Direção em células unitárias

Teoria Completa

E aí, tudo bem?

Neste capítulo vamos aprender sobre direção em células unitárias, o que é isso minha genteee???

E para que é importante estudarmos planos e direções atômicas?? Além de muitas coisas o principal, analisar o comportamento da deformação plástica dos metais, e auxiliar também no entendimento do transporte de elétrons de condução.

Posições atômicas em células unitárias cúbicas

Um aspecto importante sobre as estruturas cristalinas é que uma posição reticular dada é estruturalmente análogo à posição em qualquer outra célula da mesma estrutura, essas posições estão interligadas por meio de translações que são múltiplos inteiros das constantes reticulares ao longo das direções paralelas aos eixos cristalográficos. Confuso?? Calma que veremos na prática.

E para acharmos essas benditas posições? Temos que ter os valores de direção de (x,y,z), como representado na célula unitária abaixo.

Vamos analisar essa célula lindinha?

As “bolinhas” representadas na célula unitária são os átomos, e os valores são as distâncias unitárias ao longo dos eixos (x,y,z).

Exemplo:

  • A posição (0,0,1) nos indica que a distancia para os eixos x e y é zero e tem como altura 1 no eixo z.
  • A posição (1,1,1) nos indica que a distancia da origem para o eixo x é 1, y=1 e z=1 e assim sucessivamente para outras representações de distâncias atômicas,

Outra maneira de representação da célula unitária, notem que os valores negativos aparecem pois os eixos estão no sentido negativo do plano, ou seja, no sentido oposto.

Direções em células unitárias cúbicas

Uma direção cristalográfica é definida como uma linha entre dois pontos, ou um vetor

E como faremos isso??

Para indicar esquematicamente uma direção numa célula unitária cúbica, vamos seguir o seguinte “B-A-BA”:

  1. Temos que desenhar um vetor-direção a partir de uma origem, que é geralmente um vértice da célula cúbica, até que saia da superfície do cubo
  2. As coordenadas devem ser colocadas entre conchetes e sem vírgulas
  3. Reduzir a inteiros quando necessário: pois as direção têm que ter números inteiros;

Vamos resolver um exemplinho para visualizar melhor?

Vamos desenhar a direção :

  1. Observem o tracinho em cima do 2, sempre quando aparecer desta maneira , representa que temos um número negativo, neste caso : -2
  2. Agora devemos desenhar uma célula unitária nas três direções, ou seja (distância igual a 1 em x,y e z) começando pela origem (0,0,0).
  3. Agora temos que analisar a direção fornecida:

X: 1

Y=-2

Z=1

Notem que ao desenharmos o sistema cúbico anteriormente, já desenhamos para o eixo negativo convenientemente oensando no -2 de Y, porém andamos apenas uma unidade. Como a direção é -2, temos que andar uma unidade a mais, mas se liga só, neste caso apenas para o Y pois é o único diferente de 1.

Então para isso desenhamos um cubo a mais , para termos 2 cubos no sentido negativo de Y.

E agora? Devemos desenhar o vetor direção que parte da origem até o nossa direção fornecida.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Determine a direção da célula unitária a seguir:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Determinar coordenadas do topo e da base:

A coordenada do topo é 1,1,1

A coordenada da base é 0,0,0

Passo 2

Para achar a direção basta reduzir a coordenada do topo menos a coordenada da base

D i r e ç ã o = - 1,1 , 1 0,0 , 0 = 1,1 , 1

Lembre-se direção sempre entre em colchetes e sem vírgulas :D

Resposta

Direção [1 1 1]

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Determine a direção da célula unitária a seguir:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Determinar coordenadas do topo e da base:

A coordenada da base é 1,0,1

A coordenada do topo é 0,0,0

Passo 2

Para achar a direção basta reduzir a coordenada do topo menos a coordenada da base

D i r e ç ã o = - 0,0 , 0 1,0 , 1 = - 1,0 , - 1

Lembre-se direção sempre entre em colchetes e sem vírgulas :D

Lembre-se se o número é negativo, devemos colocar um barra em cima :D

Resposta

Direção

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Determine a direção da célula unitária a seguir:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Determinar coordenadas do topo e da base:

A coordenada do topo é 1,1/2,0

A coordenada da base é 0,1,1

Passo 2

Para achar a direção basta reduzir a coordenada do topo menos a coordenada da base

D i r e ç ã o = - 1 , 1 2 , 0 0,1 , 1 = 1 , - 1 2 , - 1

Lembre-se direção sempre entre em colchetes e sem vírgulas :D

Lembre-se se o número é negativo, devemos colocar um barra em cima :D

Nunca deixar em fração então multiplicamos por um número inteiro, nesse caso o 2,para simplificar:

Direção: 1 , - 1 2 , - 1   × 2

Direção: 2, -1,-2

Resposta

Direção

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Desenhe a direção :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente devemos analisar a direção:

Para x = 1

Para Y= -2

Para z=1

Então como o y é -2, teremos que deslocar duas unidades para o eixo negativo de y.

Passo 2

Anda-se 1 casa para x e 1 para Z e -2 para Y. Então basta duplicarmos a célula unitária no eixo Y.

Resposta

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Especifique as coordenadas dos pontos para a posição atômicas 1 em uma célula unitária CCC

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente devemos analisar a direção:

Note que o ponto está exatamente na origem

Passo 2

Ou seja

X=0

Y=0

Z=0

Resposta

0,0,0

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Especifique as coordenadas dos pontos para a posição atômicas 5 em uma célula unitária CCC

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente devemos analisar a direção:

Note que o ponto está exatamente no meio da célula unitária, se a altura da célula é 1, então o ponto central é 1/2

Passo 2

Ou seja

X=1/2

Y=1/2

Z=1/2

Resposta

1/2, 1/2, 1/2

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Especifique as coordenadas dos pontos para a posição atômicas 3 em uma célula unitária CCC

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente devemos analisar a direção:

Note que o comprimento do vetor projetando em Y “anda” 1 unidade, para x 1 unidade e não temos projeção em Z, ou seja, sem altura em z.

Passo 2

Ou seja

X=1

Y=1

Z=0

Resposta

1, 1, 0

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria

Especifique as coordenadas dos pontos para a posição atômicas 2 em uma célula unitária CCC

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente devemos analisar a direção:

Note que o comprimento de x é 1 , mas este ponto não projeta em y e em z, ou seja, não tem comprimento nem altura respectivamente.

Passo 2

Ou seja

X=1

Y=0

Z=0

Resposta

1, 0, 0

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