Enunciado

Considere um monocristal de algum metal hipotético com estrutura cristalina C F C , orientado tal que uma tensão de tração é aplicada ao longo da direção [ 1 - 02 ] . Se o escorregamento ocorre no plano 111 e na direção 1 - 01 , calcule a tensão na qual o cristal escoa se a sua tensão cisalhante rebatida crítica é de 3,42 M P a .

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos aplicar a seguinte equação

σ l = τ t c r c cos ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ λ         i

Mas para que possamos calcular essa equação vamos precisar encontrar quem é ϕ e λ para que, assim, possamos calcular os seus respectivos cossenos. Então, vamos precisar das seguintes fórmulas

λ = cos - 1 ⁡ u 1 u 2 + v 1 v 2 + w 1 w 2 u 1 2 + v 1 2 + w 1 2 ⋅ u 2 2 + v 2 2 + w 2 2       i i

ϕ = cos - 1 ⁡ u 1 u 2 + v 1 v 2 + w 1 w 2 u 1 2 + v 1 2 + w 1 2 ⋅ u 2 2 + v 2 2 + w 2 2         i i i

Onde u 1 , v 1   e   w 1 correspondem as coordenadas de uma direção e u 2 , v 2   e   w 2 de outra, para λ e para ϕ temos a relação entre a normal do plano e uma direção.

Passo 2

Sendo assim, vamos calcular primeiramente o valor de cada ângulo e para que possamos depois aplicar na equação i . Tomemos, então, para λ os seguintes valores de u i , v i   e   w i

u 1 = - 1 ,     v 1 = 0 ,     w 1 = 2 ;  

u 2 = - 1 ,     v 2 = 0 ,     w 2 = 1 ;  

Dessa forma, encontramos λ dado por

λ = cos - 1 ⁡ 1 + 0 + 2 - 1 2 + 0 + 2 2 ⋅ - 1 2 + 0 + 1 2 = cos - 1 ⁡ 3 10 ≈ 18,4 °

Agora, para ϕ teremos

u 1 = - 1 ,     v 1 = 0 ,     w 1 = 2 ;  

u 2 = 1 ,     v 2 = 1 ,     w 2 = 1 ;  

Então vamos ter

ϕ = cos - 1 ⁡ 1 + 0 + 2 - 1 2 + 0 + 2 2 ⋅ 1 2 + 1 + 1 2 = cos - 1 ⁡ 3 15 ≈ 39,2 °

Passo 3

Por fim, para concluirmos a questão basta retornarmos à equação i e substituir os valores encontrados nos passos acima juntamente com o que foi fornecido no enunciado. Sendo assim, temos

σ l = τ t c r c cos ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ λ = 3,42 M P a 3 15 ⋅ 3 10 ≈ 4,65 M P a

Resposta

σ l = 4,65   M P a

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