Enunciado

(a) Compare as densidades planares (Seção 3.11 e Problema 3.54 ) para os planos ( 100 ), ( 110 ) e ( 111 ) da estrutura cristalina CFC.

(b) Compare as densidades planares (Problema 3.55 ) para os planos ( 100 ), ( 110 ) e ( 111 ) da estrutura cristalina CCC.

Passo 1

Olá! Tudo bem? Vamos resolver esse problema em dois passos: item (a) no Passo 1 e item (b) no Passo 2 .

(a) Para a estrutura cristalina CFC, a densidade planar do plano ( 110 ) é dada pela Equação 3.11 (pág. 59 ; 8 ª Ed.).

D P 110 C F C = 1 4 R 2 2 = 0,177 R 2

Além disso, as densidades planares dos planos ( 100 ) e ( 111 )   são calculadas no Problema 3.54 da seguinte maneira:

D P 100 C F C = 1 4 R 2 = 0,25 R 2

D P 111 C F C = 1 2 R 2 3 = 0,29 R 2

Passo 2

(b) Para a estrutura cristalina do CCC, as densidades planares dos planos ( 100 )   e ( 110 )   foram determinadas no Problema 3.55 da seguinte maneira:

D P 1 00 C C C = 3 16 R 2 = 0 , 1 9 R 2

D P 1 1 0 C C C = 3 8 R 2 2 = 0 , 27 R 2

Agora, compararemos com o plano ( 111 ) , o qual é mostrado dentro de uma célula unitária CCC na Figura (a) a seguir.

Figura (a)

Os centros dos três átomos nas arestas, denotados por A, B e C, estão neste plano. Além disso, o plano ( 111 ) não passa pelo centro do átomo D, localizado no centro da célula unitária. O empacotamento atômico deste plano é apresentado na Figura (b) a seguir; as posições correspondentes do átomo da Figura (a) também são observadas.

Figura (b)

Como esse plano não passa pelo centro do átomo D, ele não é incluído na contagem de átomos. Um sexto de cada um dos três átomos identificados como A, B e C está associado a este plano, o que equivale a meio átomo.

Na Figura (b), o triângulo tendo A, B e C como arestas é um triângulo equilátero. E, na Figura (b), a área desse triângulo é x y 2 . O comprimento da borda do triângulo, x , é igual ao comprimento de uma face na diagonal, conforme indicado na Figura (a). E seu comprimento está relacionado ao comprimento da borda da célula unitária, a , da seguinte forma:

x 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2

x = a 2

Então, para CCC, a = 4 R 3 (Equação 3.3 - pág. 41; 8ª Ed.), e, portanto,

x = 4 R 2 3

Além disso, da Figura (b), com relação ao comprimento y , podemos escrever:

y 2 + x 2 2 = x 2

O que leva a

y = x 3 2

E a substituição do valor de x , como mostra a expressão anterior, produz:

y = x 3 2 = 4 R 2 3 3 2 = 4 R 2 2

Assim, a área deste triângulo é igual a

Á r e a = 1 2 x y = 1 2 4 R 2 3 4 R 2 2 = 8 R 2 3

E, finalmente, a densidade planar para o plano ( 111 ) é:

D P 11 1 C C C = 0,5 8 R 2 3 = 3 16 R 2 = 0,11 R 2

Resposta

(a) Veja o Passo 1 .

(b) Veja o Passo 2 .

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