Índices de miller e planos cristalográficos

Teoria Completa

E aí, tudo bem?

Numa estrutura cristalina é necessário fazer alusão a alguns planos de átomos, ou pode haver interesse em conhecer a orientação cristalográfica de um plano ou conjunto de planos de uma rede cristalina

Para identificar planos cristalográficos, numa estrutura cristalina cúbica, usa-se o sistema de notação de Miller , vamos aprender sobre isso?

Índices de Miller de um plano cristalográfico s

Os índices de Miller (hkl) definem a orientação de um plano de átomos na célula unitária. Estes índices de Miller podem ser determinados pela intersecção desse plano com os eixos do sistema de coordenadas da célula.

E a simbologia para representar essa coisa toda? Assim oh: planos cristalinos – (hkl) ou {hkl}

Vamos fazer um exemplo para entender melhor?

Para uma célula cúbica de parâmetro de rede “a”, o plano que intercepta os três eixos nos vértices da célula (x=y=z=a) terá os índices (111)

Note, que os pontos de intersecção (a,a,a) são correspondentes a posição 1, então o índice de miller é (1,1,1).

Para plano paralelo a um dos eixos

E se o plano for paralelo a um dos eixos?? O que acontecerá? Ele nunca poderá interceptar um dos eixos , porque tende ao ( ∞) e corresponde ao índice de Miller zero (0).

Exemplo: plano que intersecte os eixos x e y e seja paralelo a z, o índice de Miller respectivo será (110), pois não “tocará” no eixo Z.

O plano intercepta (a,a, ∞) ou seja apresenta o índice de (1,1,0).

Plano de intersecção com eixos fracionários

Se um plano intersectar os eixos numa fracção do parâmetro de rede, o adequado índice de Miller terá que ser seu inverso.

Exemplo: Para um plano que intercepte o eixo x em 1/2a, o eixo y em a e seja paralelo a z, o índice de Miller correspondente será (210).

Então a intersecção é (1/2a,1, ∞) e o índice, lembrando que devemos adotar o valor inverso temos: (2,1,0).

E o que acontece se o inverso não for um número inteiro ?

Vamos analisar o exemplo a seguir:

Os valores que interceptam (x,y,z) e (2/3,3/4,1)

  1. Primeiramente devemos inverter as frações: 3/2,4/3,
  2. Agora devemos reduzir a inteiros, podemos multiplicar por 2 , vamos ver o que ocorre?
  3. 3/2,4/3,1 x2= 3,8/3,2

  4. Mas e agora? Ainda continuamos com uma fração, que tal multiplicarmos por 3 para reduzir a fração que restou?

3,8/3,2 x 3= (9 8 6)

Plano que intercepta os eixos no lado negativo

Para um plano paralelo a x e que intersecte o eixo y em –a e z em 1/2a, o índice de Miller respectivo será (012). Notem que o “tracinho” em cima do 1 ou de qualquer outro número, representa que este é negativo.

Regras para determinar os índices de Miller de um plano

• Temos que achar as posições dos pontos em que o plano intercepta os eixos x, y, z.

• Determinamos o inverso.

• Reduzimos tudo ao mesmo denominador, quando necessário.

• Colocamos os valores entre parenteses, pondo barras sobre os índices negativos.

E se o sistema não for cubico?

Os índices são determinados do mesmo modo, independentemente dos ângulos dos eixos e dos parâmetros de rede a, b, c, quer ver como?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Considere as afirmativas a seguir e escolha a opção correta:

I. Num sistema cúbico, um plano e uma direção que tenham índices de Miller do mesmo valor são paralelos.

II. Quando o índice de Miller de um plano é igual a zero, esse plano é paralelo ao eixo cristalográfico correspondente a esse índice.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Num sistema cúbico, um plano e uma direção que tenham índices de Miller de mesmo valor são perpendiculares.

Passo 2

Quando o índice de Miller de um plano é igual a zero, esse plano é paralelo ao eixo cristalográfico correspondente a esse índice

Resposta

Alternativa II

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Determine o índice de Miller do plano a seguir:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente devemos observar onde o plano cruza.

Passo 2

Quando o índice de Miller de um plano é igual a zero, esse plano é paralelo ao eixo cristalográfico correspondente a esse índice, neste caso o Z.

Notem que em x e y ele intercepta o ponto 1

Resposta

(1 1 0)

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Determine o índice de Miller do plano a seguir:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente devemos observar onde o plano cruza. Em x e y ele “corta” no ponto 1

Passo 2

Observem que no eixo z a ponta do triangulo está em paralelo ao eixo z indicando estar no eixo negativo para z.

Resposta

  (   11   1 _ )

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: ( 1   2   _ 1)

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Passo 1

Temos como indicado o plano ( 1   2   _ 1)notem que o plano “cortará” o eixo y em -2 e para x e z igual a 1

Passo 2

Traça uma linha de ligação em x =1 e uma com z=1 e puxe até o final da célula unitária a esquerda onde será respectivo ao eixo negativo da célula, como estará na segunda célula no eixo negativo, então encontraremos o ponto -2.

Resposta

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: ( 0   1   1 )   _

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos como indicado o plano ( 0   1   1 )   _ notem que o plano “cortará” o eixo y em 1 e para z igual a -1 e x igual a 0

Passo 2

Traça uma linha de ligação em y=1 e uma com z=-1 paralelamente a z, pois este é negativo, note que terá um retângulo inclinado sem encostar no eixo x, pois este é igual a zero.

Resposta

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Identifique os sistemas não cúbicos representados abaixo:

  1. Monoclínico, Triclínico e Ortorrômbico
  2. Triclínico, Monoclínico e ortorrômbico
  3. Monoclínico, Ortorrômbico e Triclínico
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Monoclínico é um sistema cristalino que se apresenta três eixos cristalográficos de comprimentos diferentes

Passo 2

O sistema cristalino ortorrômbico apresenta três eixos cristalográficos mutuamente perpendiculares, mas cada um com um comprimento

Passo 3

Triclínico exibe apenas simetria translacional ou inversão. Possui três eixos cristalográficos, todos diferentes entre si

Resposta

Alternativa C

Exercício Resolvido #7

Elaboração própria

Sobre as regras para a determinação do índice de uma direção, determine a opção correta:

  1. As direções passam não passam na origem
  2. Comprimento do vetor em termos de a, b, c.
  3. Coloca-se entre colchetes, colocando barras sobre os índices positivos.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

As direções passam na origem

Passo 2

Comprimento do vetor em termos de a, b, c.

Passo 3

Coloca-se entre parêntesis, colocando barras sobre os índices negativos.

Resposta

Alternativa B

Exercício Resolvido #8

Elaboração própria

Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: (1 0 1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos como indicado o plano (1 0 1) notem que o plano não “cortará” o eixo y pois o valor é igual a zero. E para x e z igual a 1

Passo 2

Traça uma linha de ligação em x =1 e uma com z=1 e puxe até o final da célula unitária, você irá observar que o plano ficara inclinado, pois não encostara em y.

Resposta

Exercício Resolvido #9

Elaboração própria

Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: ( 1   2   _ 1)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos como indicado o plano ( 1   2   _ 1)notem que o plano “cortará” o eixo y em -2 e para x e z igual a 1

Passo 2

Traça uma linha de ligação em x =1 e uma com z=1 e puxe até o final da célula unitária a esquerda onde será respectivo ao eixo negativo da célula, como estará na segunda célula no eixo negativo, então encontraremos o ponto -2.

Resposta

Exercício Resolvido #10

Elaboração própria

Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: ( 0   1   1 )   _

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos como indicado o plano ( 0   1   1 )   _ notem que o plano “cortará” o eixo y em 1 e para z igual a -1 e x igual a 0

Passo 2

Traça uma linha de ligação em y=1 e uma com z=-1 paralelamente a z, pois este é negativo, note que terá um retângulo inclinado sem encostar no eixo x, pois este é igual a zero.

Resposta

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