Exercícios Resolvidos de Cargas Axiais Distribuídas e Peso Próprio

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Enunciado

O pilar abaixo possui raio de 1,5   m . A altura desse pilar é de 4,57   m . sabendo que essa viga suportará um carregamento como o mostrado na figura, determine a equação do esforço normal para essa peça, supondo a origem no topo da mesma.

Passo 1

Queremos determinar a equação do normal dessa peça. Antes de qualquer coisa temos que entender que para determinarmos a equação do normal precisamos dividir a nossa barra. Quando fazemos essa divisão, precisamos analisar como a força normal se comportará.

O que é importante notarmos?

Vimos no passo a passo que calculávamos primeiro o peso próprio, depois as reações do apoio. Como aqui estamos considerando a origem em cima, esses valores não afetaram em nada o cálculo do nosso normal, logo, nesse caso especifico não há necessidade de fazermos os dois primeiros passos. Assim poderemos iniciar diretamente do cálculo no nosso normal. Para isso devemos partir a nossa peça como a figura baixo mostra.

Usualmente arbitramos o nosso normal saindo da peça, e como a nossa origem está em cima da peça, iremos colocar que a distância em que fizemos o corte é X.

Passo 2

Antes de começarmos a fazer o equilíbrio precisamos fazer uma troca, ou seja, devemos trocar a nossa carga distribuída por uma carga concentrada, mas como faremos isso?

Você tem que pegar o seguinte macete, para trocarmos uma carga distribuída por uma concentrada precisamos calcular uma área, mas que área é essa?

Precisamos visualizar ela na nossa peça

Esse triangulo representa como a carga distribuída se comporta na nossa peça, ela começa no zero e vai aumentando linearmente até o valor w ( x ) . Se calcularmos a área desse triangulo, determinamos o valor da carga concentrada que entraria no lugar dessa carga distribuída. Porém para calcularmos essa área necessitamos do valor de w ( x ) . Como ele cresce linearmente com o valor de X, podemos determinar uma equação do primeiro grau para o nosso triângulo, usando as condições de contorno do nosso problema, ou seja, os valores que temos nas extremidades.

Passo 3

Vamos calcular o valor de w ( x ) olhando a figura total teremos o seguinte triangulo

Como queremos montar uma equação da reta usaremos a equação

y = a x + b

Precisamos agora resolver o seguinte sistema

x = 0         y = 0

E

x = 4,57     y = 127

Substituindo a primeira equação teremos que

0 = a . 0 + b

Logo

b = 0

Já com o valor de b vamos substituir o próximo valor que será

127 = a . 4,57 + 0

Logo

a = 27,8

Jogo a nossa equação da reta será

y = 27,8 x  

Como o nosso objetivo era determinar a equação da carga distribuída podemos definir que

w x = 27,8 x

Passo 4

Voltando na nossa figura anterior, agora podemos calcular a área do nosso triangulo

A = W = w x .   x 2 = 27,8 x   .   x 2 = 13,9 x 2

Substituindo a nossa carga distribuída pela concentrada podemos visualizar o nosso desenho como

Agora sim podemos fazer o equilíbrio de forças e determinar o valor do nosso normal

Fazendo

∑ F = 0

Teremos que

N x + W x + 200 = 0

Como já determinamos a nossa carga concentrada teremos que

N x + 13,9 x 2 + 200 = 0

N x = - 13,9 x 2 - 200

Uma forma de saber se fizemos o cálculo certo é calcular o normal na base da nossa peça e comparar com a área do triangulo grande, fazendo primeiro a área teremos que

W = A = 127 .   4,57 2 = 290,3   K N

Como tem uma carga de 200 concentrada, também precisamos contabilizar ela para o cálculo do nosso normal na base, logo teremos que

N = 290,2 + 200 = 490,3   K N

Usando a fórmula do nosso normal com x=4,57 teremos que

N x = - 13,9 4,57 2 - 200 = - 490,3 K N

Lembrando que o sinal do normal é negativo pois indica compressão. Como em módulo os valores são iguais, então podemos ficar tranquilos que de fato a nossa fórmula está correta. Logo a equação do normal é

N x = - 13,9 x 2 - 200

Resposta

N x = - 13,9 x 2 - 200