Exercícios Resolvidos de Coeficiente de Poisson

Ver Teoria

Enunciado

Um tubo de aço de comprimento igual a 1829   m m , diâmetro externo de 304,8   m m e espessura de parede de 12,7   m m é usado como uma coluna curta e suporta uma força axial centrada de 1334   k N .

Sabendo que E = 200   G P a e ν = 0,30 , determine ( a ) a variação no comprimento do tubo, ( b ) a variação em seu diâmetro externo e ( c ) a variação na espessura da parede.

Passo 1

O tubo tem, inicialmente, um comprimento L = 1829   m m , um diâmetro externo d = 304,8   m m e uma parede de espessura e = 12,7   m m .

Além disso, o tubo é feito de um aço de módulo de elasticidade E = 200   G P a e Coeficiente de Poisson ν = 0,30 .

Quando o tubo for carregado com a força de compressão de 1334   k N , vai surgir nele uma força interna normal N = - 1334   k N , que vai gerar nele uma tensão normal média σ = N / A .

De acordo com a Lei de Hooke e o Coeficiente de Poisson, essa tensão normal σ no tubo vai ser acompanhada por deformações longitudinal ε l o n g e lateral ε l a t .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine as variações de comprimento δ , de diâmetro externo Δ d e de espessura da parede Δ e no tubo quando ele é carregado com a força de 1334   k N .

Para encontrar a variação de comprimento δ do tubo no item ( a ) , podemos usar a fórmula que vem da combinação da Lei de Hooke com as fórmulas da tensão normal média e da deformação normal:

δ = N L E A

Já para encontrar as variações do diâmetro externo Δ d e da espessura da parede Δ e nos itens ( b ) e ( c ) , vamos precisar nos lembrar da definição de deformação lateral:

A deformação lateral ε l a t é definida como a variação de uma medida no sentido lateral (como o diâmetro ou a espessura do tubo) sobre o valor inicial dessa medida.

Ou seja:

ε l a t = Δ d d = Δ e e

Então se conseguimos usar o Coeficiente de Poisson para encontrar ε l a t , vamos conseguir encontrar em seguida Δ d e Δ e .

Passo 2

Vamos começar resolvendo o item ( a ) .

Aplicando a fórmula que descreve a variação de comprimento δ de uma peça a partir do carregamento axial na peça, temos:

δ = N L E A

Sabemos que N = - 1334   k N , L = 1829   m m e E = 200   G P a , mas não sabemos o valor da área A da seção transversal do tubo.

Então vamos olhar para a seção transversal do tubo para encontrar sua área A :

Vemos que dá pra definir a área A como a diferença entre a área do círculo de diâmetro externo d e a área do círculo de diâmetro interno d i n t = d - 2 e .

A área de cada um desses círculos vai ser dada pela fórmula π d 2 / 4 , então:

A = π d 2 4 - π d i n t 2 4

Colocando π / 4 em evidência, encontramos que:

A = π 4 d 2 - d i n t 2

Podemos deixar essa área em função do diâmetro interno d i n t uma vez que d i n t = d - 2 e pode ser calculado facilmente:

d i n t = d - 2 e = 304,8   m m - 2 12,7   m m

d i n t = 279,4   m m

Passo 3

Encontrada uma expressão para a área A , podemos substituir ela na fórmula δ = N L / E A :

δ = N L E π 4 d 2 - d i n t 2

Arrumando tudo, isso fica assim:

δ = 4 N L E π ( d 2 - d i n t 2 )

Agora, só falta substituir os valores de N , L , E , d e d i n t para encontra o valor da variação de comprimento δ sofrida pelo tubo.

Fazendo todas essas substituições, temos:

δ = 4 - 1334   k N 1829   m m 200   G P a π ( 304,8   m m 2 - 279,4   m m 2 )

Como G P a = k N / m m 2 , as unidades k N e m m 2 nessa equação vão se cortar, e o resultado final vai sair em milímetros ( m m ).

Calculando tudo, encontramos:

δ = - 1,047   m m

Que é a resposta do item ( a ) !

Passo 4

Agora, antes de resolver os itens ( b ) e ( c ) , vamos encontrar a deformação lateral ε l a t no tubo, já que é ela que descreve as variações do diâmetro externo Δ d e da espessura da parede Δ e .

A deformação lateral ε l a t aparece na fórmula do Coeficiente de Poisson, então vamos começar usando essa fórmula:

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando a deformação lateral ε l a t , temos:

ε l a t = - ν ε l o n g

Como a deformação longitudinal ε l o n g é definida como a variação de comprimento δ sobre o comprimento original L , temos que:

ε l a t = - ν δ L

Conhecemos ν = 0,30 , δ = - 1,047   m m e L = 1829   m m , então encontramos a deformação lateral ε l a t no tubo!

Passo 5

No passo anterior, encontramos que:

ε l a t = - ν δ L

Agora, podemos usar isso para resolver os itens ( b ) e ( c ) .

Começando pelo item ( b ) ...

Queremos encontrar a variação do diâmetro externo Δ d , então definimos a deformação lateral ε l a t como:

ε l a t = Δ d d

Substituindo isso na expressão que encontramos no passo anterior, temos que:

Δ d d = - ν δ L

Isolando Δ d :

Δ d = - ν δ d L

Inserindo os valores de ν , δ , d e L :

Δ d = - 0,30 - 1,047   m m 304,8   m m ( 1829   m m )

O que dá:

Δ d = 0,0523   m m

Ou se preferirmos:

Δ d = 5,23 * 10 - 2   m m

Passo 6

Finalmente, para o item ( c ) , repetimos o que fizemos para o item ( b ) :

Queremos encontrar a variação da espessura da parede Δ e , então definimos ε l a t como:

ε l a t = Δ e e

Substituindo isso na expressão do passo anterior, temos que:

Δ e e = - ν δ L

Δ e = - ν δ e L

Inserindo os valores de ν , δ , e e L , encontramos a variação da espessura da parede Δ e :

Δ e = - 0,30 - 1,047   m m 12,7   m m ( 1829   m m )

Δ e = 0,00218   m m

Ou em notação científica:

Δ e = 2,18 * 10 - 3   m m

Resposta

a   δ = - 1,04 7   m m

b   Δ d = 0,0523   m m = 5,23 * 10 - 2   m m

c   Δ e = 0,00218   m m = 2,18 * 10 - 3   m m

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que, para qualquer material, a relação G / E ,kev estão relacionadas nas equações (2.24) e (2.340. Mostre que qualquer uma dessas constantes pode ser expressa em função de quaisquer outras duas
Um tubo de alumínio de comprimento igual a2 m , diâmetro externo de 240 - m m e espessura de parede de 10 - m m é usado como uma coluna curta e suporta uma força axial centrada de 640 - k N . Sabendo
Para o carregamento axial mostrado, determine a variação em altura e a variação em volume do cilindro de latão mostrado na figura, (b) resolva a parte a considerando que o carregamento seja hidrostáti
Para o apoio do elastômero do Problema 2.79 com b = 10 i n . ea = 1 i n . determine o módulo de cisalhamento G e a tensão de cisalhamento τ para uma força lateral máxima P = 5k i p s e um deslocamento
Um suporte isolador de vibração consiste em uma barra A de raio R 1 = 10m m e um tubo B de raio interno R 2 = 25m m , colado a um tubo de borracha de 80 mm de comprimento com um modulo de elasticidade