Enunciado

Considerando o circuito da figura:

  1. Determine as expressões matemáticas para a corrente i L e para a tensão v L quando a chave é fechada.
  2. Repita o item (a) se a chave for aberta após a passagm de cinco constantes de tempo.

Passo 1

Primeiro devemos calcular o equivalente Thévenin entre o terminais do indutor, para isso devemos substituir a fonte de tensão por um curto circuito:

R t h = 12 k * 0 12 k + 0 + 36 k = 36 k Ω

Enquanto a tensão E é igual a tensão a fonte 8V.

Passo 2

Podemos calcular a constante de tempo para o momento de carregamento τ :

τ = L R t h = 100 m 36 k = 2,78 μ s

Passo 3

Após a chave ser fechada, a corrente que circula pelo indutor é dada pela fórmula:

i L =   E R t h   1 - e - t τ

i L =   8 36 k   1 - e - t 2,78 μ

i L =   0,22   ( 1 - e - t 2,78 μ ) m A

Passo 4

A tensão sobre o indutor, v L segue a equação:

v L = E *   e - t τ

v L = 8 *   e - t 2,78 μ

Passo 5

Após 5 constantes de tempo, o indutor irá descarregar a partir de um valor inicial igual a:

v i L =   - ( v R 1   +   v R 2 )

v i L =   - ( i 1 * R 1   +   i 2 * R 2   )

v i L =   - i L R 1   +   R 2   =   - E R 1   ( R 1   +   R 2   )

v i L = - 8 36 k 36 k +   12 k =   - 10,67 V

Passo 6

A nova constante de tempo τ ' para o circuito enquanto o indutor descarrega é:

τ ' =   L R e q =   100 m ( 36 k + 12 k ) = 2,08 μ s

Passo 7

A tensão v L   sobre o indutor descarregando segue a fórmula, onde já calculamos o valor inicial de v i L :

v L =   - v i L * ( 1 - e - t τ ' )

v L =   10,67 * ( 1 - e - t 2,08 μ )

Passo 8

A corrente i L que passa pelo indutor segue a fórmula:

i L =   E R 1   e - t τ '

i L =     8 36 k   e - t 2,08 μ

i L = 0,22   e - t 2,08 μ m A

Resposta

a)

i L =   0,22   1 - e - t 2,78 μ m A

v L = 8 * ( e - t 2,78 μ ) V

b)

i L = 0,22   e - t 2,08 μ m A

v L =   10,67 * 1 - e - t 2,08 μ V

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