Exercícios Resolvidos de Coeficiente de Poisson

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Enunciado

Um cilindro de bronze ( ν = 0,34 ), com diâmetro original de 1,5   c m e comprimento de 3   c m , é colocado em uma máquina de compressão e comprimido até que seu comprimento se torne 2,98   c m . Determinar o novo diâmetro do bloco.

Passo 1

O cilindro de bronze possui um Coeficiente de Poisson ν = 0,34 , um diâmetro original d = 1,5   c m e um comprimento original L = 3   c m .

Ele é comprimido até um comprimento final L ' = 2,98   c m , caracterizando nele uma deformação longitudinal (no sentido do comprimento) ε l o n g :

ε l o n g = δ L

Onde δ é a variação no comprimento do cilindro, calculada como a diferença entre o comprimento final L ' e o comprimento inicial L , tal que:

ε l o n g = L ' - L L

Agora, de acordo com o Coeficiente de Poisson, essa deformação longitudinal vai ser acompanhada por uma deformação lateral (no sentido do diâmetro do cilindro) ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

E assim como ε l o n g é definida como a variação do comprimento dividida pelo comprimento original, ε l a t pode ser definida como a variação do diâmetro dividida pelo diâmetro original:

ε l a t = Δ d d = d ' - d d

Então se calcularmos ε l o n g , vamos poder calcular ε l a t através da fórmula do Coeficiente de Poisson.

E, conhecendo ε l a t e o diâmetro original d do cilindro, podemos calcular o diâmetro final d ' usando a definição de ε l a t .

Vamos seguir esses passos para resolver o exercício!

Passo 2

Primeiro, calculamos a deformação longitudinal:

ε l o n g = L ' - L L

Substituindo L ' = 2,98   c m e L = 3   c m :

ε l o n g = 2,98   c m - 3   c m 3   c m = - 0,02   c m 3   c m

O que dá:

ε l o n g = - 0,00667

Passo 3

Em seguida, calculamos a deformação lateral usando a equação do Coeficiente de Poisson:

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando ε l a t :

ε l a t = - ν ε l o n g

Substituindo ν = 0,34 e ε l o n g = - 0,00 66 - :

ε l a t = - 0,34 - 0,00667

O que dá:

ε l a t = 0,00227

Passo 4

Por último, usamos a definição da deformação lateral:

ε l a t = d ' - d d

Queremos descobrir o diâmetro final d ' , então devemos isolá-lo.

Multiplicando os dois lados por d e depois somando d aos dois lados, isolamos o diâmetro final d ' :

ε l a t d + d = d '

Para deixar tudo mais bonito, espelhamos a equação e colocamos o diâmetro inicial d em evidência:

d ' = d ( 1 + ε l a t )

Substituindo d = 1,5   c m e ε l a t = 0,00227 :

d ' = 1,5   c m 1 + 0,00227

O que dá:

Resposta

d ' = 1,5034   c m

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