Exercícios Resolvidos de Cargas Axiais Distribuídas e Peso Próprio

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Enunciado

Abaixo é dado uma estrutura com o formato mostrado. Sabendo que a densidade dessa estrutura é de ρ = 12   K g / m 3 determine o peso próprio dessa estrutura, assim como o seu peso distribuído no comprimento.

Passo 1

Vamos primeiro descobrir como determinamos o peso próprio dessa estrutura. Para fazermos isso precisamos nos lembrar do passo a passo que vimos na teoria.

Sabemos que o Cálculo do peso é dado pela equação.

W = m . g

Sabemos que m é a massa e g a gravidade. A gravidade já conhecemos o valor, mas e a massa?

Nesse caso temos que lembrar o seguinte

m = ρ V

Em que ρ   é a nossa densidade e V o volume da nossa peça. O ρ é a nossa densidade, e o volume? Como iremos calcular?

Como a nossa peça é um cone, teremos que a fórmula será

V = 1 3   .   π   .   r 2 .   H

Substituindo na nossa equação teremos que

W = m . g

W = ρ V . g

W = ρ . 1 3   .   π   .   r 2 .   H . g

Para determinarmos o peso próprio distribuído basta dividir o nosso peso próprio pelo comprimento da nossa peça, ou ainda pela altura da nossa peça, fazendo isso teremos que

w = ρ . 1 3   .   π   .   r 2 .   H . g H = ρ . 1 3   .   π   .   r 2 . g

Vale ressaltar o seguinte, por se tratar de um cone, o raio da peça varia com a altura, logo, o nosso peso próprio distribuído ficará em função do nosso raio, ou ainda da nossa altura, vamos ver as duas respostas, não tendo um valor fixo como o peso próprio que já calculamos.

Passo 2

Agora que já sabemos como fazer o cálculo, vamos determinar o valor de cada um dos nossos termos, dessa forma teremos que

ρ = 12 K g m 3

r = D 2 = 1,53 2 = 0,765   m

H = 2,57   m

g = 9,81   m / s 2

Agora que já temos todos os valores, vamos determinar o peso próprio, substituindo na nossa equação teremos que

W = ρ . 1 3   .   π   .   r 2 .   H . g

W = 12 . 1 3   .   π   .   ( 0,765 ) 2 .   2,57.9,81 = 185,41  

E qual a unidade?

Vamos substituir cada unidade na nossa fórmula

W = K g m 3   .   m 2 .   m . m s 2 = K g . m s 2 = N

Logo nosso peso próprio será

W = 185,41   N  

Passo 3

Agora para determinar o peso próprio distribuído precisamos lembrar da nossa fórmula

w = ρ . 1 3   .   π   .   r 2 . g

Já temos quase todos esses valores, só temos que por o raio em função da altura da nossa peça, para isso vamos ver o seguinte esquema

Nosso objetivo é determinar o valor de r’, para isso basta fazer uma regra de 3

H - h r ' = H r

Isolando r’ teremos que

r ' = H - h r H

Para testar vemos o seguinte, como a nossa origem está embaixo temos que ver que

h = 0

então

r ' = r

E se

h = H

então

r ' = 0

E vemos que se fizermos essa comparação com o nosso esquema vai estar tudo correto. Substituindo agora essa equação na nossa fórmula principal teremos que

w = 12 . 1 3   .   π   . H - h r H 2 . 9,81

Como queríamos, a nossa fórmula ficará em função de h, substituindo

w = 12 . 1 3   .   π   . 2,57 - h . 0,765 2,57 2 . 9,81

w = 10,92   .   2,57 - h 2

Lembre que nesse caso a nossa unidade é

w = N m

Resposta

W = 185,41   N  

w = 10,92   .   2,57 - h 2   N m