Exercícios Resolvidos de Cilindros

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 58 – 7,8.

Faça um esboço do cilindro de equação dada.

  1. x 2 + y - 2 2 = 4
  2. y 2 + z 2 = 16

Passo 1

a)Tudo que precisamos saber para esboçar o gráfico de um cilindro é saber qual a curva diretriz do cilindro e qual o eixo do cilindro.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa é entender que curva diretriz é essa.

Isso lembra muito uma circunferência, até porque ele é uma circunferência!

A forma geral da circunferência é

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Não precisa ser x e y , pode qualquer dois entre x , y e z . Lembrando que x 0 , y 0 , 0 é o centro da circunferência e r é o raio da circunferência. Esse zero é porque a circunferência “está” no plano com z = 0 , que é a outra variável.

Podemos ver então que o centro vai ser

C = 0,2 , 0

E o raio vai ser

r = 2

Portanto, nossa curva diretriz é x 2 + y - 2 2 = 4 , que é uma cincunferência de raio r = 2 e centro C = ( 0,2 , 0 ) . Logo, o eixo do cilindro será o eixo que contém a variável livre, nesse caso o eixo z .

Passo 3

Agora que já sabemos qual a curva diretriz e qual o eixo do cilindro, podemos começar seu esboço.

Vamos plotar a curva diretriz no plano x y .

O gráfico vai ficar:

Passo 4

Como fazemos o cilindro agora? Repita a curva diretriz um pouco mais acima, representando os valores positivos e um pouco mais abaixo, representando so valores negativos. Fica assim:

Passo 5

Vamos colocar retas paralelas(geratrizes) ao outro eixo (eixo do cilindro). Veja essa figura de como fica:

Passo 6

Agora é só hachurar a superfície delimitada pelas figuras. Fica assim:

Passo 7

b)

A primeira coisa é entender que curva é essa.

y 2 + z 2 = 16

De novo temos uma circunferência, dessa vez o plano que vamos pegar como base que é diferente. Vai ser o plano y z .

O centro vai ser

0,0 , 0

O raio vai ser

r = 4

Portanto, nossa curva diretriz y 2 + z 2 = 16 , que é uma cincunferência de raio r = 4 e centro C = ( 0,0 , 0 ) . Logo, o eixo do cilindro será o eixo que contém a variável livre, nesse caso o eixo x .

Passo 8

Agora que já sabemos qual a curva diretriz e qual o eixo do cilindro, podemos começar seu esboço.

Vamos plotar a curva diretriz no plano y z .

O gráfico vai ficar:

Passo 9

Agora, vamos repetir a figura, uma mais para trás, representando a parte negativa e uma outra mais para frente, representando a parte positiva. Fica assim:

Passo 10

Como fazemos o cilindro agora? Simples, vamos colocar retas paralelas(geratriz) ao outro eixo(eixo do cilindro). Olha essa figura de como fica:

Passo 11

Hachurando a área delimitada pela figura temos:

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