Teoria Completa
E aí, tudo bem?
Numa estrutura cristalina é necessário fazer alusão a alguns planos de átomos, ou pode haver interesse em conhecer a orientação cristalográfica de um plano ou conjunto de planos de uma rede cristalina
Para identificar planos cristalográficos, numa estrutura cristalina cúbica, usa-se o sistema de notação de Miller , vamos aprender sobre isso?
Índices de Miller de um plano cristalográfico s
Os índices de Miller (hkl) definem a orientação de um plano de átomos na célula unitária. Estes índices de Miller podem ser determinados pela intersecção desse plano com os eixos do sistema de coordenadas da célula.
E a simbologia para representar essa coisa toda? Assim oh: planos cristalinos – (hkl) ou {hkl}
Vamos fazer um exemplo para entender melhor?
Para uma célula cúbica de parâmetro de rede “a”, o plano que intercepta os três eixos nos vértices da célula (x=y=z=a) terá os índices (111)
Note, que os pontos de intersecção (a,a,a) são correspondentes a posição 1, então o índice de miller é (1,1,1).
Para plano paralelo a um dos eixos
E se o plano for paralelo a um dos eixos?? O que acontecerá? Ele nunca poderá interceptar um dos eixos , porque tende ao ( ∞) e corresponde ao índice de Miller zero (0).
Exemplo: plano que intersecte os eixos x e y e seja paralelo a z, o índice de Miller respectivo será (110), pois não “tocará” no eixo Z.
O plano intercepta (a,a, ∞) ou seja apresenta o índice de (1,1,0).
Plano de intersecção com eixos fracionários
Se um plano intersectar os eixos numa fracção do parâmetro de rede, o adequado índice de Miller terá que ser seu inverso.
Exemplo: Para um plano que intercepte o eixo x em 1/2a, o eixo y em a e seja paralelo a z, o índice de Miller correspondente será (210).
Então a intersecção é (1/2a,1, ∞) e o índice, lembrando que devemos adotar o valor inverso temos: (2,1,0).
E o que acontece se o inverso não for um número inteiro ?
Vamos analisar o exemplo a seguir:
Os valores que interceptam (x,y,z) e (2/3,3/4,1)
- Primeiramente devemos inverter as frações: 3/2,4/3,
- Agora devemos reduzir a inteiros, podemos multiplicar por 2 , vamos ver o que ocorre?
- Mas e agora? Ainda continuamos com uma fração, que tal multiplicarmos por 3 para reduzir a fração que restou?
3/2,4/3,1 x2= 3,8/3,2
3,8/3,2 x 3= (9 8 6)
Plano que intercepta os eixos no lado negativo
Para um plano paralelo a x e que intersecte o eixo y em –a e z em 1/2a, o índice de Miller respectivo será (012). Notem que o “tracinho” em cima do 1 ou de qualquer outro número, representa que este é negativo.
Regras para determinar os índices de Miller de um plano
• Temos que achar as posições dos pontos em que o plano intercepta os eixos x, y, z.
• Determinamos o inverso.
• Reduzimos tudo ao mesmo denominador, quando necessário.
• Colocamos os valores entre parenteses, pondo barras sobre os índices negativos.
E se o sistema não for cubico?
Os índices são determinados do mesmo modo, independentemente dos ângulos dos eixos e dos parâmetros de rede a, b, c, quer ver como?
Exercício Resolvido #1
Considere as afirmativas a seguir e escolha a opção correta:
I. Num sistema cúbico, um plano e uma direção que tenham índices de Miller do mesmo valor são paralelos.
II. Quando o índice de Miller de um plano é igual a zero, esse plano é paralelo ao eixo cristalográfico correspondente a esse índice.
Passo 1
Num sistema cúbico, um plano e uma direção que tenham índices de Miller de mesmo valor são perpendiculares.
Passo 2
Quando o índice de Miller de um plano é igual a zero, esse plano é paralelo ao eixo cristalográfico correspondente a esse índice
Resposta
Alternativa II
Exercício Resolvido #2
Determine o índice de Miller do plano a seguir:
Passo 1
Primeiramente devemos observar onde o plano cruza.
Passo 2
Quando o índice de Miller de um plano é igual a zero, esse plano é paralelo ao eixo cristalográfico correspondente a esse índice, neste caso o Z.
Notem que em x e y ele intercepta o ponto 1
Resposta
(1 1 0)
Exercício Resolvido #3
Determine o índice de Miller do plano a seguir:
Passo 1
Primeiramente devemos observar onde o plano cruza. Em x e y ele “corta” no ponto 1
Passo 2
Observem que no eixo z a ponta do triangulo está em paralelo ao eixo z indicando estar no eixo negativo para z.
Resposta
)
Exercício Resolvido #4
Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: 1)
Passo 1
Temos como indicado o plano 1)notem que o plano “cortará” o eixo y em -2 e para x e z igual a 1
Passo 2
Traça uma linha de ligação em x =1 e uma com z=1 e puxe até o final da célula unitária a esquerda onde será respectivo ao eixo negativo da célula, como estará na segunda célula no eixo negativo, então encontraremos o ponto -2.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado:
Passo 1
Temos como indicado o plano notem que o plano “cortará” o eixo y em 1 e para z igual a -1 e x igual a 0
Passo 2
Traça uma linha de ligação em y=1 e uma com z=-1 paralelamente a z, pois este é negativo, note que terá um retângulo inclinado sem encostar no eixo x, pois este é igual a zero.
Resposta
Exercício Resolvido #6
Identifique os sistemas não cúbicos representados abaixo:
- Monoclínico, Triclínico e Ortorrômbico
- Triclínico, Monoclínico e ortorrômbico
- Monoclínico, Ortorrômbico e Triclínico
Passo 1
Monoclínico é um sistema cristalino que se apresenta três eixos cristalográficos de comprimentos diferentes
Passo 2
O sistema cristalino ortorrômbico apresenta três eixos cristalográficos mutuamente perpendiculares, mas cada um com um comprimento
Passo 3
Triclínico exibe apenas simetria translacional ou inversão. Possui três eixos cristalográficos, todos diferentes entre si
Resposta
Alternativa C
Exercício Resolvido #7
Sobre as regras para a determinação do índice de uma direção, determine a opção correta:
- As direções passam não passam na origem
- Comprimento do vetor em termos de a, b, c.
- Coloca-se entre colchetes, colocando barras sobre os índices positivos.
Passo 1
As direções passam na origem
Passo 2
Comprimento do vetor em termos de a, b, c.
Passo 3
Coloca-se entre parêntesis, colocando barras sobre os índices negativos.
Resposta
Alternativa B
Exercício Resolvido #8
Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: (1 0 1 )
Passo 1
Temos como indicado o plano (1 0 1) notem que o plano não “cortará” o eixo y pois o valor é igual a zero. E para x e z igual a 1
Passo 2
Traça uma linha de ligação em x =1 e uma com z=1 e puxe até o final da célula unitária, você irá observar que o plano ficara inclinado, pois não encostara em y.
Resposta
Exercício Resolvido #9
Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: 1)
Passo 1
Temos como indicado o plano 1)notem que o plano “cortará” o eixo y em -2 e para x e z igual a 1
Passo 2
Traça uma linha de ligação em x =1 e uma com z=1 e puxe até o final da célula unitária a esquerda onde será respectivo ao eixo negativo da célula, como estará na segunda célula no eixo negativo, então encontraremos o ponto -2.
Resposta
Exercício Resolvido #10
Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado:
Passo 1
Temos como indicado o plano notem que o plano “cortará” o eixo y em 1 e para z igual a -1 e x igual a 0
Passo 2
Traça uma linha de ligação em y=1 e uma com z=-1 paralelamente a z, pois este é negativo, note que terá um retângulo inclinado sem encostar no eixo x, pois este é igual a zero.