Exercícios Resolvidos de Coeficiente de Poisson

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Enunciado

A variação no diâmetro de um grande parafuso de aço é cuidadosamente medida enquanto a porca é apertada. Sabendo que E = 200   G P a e ν = 0,29 , determine a força interna no parafuso, quando se observa que o diâmetro diminuiu em 13   μ m .

Passo 1

O que está acontecendo?

Ao mesmo tempo que o parafuso faz forças nas peças rosas para manter elas em suas posições, as peças reagem tracionando o parafuso pelas extremidades.

Essa tração significa que existe no parafuso uma força interna normal N e uma tensão normal média:

σ = N A

Pela Lei de Hooke, essa tensão σ corresponde a uma deformação normal/longitudinal ε l o n g no parafuso:

σ = E ε l o n g

E pela definição do coeficiente de Poisson ν , essa deformação longitudinal ε l o n g é acompanhada por uma deformação lateral ε l a t :

ν = - ε l a t ε l o n g

Agora, o exercício disse que o parafuso tinha um diâmetro inicial d = 60   m m e sofreu uma diminuição de 13   μ m , ou seja, ele sofreu uma variação de diâmetro Δ d = - 13   μ m .

Isso significa que o exercício nos descreveu a variação lateral no parafuso, uma vez que:

ε l a t = Δ d d

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber o valor da força interna normal N no parafuso.

Para descobrir esse valor, vamos partir da fórmula da tensão normal média e desenvolver ela usando a Lei de Hooke, a definição do Coeficiente de Poisson e a definição da deformação lateral.

Dessa forma, vamos conseguir descrever a força N a partir de valores que conhecemos, como:

  • O módulo de elasticidade E = 200   G P a ;
  • O coeficiente de Poisson ν = 0,29 ;
  • O diâmetro inicial d = 60   m m ;
  • E a variação de diâmetro Δ d = - 13   μ m .

Passo 2

Então primeiro, vamos resolver o exercício literalmente. Em seguida, substituímos os valores e encontramos N .

Partindo da fórmula da tensão normal média, temos:

σ = N A

Queremos encontrar N , então podemos isolá-lo desde já:

N = σ A

Ok!

Agora, a tensão σ pode ser descrita pela Lei de Hooke σ = E ε l o n g .

E a área A da seção transversal do parafuso é circular e pode ser descrita em função de seu diâmetro d através da fórmula A = π d 2 / 4 .

Fazendo essas substituições, temos:

N = E ε l o n g π d 2 4

Arrumando a expressão, ela fica assim:

N = E π d 2 4 ε l o n g

Beleza...

Conhecemos os valores de E e d , mas não conhecemos o valor da deformação longitudinal ε l o n g .

Mas sabemos descrever a deformação lateral ε l a t , e sabemos que essas deformações são relacionadas pelo coeficiente de Poisson:

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando ε l o n g , temos:

ε l o n g = - ε l a t ν

Substituindo isso na última expressão que tínhamos encontrado para N :

N = E π d 2 4 - ε l a t ν

Arrumando, fica assim:

N = - E π d 2 4 ν ε l a t

Agora só falta descrever a deformação lateral ε l a t .

Ela é a razão entre a variação de uma medida no sentido lateral (como o nosso diâmetro) sobre o valor inicial da medida, ou seja:

ε l a t = Δ d d

Fazendo essa última substituição, a força N fica assim:

N = - E π d 2 4 ν Δ d d

Simplificando, temos:

N = - E π d 4 ν Δ d

Passo 3

Agora, só falta substituir os valores de E , ν , d e Δ d na expressão que encontramos para N :

N = - E π d 4 ν Δ d

Fazendo as substituições:

N = - 200   G P a π 60   m m 4 0,29 - 13   μ m

Pausa para olhar para as unidades...

G P a é o mesmo que k N / m m 2 .

Então se a gente conseguir reescrever a variação de - 13   μ m (micrometros) em milímetros ( m m ), as unidades de milímetros vão se cortar e o resultado para a força N vai sair em k N .

1 micrometro é o mesmo que 10 - 6 metros ou 10 - 3 milímetros, então:

- 13   μ m = - 13 * 10 - 3   m m

Fazendo essas substituições, a conta fica assim:

N = - 200   k N / m m 2 π 60   m m 4 0,29 - 13 * 10 - 3   m m

Calculando tudo, isso dá:

Resposta

N = 422   k N

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