Exercícios Resolvidos de Cargas Axiais Distribuídas e Peso Próprio

Elaboração Própria

A barra de aço ( E = 200   G P a ) da figura abaixo possui uma seção transversal uniforme de área A = 7500   m m 2 e um comprimento original L = 0,9   m .

O peso próprio do aço gera na barra uma carga axial uniformemente distribuída w = 60 k N / m . Essa carga, por sua vez, gera na barra uma força normal N descrita pela fórmula N x = w ( L - x ) .

Determine a variação de comprimento δ causada nessa barra por esse carregamento de peso próprio w .

Passo 1

O que está acontecendo?

O carregamento na barra de aço devido ao seu peso próprio gera nela uma força interna normal N que varia em função do ponto x que está sendo avaliado na barra:

N x = w ( L - x )

Onde w = 60   k N / m é o carregamento distribuído na barra e L = 0,9   m é o comprimento inicial da barra.

A barra ainda tem um módulo de elasticidade E = 200   G P a e uma área de seção transversal A = 7500   m m 2 .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é a variação de comprimento δ causada pelo carregamento na barra.

A gente sabe que essa variação de comprimento δ é normalmente dada pela fórmula:

δ = N L E A

Mas a força normal N na nossa barra varia ao longo do comprimento da barra.

Então vamos ter que recorrer à fórmula:

δ = 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

Como no nosso caso, o módulo de elasticidade E e a área de seção transversal A da barra são constantes, essa fórmula vai ficar assim:

δ = 0 L N ( x ) E A d x

Substituindo os valores de L , N ( x ) , E e A nessa fórmula, vamos conseguir calcular δ !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para que a gente já possa calcular e se livrar da integral, vamos começar substituindo N x = w ( L - x ) .

Fazendo essa substituição na fórmula, temos:

δ = 0 L w L - x E A d x

Podemos colocar o termo constante w / E A que multiplica toda a expressão do lado de fora da integral.

Fazendo isso, temos:

δ = w E A 0 L ( L - x ) d x

Agora temos que nos lembrar de como se faz uma integral. 😖

Lembra aí...

Para fazer a integral de um polinômio, a gente ( 1 ) dá um expoente para x em cada termo, ( 2 ) aumenta 1 em cada expoente e ( 3 ) divide cada termo pelo novo expoente:

Então a nossa integral vai ficar assim:

0 L ( L - x ) d x = L x - x 2 2 x = 0 L

O que significa que:

0 L ( L - x ) d x = L L - L 2 2 - L 0 - 0 2 2

O primeiro termo vai dar L 2 / 2 enquanto que o segundo vai dar 0 , então:

0 L ( L - x ) d x = L 2 2

Com isso, a nossa expressão para δ fica assim:

δ = w E A L 2 2

Finalmente, substituindo os valores de w , L , E e A , vamos ter que:

δ = 60   k N / m 200   G P a 7500   m m 2 0,9   m 2 2

Reescrevendo G P a como k N / m m 2 e expandindo o 0,9   m 2 , temos:

δ = 60   k N / m 200   k N / m m 2 7500   m m 2 ( 0,9   m ) ( 0,9   m ) 2

Cortando m m 2 com m m 2 , k N com k N e m com m , vemos que o nosso resultado vai sair em metros:

δ = 60 200 7500 ( 0,9 ) ( 0,9   m ) 2

Calculando tudo, encontramos:

δ = 0,0000162   m

Como esse número é bem pequeno, podemos reescrevê-lo em m m na hora de dar a resposta:

Resposta

δ = 0,0162   m m

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas