Transformadas Inversas

Teoria Completa

A transformada inversa

Agora estamos prontos para uma analogia: a transformada de Laplace é como passar um armário pela porta. Não dá para passar o armário inteiro, então a gente o desmonta para passar peça por peça.

Ou seja, muitas vezes, temos que fazer uma operação complicada (passar pela porta) em cima de uma função qualquer (armário). Aplicamos transformada de Laplace nela (desmontamos o armário) e a operação fica mais fácil de resolver para a função transformada (passar peça por peça).

Está bem, então a gente desmonta o armário e passa peça por peça pela porta. Ok, mas aí você deixa as peças jogadas num canto? Não! Você remonta o armário.

Assim é com a função também. Aplicamos a transformada de Laplace para fazer uma operação, mas depois retornamos a variável da função anterior, essa é a transformada inversa de Laplace.

Transformadas inversas tradicionais

Para calculá-las, não tem mistério nenhum, você vai precisar olhar a transformada e pensar: Qual função tem essa transformada? Como abaixo:

F s = 1 s 2 + 1

Qual a transformada de Laplace que leva à F ( s ) ? F ( s ) é a transformada de Laplace de sen ⁡ ( t ) , então a transformada inversa L - 1 de F ( s ) é:

L - 1 F s = sen ⁡ ( t )  

Achar a transformada inversa é relembrar da transformada em si. Então vamos relembrar:

L e a t = 1 s - a ⟹ L - 1 1 s - a = e a t

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2 ⟹ L - 1 a s 2 + a 2 = sen ⁡ ( a t )

L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2 ⟹ L - 1 s s 2 + a 2 = cos ⁡ a t

L t n = n ! s n + 1 ⟹ L - 1 n ! s n + 1 = t n

Legal, então quando aparecer algo assim você já sabe o que fazer.

Cuidado com a constante!

Agora vamos pensar na transformada inversa de:

F s = 1 s 2 + 2 2

Parece a transformada de sen ⁡ ( 2 t ) , certo? Não!

L - 1 1 s 2 + 2 2 ≠ sen ⁡ ( 2 t )

Porque:

L sen ⁡ ( 2 t ) = 2 s 2 + 2 2

Já que a transformada geral é:

L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

O a aparece no numerador também!

Beleza, mas o que eu faço quando preciso achar a transformada inversa e as constantes não batem? É só dividir e multiplicar pela constante que você precisa para ficar igual a transformada que você conhece. A gente quer:

L - 1 1 s 2 + 2 2 = ? ?

Você sabe:

L - 1 2 s 2 + 2 2 = sen ⁡ ( 2 t )

Dividir e multiplicar a transformada inversa que a gente quer por 2 dá no mesmo que multiplicá-la por 1 :

L - 1 1 s 2 + 2 2 = L - 1 2 2 ⋅ 1 s 2 + 2 2 = L - 1 1 2 ⋅ 2 s 2 + 2 2

A transformada inversa também é linear, então:

L - 1 1 2 ⋅ 2 s 2 + 2 2 = 1 2 ⋅ L - 1 2 s 2 + 2 2 = 1 2 sen ⁡ ( 2 t )

Fique sempre atento a essas diferenças nas constantes. Quando isso acontecer é só multiplicar e dividir pela constante que você quer, como a gente fez aí em cima.

E quando está tudo junto?

Está legal, a gente viu como achar a inversa de transformadas bonitinhas, mas e quando aparece isso: (!)

L y = s s 2 + 2 s - 3

Como achar isso? Vamos decompor em frações parciais.

Por que? O que nós queremos é encontrar y , não é? Veja que, na expressão acima, temos sua transformada. Vamos, então, tentar reconhecer a função a partir dela, para isso precisamos desmembrar a expressão.

Se você não se lembra de decomposição em frações parciais, é assim que se faz:

  1. Fatorar o denominador
  2. As raízes de ( s 2 + 2 s - 3 ) são - 3 e 1 , portanto, podemos escrever:

    s 2 + 2 s - 3 = s + 3 ( s - 1 )

    Assim:

    L y = s s 2 + 2 s - 3 = s s + 3 ( s - 1 )

  3. Igualar a expressão de L y à soma de frações com denominadores iguais aos termos que encontramos. Como assim? Veja:
  4. L y = s s + 3 ( s - 1 ) = a s + 3 + b s - 1

    O numerador dessas frações que criamos sempre deve ter grau menor que o fator do denominador em uma unidade. Por exemplo: ( s - 1 ) , temos s 1 , então no numerador devemos ter s 0 = 1 , ou seja, um polinômio de grau zero (apenas uma constante).

  5. Fazer o MMC dessas frações. Juntá-las ao mesmo denominador.
  6. Não acabamos de separar?! Calma, você vai entender por que estamos fazendo isso!

    L y = s s 2 + 2 s - 3 = a s - 1 + b ( s + 3 ) s + 3 ( s - 1 )

    L y = s s 2 + 2 s - 3 = a s - a + b s + 3 b s 2 + 2 s - 3

  7. Agora, partindo do princípio que essas duas frações são iguais, vamos encontrar os coeficientes a e b .
  8. Vamos juntar os termos pelos graus de s :

    L y = s s 2 + 2 s - 3 = s a + b + ( - a + 3 b ) s 2 + 2 s - 3

    Para dois polinômios de mesmo grau serem iguais, os coeficientes devem ser iguais. Como o denominador já é o mesmo, temos:

    s = s a + b + ( - a + 3 b )

    Portanto:

    a + b = 1       ⟹         a = 1 - b - a + 3 b = 0                                                        

    - 1 - b + 3 b = 0         ⟹         b = 1 / 4

    a = 1 - 1 / 4         ⟹         a = 3 / 4

  9. Agora que já temos os coeficientes a e b , basta reescrever as frações que criamos.

L y = s s 2 + 2 s - 3 = 3 / 4 s + 3 + 1 / 4 s - 1

Agora que já temos as frações parciais, precisamos reconhecer a função y pela sua transformada. Não se esqueça de que a transformada é linear!

Lembra que L e a t = 1 / ( s - a ) ? Essa transformada é muito parecida com cada uma das frações parciais, não é? Vamos, então, reescrever essas frações para reconhecer a função.

L y = 3 4 ⋅ 1 s + 3 + 1 4 ⋅ 1 s - 1

L y = 3 4 L e - 3 t + 1 4 L e t

L y = L 3 4 e - 3 t + 1 4 e t

Portanto, y é exatamente aquela expressão dentro dos colchetes da transformada:

y ( t ) = 3 4 e - 3 t + 1 4 e t

Veja que y é uma função de t , não de s ! Não se confunda com isso, ok?

Além de transformadas como a que vimos acima, pode aparecer uma com um polinômio de segundo grau que não tem raízes reais, como:

F s = 1 s ( s 2 + 1 )

Quando isso acontece, separamos assim:

1 s ( s 2 + 1 ) = a s + b s + c s 2 + 1

No numerador da fração com o polinômio de segundo grau, deverá aparecer duas constantes, uma que multiplica um s (neste caso, b )e outra solta (neste caso, c ). Ou seja, vai aparecer um polinômio de primeiro grau no numerador.

Além disso, pode aparecer termos repetidos também, como o trô-lô-lô abaixo:

1 s + 1 3 s = a s + 1 3 + b s + 1 2   + c s + 1 + d s

Quando aparece um termo repetido como s + 1 3 , que é ( s + 1 ) repetido três vezes, você vai ter que escrever uma fração para cada grau.

Se apareceu um polinômio bonito de grau 1 , um polinômio de grau 2 irredutível ou um termo repetido, o procedimento para achar as constantes da decomposição em frações parciais é o mesmo que vimos no primeiro caso.

Legal? Vamos aos exercícios resolvidos então!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp. 370-31.

Calcule:

L - 1 s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, essa transformada não está parecida com nada que a gente conhece, então vamos tentar separar em frações parciais para dar uma melhorada nisso aí. s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = a s + b s 2 + 4 + c s + 2

Temos um polinômio de primeiro grau na primeira fração à direita da igualdade porque o denominador é polinômio de segundo grau.

Passo 2

Juntando tudo para comparar os polinômios:

a s + b s 2 + 4 + c s + 2 = a s + b s + 2 + c ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = a s 2 + b s + 2 a s + 2 b + c s 2 + 4 c ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )

Juntando os termos de mesmo grau:

a + c s 2 + 2 a + b s + ( 4 c + 2 b ) ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 )

Comparando os coeficientes, temos o seguinte sistema:

a + c = 0 2 a + b = 1 4 c + 2 b = 0

Pela primeira equação:

a = - c

Substituindo na segunda:

- 2 c + b = 1 ⟹ b = 1 + 2 c

Substituindo na terceira:

4 c + 2 + 4 c = 0 ⟹ 8 c = - 2 ⟹ c = - 1 4

Assim:

a = 1 4

E:

b = 1 - 1 2 = 1 2

Portanto:

s ( s 2 + 4 ) ( s + 2 ) = 1 4 ⋅ s + 2 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ 1 s + 2

Passo 3

Agora ficou bem mais fácil achar a inversa. Substituindo o valor:

L - 1 1 4 ⋅ s + 2 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ 1 s + 2

Como a transformada inversa também é linear:

L - 1 1 4 ⋅ s + 2 s 2 + 4 - 1 4 ⋅ 1 s + 2 = 1 4 L - 1 s + 2 s 2 + 4 - 1 4 L - 1 1 s + 2

A primeira transformada não é muito clara de ver de cara. Precisamos separar para chegar em algo que identifique:

1 4 L - 1 s + 2 s 2 + 4 = 1 4 L - 1 s s 2 + 4 + 1 4 L - 1 2 s 2 + 4

Agora sim. Como:

L cos ⁡ a t = s s 2 + 4 L sen ⁡ a t = a s 2 + a 2

Então:

1 4 L - 1 s s 2 + 4 + 1 4 L - 1 2 s 2 + 4 = 1 4 ⋅ cos ⁡ 2 t + 1 4 sen ⁡ ( 2 t )