Exercícios Resolvidos de Cargas Axiais Distribuídas e Peso Próprio

Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 31-1.75.

A coluna é feita de concreto de densidade 2,30   M g / m 3 e está sujeita a uma força de compressão axial de 15   k N em sua extremidade superior B . Determine a tensão normal média na coluna em função da distância z medida em relação à base.

Passo 1

O que está acontecendo?

A coluna tem um comprimento inicial L = 4   m e uma seção transversal circular de raio r = 180   m m .

O exercício diz que a coluna possui uma densidade ρ = 2,30   M g / m 3 (mega-gramas por metro cúbico), então ele quer que a gente considere o peso próprio da coluna.

O peso próprio total W da coluna é igual a sua massa m vezes a gravidade g :

W = m g

Mas a massa m da coluna é igual a sua densidade ρ vezes o seu volume V , ainda

W = ρ V g

E o volume V da coluna é igual à sua área de seção transversal A vezes o seu comprimento L :

W = ρ A L g

Beleza...

Mas sabemos que na verdade, o peso da coluna não é uma força pontual W , e sim uma carga distribuída uniformemente ao longo de todo o comprimento L da coluna.

Chamando essa carga distribuída de w , vamos ter que:

w = W L = ρ A L g L = ρ A g

Então tá... e o que é que isso significa?

Isso significa que se a gente fizer o diagrama de corpo livre da coluna, vamos ter:

  • A força de compressão F = 15   k N ;
  • Uma força de reação R do solo;
  • E, também, uma carga distribuída de peso próprio w = ρ A g .

Desenhando a carga distribuída w de uma outra cor, para que a gente possa diferenciar ela das forças pontuais F e R , o diagrama fica assim:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente encontre uma expressão que fornece a tensão normal média σ = N / A dependendo do ponto z da coluna que estiver sendo avaliado.

Para calcular essa tensão σ = N / A , vamos precisar da força interna normal N , que vamos encontrar através de uma análise dos esforços internos na barra.

Antes de fazer essa análise, temos que aplicar as condições de equilíbrio na barra para que a gente possa descobrir o valor da reação R desconhecida.

Observação: Vamos assumir que g = 9,81   m / s 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre da coluna:

Com isso, podemos aplicar as condições de equilíbrio nela.

Aqui, só vamos ter disponível o equilíbrio de forças na vertical:

F V = 0

Fazendo esse somatório de forças, vamos ter a reação R para cima, a força F para baixo e a força equivalente à carga distribuída w para baixo.

Essa força equivalente vai ser igual à distribuição uniforme w vezes o comprimento L em que ela atua.

Então o somatório de forças fica assim:

R - F - w L = 0

Isolando R , encontramos que:

R = F + w L       (Equação 1)

Vamos guardar esse valor para depois!

Passo 3

Agora, para encontrar a força interna normal N na coluna, vamos fazer uma análise de esforços internos nela.

Secionando a coluna em uma seção genérica com uma posição z , que pode variar entre 0 e L = 4   m , vamos ter o desenho abaixo:

Para determinar N , usamos o equilíbrio de forças na vertical:

F V = 0

Nesse caso, temos as forças R e N para cima e a força equivalente a carga distribuída w para baixo.

Como w é uniforme e atua ao longo de um comprimento z , essa força equivalente vai ser igual à w z .

Sendo assim, o somatório de forças acima fica assim:

R + N - w z = 0

Isolando N , encontramos que:

N = - R + w z

Mas no final do passo anterior guardamos a Equação 1 que diz que R = F + w L , então temos que:

N = - F + w L + w z

Fazendo a distributiva do sinal de negativo, isso fica assim:

N = - F - w L + w z

E, finalmente, colocando w em evidência, encontramos que:

N = - F - w L - z

Passo 4

Encontrada uma expressão para a força normal N , já podemos determinar a tensão normal média σ na coluna:

σ = N A

Substituindo a expressão encontrada para N , temos:

σ = - F - w L - z A

Lá no Passo 1, vimos que w = ρ A g .

Substituindo isso, temos que:

σ = - F - ρ A g L - z A

Realizando a divisão por A , isso fica assim:

σ = - F A - ρ g ( L - z )

Como a seção transversal da coluna é circular de raio r = 180   m m , a sua área A pode ser calculada pela fórmula A = π r 2 .

Fazendo essa substituição e fazendo a distributiva na multiplicação ρ g ( L - z ) , temos:

σ = - F π r 2 - ρ g L + ρ g z

E, finalmente, arrumando tudo, encontramos que:

σ = - F π r 2 + ρ g L + ρ g z

Passo 5

Agora, só falta substituir os valores...

  • F = 15   k N ;
  • r = 180   m m ;
  • ρ = 2,30   M g / m 3 ;
  • g = 9,81   m / s 2 ;
  • & L = 4   m ,
  • ...na expressão que acabamos de encontrar para que a gente possa determinar σ .

    Mas antes disso, vamos prestar atenção nas unidades das nossas variáveis:

    Primeiro, a força F está em k N e o raio r está em m m , então o termo F / π r 2 vai sair em k N / m m 2 que é o mesmo que G P a .

    Além disso, a densidade ρ está em M g / m 3 = 10 3 k g / m 3 e a gravidade g está em m / s 2 .

    Dessa forma, os termos ρ g vão sair em:

    10 3 k g m 3 * m s 2

    Como k g * m / s 2 é o mesmo que N , isso pode ser reescrito assim:

    10 3 N m 3

    Além disso, N / m 2 é o mesmo que P a , então essas unidades equivalem à:

    10 3 P a m

    E, por fim, 10 3 P a é o mesmo que k P a .

    Ou seja, os termos ρ g vão sair em k P a / m .

    Quando esses termos forem multiplicados por L ou por z , que são dados em m , o resultado de tensão vai sair em k P a . 👈

    Então para padronizar tudo, vamos reescrever o raio r = 180   m m como r = 0,18   m .

    Com isso, o termo F / π r 2 também vai sair em k N / m 2 = k P a . 👍

    Passo 6

    Então...

    Vamos pegar a expressão que encontramos para a tensão σ :

    σ = - F π r 2 + ρ g L + ρ g z

    E substituir nela os valores:

  • F = 15   k N ;
  • r = 0,18   m (!);
  • ρ = 2,30   M g / m 3 ;
  • g = 9,81   m / s 2 ;
  • & L = 4   m .

Fazendo isso e calculando tudo, encontramos que:

σ - 238 + 22,5 z   k P a

Como z pode variar entre 0 e 4   m , essa tensão sigma vai ser sempre negativa, já que o termo 22,5 z nunca vai ser maior que 238 .

Então podemos arrumar a nossa resposta para deixar claro que essa tensão será negativa (ou seja, que ela será uma tensão de compressão):

σ - 238 - 22,5 z   k P a

E assim terminamos o exercício!

Resposta

σ - 238 - 22,5 z   k P a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas