Exercícios Resolvidos de Cargas Axiais Distribuídas e Peso Próprio

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Enunciado

O poste é feito de abeto Douglas ( E = 13,1   G P a ) e tem diâmetro de 60   m m . Se estiver sujeito a uma carga 20   k N e o solo proporcionar resistência ao atrito que varia linearmente de w = 0 em y = 0 a w = 3   k N / m em y = 2   m , determine a força F em sua parte inferior necessária para haver equilíbrio.

Calcule também qual é o deslocamento da parte superior do poste, A , em relação à sua parte inferior, B . Despreze o peso do poste.

Passo 1

O que está acontecendo?

O poste tem um comprimento inicial L = 2   m , uma seção transversal circular de diâmetro d = 60   m m e um módulo de elasticidade E = 13,1   G P a .

Ele está sob uma carga P = 20   k N e é sustentado por uma força F em sua parte inferior e pela força de atrito linearmente distribuída w , como mostra o seu diagrama de corpo livre:

E o que é que o exercício quer?

Primeiro, ele quer que a gente descubra o valor da força F na parte inferior do poste.

Para encontrar F , vamos ter que calcular uma força equivalente à carga linearmente distribuída w para, em seguida, podemos aplicar o equilíbrio de forças no poste.

Em seguida, ele quer que a gente calcule o deslocamento da parte superior A do poste em relação à parte inferior B .

Ou seja, ele quer saber a variação de comprimento δ sofrida pelo poste.

Como temos uma força distribuída, essa variação de comprimento δ vai ter que ser calculada pela fórmula:

δ = ∫ 0 L N ( x ) E x A ( x ) d x

No nosso caso:

  • O módulo de elasticidade E e a área de seção transversal A ;
  • E o carregamento no poste, e, consequentemente, a força interna normal N no poste, variam em função da coordenada y , e não da coordenada x .

Dessa forma, a fórmula para δ vai ficar assim:

δ = ∫ 0 L N ( y ) E A d y

Agora, antes de usar essa fórmula, vamos ter que fazer uma análise dos esforços internos no poste para encontrarmos uma expressão para a força normal N ( y ) .

E, antes disso, vamos ter que formular uma expressão para a carga distribuída w ( y ) .

Passo 2

Vamos começar pela primeira parte do exercício: calcular a força F .

Para tanto, fazemos um diagrama de corpo livre no poste:

E aplicamos as condições de equilíbrio nele.

Nesse caso, podemos aplicar o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

Para fazer esse somatório de forças, precisamos definir uma força equivalente à carga distribuída w .

O jeito mais fácil de fazer isso é observar que w varia linearmente entre 0 e 3   k N / m , de tal forma que o seu valor médio é w m = 1,5   k N / m .

Esse valor médio w m distribuído ao longo do poste de comprimento L , vai resultar em uma força resultado w m L .

Sendo assim, o somatório de forças acima fica assim:

F + w m L - P = 0

Como queremos saber o valor de F , vamos isolá-lo:

F = P - w m L

Substituindo P = 20   k N , w m = 1,5   k N / m e L = 2 m , encontramos que:

F = 17   k N

Passo 3

Agora seguimos para a segunda parte: calcular a variação de comprimento δ causada no poste pelas cargas que atuam nele.

Antes de usar a fórmula de δ , temos que formular expressões que para a carga distribuída w ( y ) e para a força normal variável N ( y ) na coluna.

Então vamos pensar...

Sabemos que w varia linearmente. Então podemos formular w em função de y assim:

w y = a y + b

Agora...

Quando y = 0 , w é igual à 0 , ou seja:

( 0 ) = a ( 0 ) + b

O que significa que:

b = 0

Por outro lado....

Quando y = 2   m , w é igual à 3   k N / m , ou seja:

3   k N / m = a 2   m + b

Substituindo b = 0 e isolando a , encontramos que:

a = ( 3   k N / m ) ( 2   m ) = 1,5   k N / m 2

Dessa forma, temos que w em função de y pode ser formulado assim:

w ( y ) = 1,5   k N / m 2 y

Passo 4

Em seguida, para encontrarmos uma fórmula para a força normal variável N ( y ) , precisamos fazer uma análise de esforços internos no poste.

Secionando o poste em uma seção genérica com uma posição y , o desenho da análise de esforços internos fica assim:

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, vamos ter:

∑ F V = 0

Para fazer esse somatório, precisamos definir uma força equivalente à carga distribuída w nesse trecho da peça.

Então vamos pensar...

Nesse trecho, w começa igual à 0 e varia linearmente até seu valor máximo no ponto y .

Como vimos no passo anterior, w no ponto y vai ser dado pela fórmula:

w ( y ) = 1,5   k N / m 2 y

Então o valor médio de w no trecho que estamos estudando vai ser a metade disso:

1,5   k N / m 2 y 2 = 0,75   k N / m 2 y

Esse valor médio distribuído ao longo de um trecho de comprimento y vai resultar em uma força equivalente:

0,75   k N / m 2 y * y = 0,75   k N / m 2 y 2

Sabendo disso, conseguimos fazer nosso somatório de forças, que fica assim:

0,75   k N / m 2 y 2 - N ( y ) - P = 0

Queremos encontrar a força normal N em função de y (“ N ( y ) ”), então devemos isolá-la:

N y = 0,75   k N / m 2 y 2 - P

Passo 5

Agora que conhecemos N ( y ) , podemos aplicar a fórmula:

δ = ∫ 0 L N ( y ) E A d y

Primeiro, podemos tirar para o lado de fora da integral as constantes E e A :

δ = 1 E A ∫ 0 L N y   d y

Além disso, sabemos que a área A da seção transversal circular de diâmetro d do poste pode ser dada pela fórmula A = π d 2 / 4 .

Dessa forma, temos que:

δ = 1 E π d 2 4 ∫ 0 L N y   d y

Arrumando tudo, essa expressão fica assim:

δ = 4 E π d 2 ∫ 0 L N y   d y

Feito isso, vamos focar agora em calcular a integral, que vamos chamar de I :

I = ∫ 0 L N y   d y

Substituindo a expressão encontrada para N ( y ) , ficamos com a integral de um polinômio:

I = ∫ 0 L 0,75   k N / m 2 y 2 - P   d y

Então lembra aí!

A integral desse polinômio vai ficar assim:

I = 0,75   k N / m 2 y 3 3 - P y y = 0 L

Fazendo a diferença entre os valores nos extremos, temos:

I = 0,75   k N / m 2 L 3 3 - P L - 0,75   k N / m 2 0 3 3 - P 0

O segundo termo vai ser nulo, então só vai sobrar:

I = 0,75   k N / m 2 L 3 3 - P L

Substituindo L = 2   m e P = 20   k N , vamos encontrar que:

I = - 38   k N * m

E pronto!

Agora podemos voltar na variação de comprimento δ :

δ = 4 E π d 2 ∫ 0 L N y   d y

E substituir o valor da integral:

δ = 4 E π d 2 - 38   k N * m

Substituindo E = 13,1   G P a = 13,1   k N / m m 2 e d = 60   m m , as unidades m m e k N vão se cortar.

Com isso, nosso resultado para δ vai sair na unidade que sobra, que é metros ( m ).

Fazendo essas substituições e calculando tudo, encontramos:

δ = - 0,00103   m

Como esse número é muito pequeno, podemos reescrevê-lo em m m :

δ = - 1,03   m m

E assim terminamos a segunda e última parte do exercício.

Resposta

F = 17   k N

&

δ A / B = - 1,03   m m