Exercícios Resolvidos de Cargas Axiais Distribuídas e Peso Próprio

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Enunciado

Determine o alongamento da tira de alumínio quando submetida a uma força axial de 30   k N . E a l = 70   G P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

A tira de alumínio é composta por três segmentos e possui um módulo de elasticidade E = 70   G P a .

Um segmento, central, possui uma área de seção transversal A c e n t = 50   m m   ×   6   m m e um comprimento inicial L c e n t = 800   m m .

Os outros dois segmentos, laterais, possuem um comprimento inicial L l a t = 250   m m e uma área de seção transversal variável A l a t :

Além de tudo isso, por causa da força axial de tração de 30   k N , vai haver ao longo de toda essa tira de alumínio uma força interna normal constante N = 30   k N .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o alongamento, ou seja, a variação de comprimento δ da tira de alumínio devido à carga aplicada de 30   k N .

Essa variação de comprimento da tira vai ser a soma das variações de comprimento do segmento central e dos segmentos laterais:

δ = δ l a t + δ c e n t + δ l a t

δ = δ c e n t + 2 δ l a t

E como é que a gente pode calcular essas variações de comprimento?

Para o trecho central que possui uma área de seção transversal A c e n t constante, vamos calcular a sua variação de comprimento δ c e n t usando a fórmula δ = N L / E A .

Já para os dois trechos laterais, a área de seção transversal A l a t varia. Então vamos ter que usar a fórmula:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

No caso dos nossos trechos laterais:

  • A força interna normal N e o módulo de elasticidade E são constantes;
  • A área de seção transversal é chamada de A l a t ;
  • E o comprimento é chamado de L l a t .

Então essa fórmula fica assim:

δ l a t = ∫ 0 L l a t N E * A l a t ( x ) d x

Agora, antes de usarmos essa fórmula, precisamos formular uma expressão para a área variável A l a t ( x ) .

Passo 2

Então vamos começar o exercício tentando formular uma expressão para A l a t ( x ) .

Se formos observar a geometria dos segmentos laterais, vamos ver que eles têm:

  • Uma largura fixa l = 6   m m ;
  • E uma altura que varia linearmente de 50   m m no ponto inicial à 15   m m no ponto final.

A figura abaixo mostra isso visualmente:

Então vamos chamar essa altura variável de h .

Se ela varia linearmente em função de x , então ela pode ser expressa pela fórmula:

h x = a x + b

Por um lado, sabemos que quando x = 0 , essa altura é igual à 50   m m .

Ou seja:

50   m m = a 0 + b

Assim, descobrimos que:

b = 50   m m

Por outro lado, sabemos que quando x = L l a t , a altura é igual à 15   m m .

Ou seja:

15   m m = a L l a t + b

Substituindo b = 50   m m e isolando a , encontramos que:

a = 15   m m - 50   m m L l a t

O que significa que:

a = - 35   m m L l a t

Substituindo L l a t = 250   m m , encontramos que:

a = - 0,14

Sendo assim, podemos descrever a altura h assim:

h ( x ) = a x + b

Sabendo que a = - 0,14 e que b = 50   m m !

Agora, a área A l a t de uma seção transversal dos segmentos laterais da tira é a multiplicação dessa altura variável h ( x ) pela largura l = 6   m m da peça.

Então A l a t pode ser descrita em função de x assim:

A l a t x = h x l = a x + b l

Passo 3

Agora que temos uma fórmula para A l a t em função de x , já podemos calcular a variação de comprimento δ nos segmentos laterais da tira:

δ l a t = ∫ 0 L l a t N E * A l a t ( x ) d x

Primeiro, substituímos a expressão encontrada para A l a t x :

δ l a t = ∫ 0 L l a t N E a x + b l d x

Em seguida, podemos tirar as constantes N , E e l para o lado de fora da integral:

δ l a t = N E l ∫ 0 L l a t 1 a x + b d x

Com isso, vamos focar na resolução da integral, que vamos chamar de I :

I = ∫ 0 L l a t 1 a x + b d x

É, olhando para essa integral já dá para ver que ela não é tão fácil...

Mas vamos lá, você aguenta:

Faz tempo que eu não vejo cálculo, mas o meu instinto é de fazer uma substituição.

Então vamos tentar isso.

Vamos dizer que u = a x + b .

Derivando u em relação a x , vamos ter que:

d u d x = a

O que significa que:

d u = a   d x

Beleza, então vamos olhar para o que está dentro da nossa integral:

1 a x + b d x

Substituindo a x + b = u , fica assim:

1 u d x

Depois, multiplicamos em cima e em baixo por a :

a u a d x

Com isso, podemos substituir a   d x = d u :

1 u a d u

Agora, podemos atualizar a nossa integral com essa substituição, tendo o cuidado de também atualizar os intervalos da integral:

I = ∫ 0 L l a t 1 a x + b d x = ∫ a * 0 + b = b a L l a t + b 1 u a d u

Arrumando tudo e colocando a constante a para fora, a nossa integral fica assim:

I = 1 a ∫ b a L l a t + b 1 u d u

E olha só, integral de 1 / x a gente sabe que dá l n ( x ) , então temos que:

I = 1 a l n ( u ) u = b a L l a t + b

Fazendo a diferença entre os valores nos extremos, temos:

I = 1 a l n a L l a t + b - l n ( b )

Mas lembra aí!

Existe uma propriedade dos logaritmos que diz que l o g A - l o g B = l o g ( A / B ) .

Aplicando essa propriedade, o resultado da nossa integral I fica assim:

I = 1 a l n a L l a t + b b

E pronto, está resolvida a integral!

Beleza, então vamos voltar na expressão que tínhamos encontrado para δ l a t :

δ l a t = N E l ∫ 0 L l a t 1 a x + b d x

E substituir o valor que encontramos para a integral:

δ l a t = N E l 1 a l n a L l a t + b b

Substituindo nessa expressão:

  • N = 30   k N ;
  • E = 70   G P a = 70   k N / m m 2 ;
  • l = 6   m m ;
  • a = - 0,14 ;
  • b = 50   m m ;
  • & L l a t = 250   m m ,

Vamos encontrar que:

δ l a t = 0,614   m m

Passo 4

Encontramos o valor de δ l a t , então agora só falta encontrar o valor da variação de comprimento δ c e n t do segmento central da tira, que é muito mais fácil de calcular.

Nesse segmento central nós temos um comprimento L c e n t , além de uma força normal N , um módulo de elasticidade E e uma área de seção transversal A c e n t constantes.

Sendo assim, a variação de comprimento δ c e n t vai ser dada pela fórmula:

δ c e n t = N L c e n t E A c e n t

Substituindo N = 30   k N , L c e n t = 800   m m , E = 70   G P a = 70   k N / m m 2 e A c e n t = 50   m m   ×   6   m m , vamos encontrar que:

δ c e n t = 1,143   m m

Passo 5

Finalmente, podemos somar as variações de comprimento dos diferentes segmentos da tira de alumínio para encontrar a variação de comprimento total δ da tira:

δ = δ c e n t + 2 δ l a t

Substituindo os valores de δ c e n t e δ l a t , encontramos que:

δ = 1,143   m m + 2 0,614   m m

O que dá a nossa resposta:

Resposta

δ = 2,37   m m