Exercícios Resolvidos de Coeficiente de Poisson

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 120-2.69.

Um tecido utilizado em estruturas infláveis está submetido a um carregamento biaxial que resulta em tensões normais σ x = 120   M P a e σ z = 160   M P a . Sabendo que as propriedades do tecido podem ser de aproximadamente E = 87   G P a e ν = 0,34 , determine a variação no comprimento ( a ) do lado A B , ( b ) do lado B C e ( c ) da diagonal A C .

Passo 1

Nos exercícios anteriores, a gente sempre trabalhou com só uma tensão normal σ e com as deformações longitudinal ε l o n g e lateral ε l a t .

Agora, nesse exercício, nós temos tensões multiaxiais:

  • No eixo x , temos uma tensão normal σ x = 120   M P a ;
  • No eixo y , não temos tensão normal, então σ y = 0   M P a ;
  • E no eixo z , temos uma tensão normal σ z = 160   M P a .

Por esse motivo, ao invés de usarmos as deformações longitudinal ε l o n g e lateral ε l a t em exercícios como esse, usamos as deformações em cada eixo: ε x , ε y e ε z .

E como a gente encontra essas deformações em cada eixo?

Lembra aí!

Existem fórmulas para as deformações em cada eixo como consequência das tensões multiaxiais:

ε x = 1 E ( + σ x - ν σ y - ν σ z )

ε y = 1 E ( - ν σ x + σ y - ν σ z )

ε z = 1 E ( - ν σ x - ν σ y + σ z )

Cada uma dessas fórmulas é o resultado da soma dos efeitos que as tensões em cada eixo têm na deformação em uma certa direção.

Beleza, e o que é que o exercício quer?

Ele quer saber:

( a ) A variação no comprimento do lado A B , δ A B .

Como o lado A B está ao longo do eixo x , essa variação vai ser definida pela deformação em x :

ε x = δ A B L A B

onde L A B é o comprimento inicial de 100   m m do lado A B .

( b ) A variação no comprimento do lado B C , δ B C .

B C está ao longo do eixo z , então:

ε z = δ B C L B C

Onde L B C é o comprimento inicial de 75   m m do lado B C .

( c ) A variação no comprimento da diagonal A C , δ A C .

Não existe uma “deformação diagonal” que define a variação de A C , mas podemos pensar nessa variação assim:

Inicialmente, a diagonal tem um comprimento L A C que pode ser encontrado a partir do Teorema de Pitágoras:

L A C = L A B 2 + L B C 2

Enquanto que, ao final, o lado A B vai ter um comprimento L A B + δ A B e o lado B C um comprimento L B C + δ B C , de tal forma que a diagonal A C vai ter um comprimento final L A C ' :

L A C ' = L A B + δ A B 2 + L B C + δ B C 2

E assim a variação δ A C vai ser dada por:

δ A C = L A C ' - L A C

Então, resumindo...

Se encontramos as deformações em x e em z ( ε x e ε z ), vamos poder calcular as variações δ A B e δ B C , resolvendo os itens ( a ) e ( b ) .

E, conhecendo as variações δ A B e δ B C , conseguimos calcular a variação da diagonal, δ A C , resolvendo assim o item ( c ) .

O material tem um módulo de elasticidade E = 87   G P a e um coeficiente de Poisson ν = 0,34 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos começar o exercício encontrando as deformações em x e em z ( ε x e ε z ).

Usando as fórmulas para a deformação em x e em z em situações de tensões multiaxiais, temos:

ε x = 1 E ( + σ x - ν σ y - ν σ z )

&

ε z = 1 E ( - ν σ x - ν σ y + σ z )

Como, no nosso caso, a tensão normal em y é igual a zero, temos que:

ε x = 1 E ( σ x - ν σ z )

&

ε z = 1 E ( - ν σ x + σ z )

O exercício nos forneceu o valor do módulo de elasticidade E em G P a , sendo que as tensões σ x e σ z foram fornecidas em M P a .

Para que os nossos resultados de deformação sejam adimensionais, vamos reescrever o módulo de elasticidade E em M P a na hora de substituir o seu valor.

Substituindo os valores de ν , σ x , σ y e E = 87   G P a = 87000   M P a , temos:

ε x = 1 87000   M P a ( 120   M P a - 0,34 160   M P a )

&

ε z = 1 87000   M P a - 0,34 120   M P a + 160   M P a

Calculando tudo, encontramos:

ε x = 7,54 * 10 - 4

&

ε z = 1,37 * 10 - 3

Passo 3

Agora que sabemos as deformações em x e em z , podemos resolver os itens ( a ) e ( b ) .

Começando pelo item ( a ) :

Podemos definir a deformação em x como:

ε x = δ A B L A B

Como queremos encontrar no item ( a ) a variação δ A B do comprimento do lado A B , devemos isolar δ A B :

δ A B = ε x L A B

Substituindo os valores de ε x e L A B , temos:

δ A B = 7,54 * 10 - 4 100   m m

O que dá:

δ A B = 0,0754   m m

Passo 4

E agora para o item ( b ) :

Queremos encontrar a variação δ B C do comprimento do lado B C , que é descrita pela deformação em z :

ε z = δ B C L B C

Isolando δ B C , temos:

δ B C = ε z L B C

Substituindo os valores de ε z e L B C :

δ B C = 1,37 * 10 - 3 75   m m

O que dá:

δ B C = 0,1028   m m

Passo 5

Por último, resolvemos o item ( c ) :

Queremos encontrar a variação de comprimento δ A C da diagonal A C .

Toda variação de comprimento é igual ao comprimento final menos o comprimento inicial, logo:

δ A C = L A C ' - L A C

O comprimento inicial L A C pode ser encontrado através do Teorema de Pitágoras, usando os lados A B e B C como os catetos e o lado A C como a hipotenusa:

L A C = L A B 2 + L B C 2

Da mesma forma, o comprimento final L A C ' também pode ser calculado através do Teorema de Pitágoras.

Mas, dessa vez, os lados A B e B C vão ter seus comprimentos finais, que vão ser iguais aos seus comprimentos iniciais mais as variações de comprimento sofridas:

L A C ' = L A B + δ A B 2 + L B C + δ B C 2

Dessa forma, temos que:

δ A C = L A B + δ A B 2 + L B C + δ B C 2 - L A B 2 + L B C 2

Substituindo todos os valores, temos:

δ A C = 100 + 0,0754 2 + 75 + 0,1028 2 - 100 2 + 75 2   m m

O que dá:

δ A C = 125,1220 - 125   m m

δ A C = 0,1220   m m

Resposta

a   δ A B = 0,0754   m m

b   δ B C = 0,1028   m m

c   δ A C = 0,1220   m m

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