmíssima coisa acontece para a outra transformada:

L - 1 e - 4 s s + 2 = e - 2 t - 4 u ( t - 4 )

Passo 6

Juntando tudo:

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2 = e - 2 t + 2 e - 2 t - 2 u t - 2 + e - 2 t - 4 u ( t - 4 )

Resposta

L - 1 1 + e - 2 s 2 s + 2 = e - 2 t + 2 e - 2 t - 2 u t - 2 + e - 2 t - 4 u ( t - 4 )

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