Índices de Miller

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Teoria

Os índices de Miller são três números inteiros , e que definem a orientação de um plano de átomos na célula unitária. Eles podem ser determinados pela intersecção desse plano com os eixos do sistema de coordenadas da célula.

-Quee?! 😖

Vem comigo que vai ficar mais claro!

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Índices de Miller de um Plano Cristalográfico

Em uma estrutura cristalina é necessário fazer alusão a alguns planos de átomos, ou pode haver interesse em conhecer a orientação cristalográfica de um plano ou conjunto de planos de uma rede cristalina.

Para identificar planos cristalográficos, numa estrutura cristalina cúbica, usa-se o sistema de notação de Miller! Por exemplo, para uma célula cúbica de parâmetro de rede , o plano que intercepta os três eixos nos vértices da célula terá os índices :

Índice de Miller: Célula Cúbica
Índice de Miller: Célula Cúbica

Note, que os pontos de intersecção são correspondentes a posição , então o índice de Miller é .

Índices de Miller para um Plano Paralelo a um dos Eixos

E se o plano for paralelo a um dos eixos, o que acontecerá?!

Ele nunca poderá interceptar um dos eixos, porque tende ao infinito e corresponde ao índice de Miller zero (0). Por exemplo, imagine um plano que intersecte os eixos e e seja paralelo a , o índice de Miller respectivo será , pois não tocará no eixo . Assim:


Plano Paralelo a um dos Eixos
Plano Paralelo a um dos Eixos

O plano intercepta ou seja apresenta o índice de . Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Índice de Miller: Plano de Intersecção com Eixos Fracionários

Se um plano intersectar os eixos numa fracção do parâmetro de rede, o adequado índice de Miller terá que ser seu inverso. Por exemplo, para um plano que intercepte o eixo em , o eixo em a e seja paralelo a , o índice de Miller correspondente será .

Índice de Miller para um Plano de Intersecção com Eixos Fracionários
Índice de Miller para um Plano de Intersecção com Eixos Fracionários

Então a intersecção é e o índice, lembrando que devemos adotar o valor inverso temos: .

E o que acontece se o inverso não for um número inteiro ? Vamos analisar o exemplo a seguir!

Exemplo: Quais são os valores que interceptam e

  • Primeiramente devemos inverter as frações: , ,
  • Agora devemos reduzir a inteiros, podemos multiplicar por , vamos ver o que ocorre?

Índice de Miller para um Plano de Intersecção com Eixos Fracionários: Exemplo
Índice de Miller para um Plano de Intersecção com Eixos Fracionários: Exemplo

  • Multiplicarmos por 3 para reduzir a fração que restou:

Índice de Miller para um Plano que Intercepta os Eixos no Lado Negativo

Para um plano paralelo a e que intersecte o eixo em e em , o índice de Miller respectivo será . Notem que o “tracinho” em cima do ou de qualquer outro número, representa que este é negativo.

Índice de Miller para eixo negativo
Índice de Miller para eixo negativo

Regras para determinar os Índices de Miller de um plano

Para determinar os índices de Miller de um plano, temos que achar as posições dos pontos em que o plano intercepta os eixos . Para isso:

  • Determinamos o inverso;
  • Reduzimos tudo ao mesmo denominador, quando necessário.
  • Colocamos os valores entre parênteses, pondo barras sobre os índices negativos.

Para sistemas não cúbicos os índices são determinados do mesmo modo, independentemente dos ângulos dos eixos e dos parâmetros de rede , , . Assim:

Índices de Miller para sistemas não cúbicos
Índices de Miller para sistemas não cúbicos

Agora vamos praticar com exercícios?

Índices de Miller de um Plano Cristalográfico

Índices de Miller para um Plano Paralelo a um dos Eixos

Índice de Miller: Plano de Intersecção com Eixos Fracionários

Índice de Miller para um Plano que Intercepta os Eixos no Lado Negativo

Regras para determinar os Índices de Miller de um plano

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere as afirmativas a seguir e escolha a opção correta:

I. Num sistema cúbico, um plano e uma direção que tenham índices de Miller do mesmo valor são paralelos.

II. Quando o índice de Miller de um plano é igual a zero, esse plano é paralelo ao eixo cristalográfico correspondente a esse índice.

Passo 1

Num sistema cúbico, um plano e uma direção que tenham índices de Miller de mesmo valor são perpendiculares.

Passo 2

Quando o índice de Miller de um plano é igual a zero, esse plano é paralelo ao eixo cristalográfico correspondente a esse índice

Resposta

Alternativa II

Exercício Resolvido #2

Determine o índice de Miller do plano a seguir:

Passo 1

Primeiramente devemos observar onde o plano cruza.

Passo 2

Quando o índice de Miller de um plano é igual a zero, esse plano é paralelo ao eixo cristalográfico correspondente a esse índice, neste caso o Z.

Notem que em x e y ele intercepta o ponto 1

Resposta

(1 1 0)

Exercício Resolvido #3

Determine o índice de Miller do plano a seguir:

Passo 1

Primeiramente devemos observar onde o plano cruza. Em x e y ele “corta” no ponto 1

Passo 2

Observem que no eixo z a ponta do triangulo está em paralelo ao eixo z indicando estar no eixo negativo para z.

Resposta

  (   11   1 _ )

Exercício Resolvido #4

Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: ( 1   2   _ 1)

Passo 1

Temos como indicado o plano ( 1   2   _ 1)notem que o plano “cortará” o eixo y em -2 e para x e z igual a 1

Passo 2

Traça uma linha de ligação em x =1 e uma com z=1 e puxe até o final da célula unitária a esquerda onde será respectivo ao eixo negativo da célula, como estará na segunda célula no eixo negativo, então encontraremos o ponto -2.

Resposta

Exercício Resolvido #5

Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: ( 0   1   1 )   _

Passo 1

Temos como indicado o plano ( 0   1   1 )   _ notem que o plano “cortará” o eixo y em 1 e para z igual a -1 e x igual a 0

Passo 2

Traça uma linha de ligação em y=1 e uma com z=-1 paralelamente a z, pois este é negativo, note que terá um retângulo inclinado sem encostar no eixo x, pois este é igual a zero.

Resposta

Exercício Resolvido #6

Identifique os sistemas não cúbicos representados abaixo:

  1. Monoclínico, Triclínico e Ortorrômbico
  2. Triclínico, Monoclínico e ortorrômbico
  3. Monoclínico, Ortorrômbico e Triclínico

Passo 1

Monoclínico é um sistema cristalino que se apresenta três eixos cristalográficos de comprimentos diferentes

Passo 2

O sistema cristalino ortorrômbico apresenta três eixos cristalográficos mutuamente perpendiculares, mas cada um com um comprimento

Passo 3

Triclínico exibe apenas simetria translacional ou inversão. Possui três eixos cristalográficos, todos diferentes entre si

Resposta

Alternativa C

Exercício Resolvido #7

Sobre as regras para a determinação do índice de uma direção, determine a opção correta:

  1. As direções não passam na origem
  2. Comprimento do vetor em termos de a, b, c.
  3. Coloca-se entre colchetes, colocando barras sobre os índices positivos.

Passo 1

As direções passam na origem

Passo 2

Comprimento do vetor em termos de a, b, c.

Passo 3

Coloca-se entre parêntesis, colocando barras sobre os índices negativos.

Resposta

Alternativa B

Exercício Resolvido #8

Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: (1 0 1 )

Passo 1

Temos como indicado o plano (1 0 1) notem que o plano não “cortará” o eixo y pois o valor é igual a zero. E para x e z igual a 1

Passo 2

Traça uma linha de ligação em x =1 e uma com z=1 e puxe até o final da célula unitária, você irá observar que o plano ficara inclinado, pois não encostara em y.

Resposta

Exercício Resolvido #9

Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: ( 1   2   _ 1)

Passo 1

Temos como indicado o plano ( 1   2   _ 1)notem que o plano “cortará” o eixo y em -2 e para x e z igual a 1

Passo 2

Traça uma linha de ligação em x =1 e uma com z=1 e puxe até o final da célula unitária a esquerda onde será respectivo ao eixo negativo da célula, como estará na segunda célula no eixo negativo, então encontraremos o ponto -2.

Resposta

Exercício Resolvido #10

Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: ( 0   1   1 )   _

Passo 1

Temos como indicado o plano ( 0   1   1 )   _ notem que o plano “cortará” o eixo y em 1 e para z igual a -1 e x igual a 0

Passo 2

Traça uma linha de ligação em y=1 e uma com z=-1 paralelamente a z, pois este é negativo, note que terá um retângulo inclinado sem encostar no eixo x, pois este é igual a zero.

Resposta