Cilindros

Teoria Completa

Definição, Equação e Conceitos

Fala, galerinha do bem! Neste tópico, vamos bater um papo sobre cilindros! Mas antes, vamos lembrar da equação da circunferência? Afinal, a base de um cilindro é um círculo né!

Então, quando eu tenho um círculo de raio 1 , por exemplo, eu tenho essa equação,

x 2 +   y 2 =   1

E o gráfico fica assim,

Agora se eu quiser transformar esse gráfico em um gráfico em 3   d i m e n s õ e s , com compentes em x , y , z , tranformando-o em um cílindro. Como ficaria a minha equação? Como seria o gráfico?

Então, galerinha, quando tiver fazendo essa transformação, eu estarei “empilhando” as circunferências no meu eixo z . Com isso, eu posso manter minha equação no plano x y e dizer que ela se matém ao longo de todo eixo z . Então fica assim:

x 2 + y 2 = 1 ,   c o m   z   i r r e s t r i t o

Agora vamos ver seu esboço:

Deste modo, podemos definir um cilindro como sendo uma superfície cuja uma de suas variáveis é livre ou irrestrita (ou seja, temos uma variável que não está restrita por nenhuma equação) .

No cilindro acima, a variável z   é irrestrita, mas também podemos ter as variáveis x ou y livres. Neste casos veríamos o cilindro “deitado”.

Repara que para saber qual é a variável irrestrita, basta olhar a que não aparece na equação.

Alguns nomes são importantes pra você não ser surpreendido na hora da prova :

  • A curva x 2 + y 2 = 1 é chamada de diretriz do cilindro . A curva diretriz do cilindro pode ser qualquer curva ou função envolvendo duas variáveis. Ela tem esse nome porque é ela quem define a cara que o cilindro vai ter.
  • Sabemos que x 2 + y 2 = 1   é a circunferência de raio 1. Se cortarmos o cilindro em seções ortogonais ao eixo z, todas elas serão também circunferências de raio 1.

  • O eixo do cilindro será o eixo que contém a variável irrestrita.

Observação: Quando falamos em cilindro, na verdade estamos falando em superfície cilíndrica, ou seja a casca cilíndrica. Tá, mas o que isso quer dizer exatamente? Observe novamente o gráfico do cilindro que utilizamos como exemplo inicial. Perceba que o cilindro não compreende o interior da superfície. Ou seja, ele não é maciço, é oco. As interseções com planos ortogonais ao eixo z são circunferências e não círculos. Ficou claro agora??

Esboço de Cilindros

Tá, galerinha, até aqui vocês já conheceram a equação e o gráfico, mas agora eu quero te fazer outra pergunta: como fazemos o esboço do cilindro?

Para fazermos o esboço de cilindros, precisamos saber apenas qual a curva diretriz do cilindro e o eixo do cilindro.

Voltemos ao exemplo inicial:

x 2 + y 2 = 1 ,   c o m   z   i r r e s t r i t o

Como vimos, a curva diretriz é x 2 + y 2 = 1 e o eixo do cilindro é o eixo z .

Agora vamos de um passo a passo!

Passo 1: Esboçar a curva diretriz

Começamos esboçando a curva diretriz no plano x y

Ela é uma circunferência com centro ( 0 , 0,0 ) e raio 1 . Temos:

É o mesmo desenho que fiz la no início, mas com outra persectiva.

Passo 2: Empilhar nossos círculos no eixo   z

Vamos fazer a mesma circunferência mais duas vezes: uma acima e outra abaixo do plano x y .

Passo 3: Ligar as circunferências

Fica assim:

Só um pouquinho de formalismo, pois você ler em algum lugar: essas linhas adcionadas ao longo do eixo do cilindro são chamadas de geratriz do cilindro.

Passo 4: Hachurar a figura.

Agora, é so hachurar a superfície!!! Pronto, tá aí o nosso cilindro!!!

ATENÇÃO! Nem todo cilindro é uma superfície fechada.

Considere o cilindro de equação:

y = x 2

Seu gráfico é:

Como você percebeu, os cilindros podem ser aberto! Além disso, a diretriz nem sempre é um círculo, nesse caso foi uma parábola! Só para fechar vou te mostrar outros cilindros

Agora bora pros exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 58 – 7,8.

Faça um esboço do cilindro de equação dada.

  1. x 2 + y - 2 2 = 4
  2. y 2 + z 2 = 16
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)Tudo que precisamos saber para esboçar o gráfico de um cilindro é saber qual a curva diretriz do cilindro e qual o eixo do cilindro.

Passo 2

A primeira coisa é entender que curva diretriz é essa.

Isso lembra muito uma circunferência, até porque ele é uma circunferência!

A forma geral da circunferência é

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Não precisa ser x e y , pode qualquer dois entre x , y e z . Lembrando que x 0 , y 0 , 0 é o centro da circunferência e r é o raio da circunferência. Esse zero é porque a circunferência “está” no plano com z = 0 , que é a outra variável.

Podemos ver então que o centro vai ser

C = 0,2 , 0

E o raio vai ser

r = 2

Portanto, nossa curva diretriz é x 2 + y - 2 2 = 4 , que é uma cincunferência de raio r = 2 e centro C = ( 0,2 , 0 ) . Logo, o eixo do cilindro será o eixo que contém a variável livre, nesse caso o eixo z .

Passo 3

Agora que já sabemos qual a curva diretriz e qual o eixo do cilindro, podemos começar seu esboço.

Vamos plotar a curva diretriz no plano x y .

O gráfico vai ficar:

Passo 4

Como fazemos o cilindro agora? Repita a curva diretriz um pouco mais acima, representando os valores positivos e um pouco mais abaixo, representando so valores negativos. Fica assim:

Passo 5

Vamos colocar retas paralelas(geratrizes) ao outro eixo (eixo do cilindro). Veja essa figura de como fica:

Passo 6

Agora é só hachurar a superfície delimitada pelas figuras. Fica assim:

Passo 7

b)

A primeira coisa é entender que curva é essa.

y 2 + z 2 = 16

De novo temos uma circunferência, dessa vez o plano que vamos pegar como base que é diferente. Vai ser o plano y z .

O centro vai ser

0,0 , 0

O raio vai ser

r = 4

Portanto, nossa curva diretriz y 2 + z 2 = 16 , que é uma cincunferência de raio r = 4 e centro C = ( 0,0 , 0 ) . Logo, o eixo do cilindro será o eixo que contém a variável livre, nesse caso o eixo x .

Passo 8

Agora que já sabemos qual a curva diretriz e qual o eixo do cilindro, podemos começar seu esboço.

Vamos plotar a curva diretriz no plano y z .

O gráfico vai ficar:

Passo 9

Agora, vamos repetir a figura, uma mais para trás, representando a parte negativa e uma outra mais para frente, representando a parte positiva. Fica assim:

Passo 10

Como fazemos o cilindro agora? Simples, vamos colocar retas paralelas(geratriz) ao outro eixo(eixo do cilindro). Olha essa figura de como fica:

Passo 11

Hachurando a área delimitada pela figura temos:

Resposta

Exercício Resolvido #2

Georg B. Thomas, Cálculo Volume 2, 11ª ed. São Paulo: PEARSON, 2008 education do Brasil Ltda, pp. 218 - 67

Esboce o gráfico do cilindro:

x 2 - 4 y 2 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A variável irrestrita é z e consequentemente o eixo do cilindro é o eixo z .

A curva diretriz é a hipérbole   x 2 - 4 y 2 = 1

Logo já identificamos os principais elementos para esboçar o gráfico do cilindro.

Passo 2

Vamos esboçar a hipérbole no plano x y . Temos:

Passo 3

“Expandindo” a hipérbole em direção ao eixo do cilindro temos:

Resposta

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 58 - 15.

Esboce o cilindro:

y z = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Encontrar a curva diretriz e o eixo do cilindro.

A curva diretriz do cilindo é a curva y z = 1 , portante a variável irrestrita é x e o eixo do cilindro é o eixo x .

Passo 2

Agora vamos desenhar a curva z = 1 / y , no plano z y

lim y → 0 + ⁡ 1 y = + ∞ ; lim y → 0 - ⁡ 1 y = - ∞ ; lim y → + ∞ ⁡ 1 y = 0 ; lim y → - ∞ ⁡ 1 y = 0

Portanto temos:

Passo 3

“Expandindo” a curva na direção do eixo do cilindro temos:

Resposta

Exercício Resolvido #4

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 58 - 16.

Faça um esboço do cilindro de equação dada.

z = ln ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A variável irrestrita é y e consequentemente o eixo do cilindro é o eixo y .

A curva diretriz é z = ln ⁡ x

Logo já identificamos os principais elementos para esboçar o gráfico do cilindro.

Passo 2

Vamos esboçar a curva diretriz no plano x z . A curva diretriz é z = ln ⁡ x . Portanto temos:

Passo 3

Depois disso, vamos repetir a curva diretriz, um pouco mais a frente, representando os valores positivos e um pouco mais atrás, representandoos valores negativos. Fica assim:

Passo 4

Agora, vamos colocar retas paralelas(geratrizes) ao outro eixo(eixo do cilindro)

Passo 5

Hachurando a superfície, eis aí o nosso cilindro!

Resposta

Exercício Resolvido #5

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 58 - 17

Faça um esboço do cilindro de equação dada.

y + z = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Precisamos identifica a curva geratriz e o eixo do cilindro para fazer seu esboço. O eixo do cilindro é o eixo x , é o eixo da variável livre, que não aparece na equação. Mas e a curva diretriz y + z = 1 ???

Essa curva é um pouco mais complicada, vamos focar um pouco pra entender isso.

y + z = 1

Quando temos módulo temos uma situação para o cara positivo e uma situação para o cara negativo.

Vamos considerar primeiro

z ≥ 0 ,     y ≥ 0

Isso nos diz que

z = z ,     y = y

A função vai ser

z = 1 - y

O gráfico fica

Passo 2

Vamos ver agora

z ≥ 0 ,     y < 0

Isso nos diz que

z = z ,     y = - y

A função vai ser

z = 1 + y

O gráfico fica

Passo 3

Vamos ver agora

z < 0 ,     y ≥ 0

Isso nos diz que

z = - z ,     y = y

A função vai ser

z = y - 1

O gráfico fica

Passo 4

Vamos ver agora

z < 0 ,     y < 0

Isso nos diz que

z = - z ,     y = - y

A função vai ser

z = - 1 - y

O gráfico fica

Passo 5

Juntando essa bagaça toda, vai ficar:

Essa é a nossa curva diretriz do cilindro!!!

Passo 6

Agora devemos desenhar novamente a curva geratriz: Uma mais a frente, representando os valores positivos e outra mais atrás representando so valores negativos. Fica assim:

Passo 7

Desenhando as diretrizes do cilindro temos:

Passo 8

Finalmente, hachurando a superfície temos:

Resposta

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