Exercícios Resolvidos de Coeficiente de Poisson

Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 119-2.63.

Uma força de tração de 2669   N é aplicada a um corpo de prova feito de placa de aço plana de 1,588   m m ( E = 200   G P a , ν = 0,30 ). Determine a variação resultante ( a ) no comprimento de referência de 50,8   m m , ( b ) na largura da parte A B do corpo de prova, ( c ) na espessura da parte A B e ( d ) na área da seção transversal da parte A B .

Passo 1

A região A B do corpo de prova possui, originalmente, um comprimento L = 50,8   m m , uma largura l = 12,7   m m e uma espessura e = 1,588   m m .

O material do corpo de prova possui um módulo de elasticidade E = 200   G P a e um Coeficiente de Poisson ν = 0,30 .

Além disso, a força interna normal no corpo de prova é N = 2669   N , uma vez que ele está submetido a uma força de tração pura com essa intensidade.

E o que é que o exercício quer?

Por causa da tração, a região A B é esticada, sofrendo variações no seu comprimento, na sua largura, na sua espessura, e, consequentemente, na sua área de seção transversal.

O exercício quer saber o valor dessas variações.

No item ( a ) , para encontrar a variação do comprimento, vamos ter que usar a Lei de Hooke e as fórmulas da tensão normal média e da deformação normal.

Nos itens ( b ) e ( c ) , para encontrar as variações da largura e da espessura, vamos ter que analisar a deformação lateral na peça.

(Vamos precisar das definições de deformação longitudinal ε l o n g e lateral ε l a t e das definições do coeficiente de Poisson ν .)

Finalmente, no item ( d ) , vamos encontrar a variação da área da seção transversal calculando a diferença entre a área final e a área inicial.

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Passo 2

Temos várias informações sobre a peça e sobre o carregamento nela e queremos saber, no item ( a ) , qual é o valor da variação de comprimento Δ L sofrida pela região A B do corpo de prova.

Normalmente, chamamos essa variação de comprimento principal de δ .

Agora, lembra aí...

Existe uma fórmula que descreve a variação de comprimento   δ numa peça em função do carregamento nela:

δ = N L E A

E a fórmula que obtemos quando combinamos a Lei de Hooke com as fórmulas da tensão normal média e da deformação normal.

Nessa fórmula, sabemos o valor de N , L e E , mas não sabemos o valor da área A da seção transversal da região A B .

Mas sabemos que essa região tem uma seção transversal retangular, de espessura e e largura l . Logo:

A = e * l

Sendo assim, a variação de comprimento δ fica assim:

δ = N L E e l

Pronto, agora podemos calcular o valor da variação de comprimento δ !

Substituindo os valores de N , L , E , e e l , temos:

δ = 2669   N 50,8   m m 200   G P a 1,588   m m 12,7   m m

Reescrevendo G P a como k N / m m 2 e reescrevendo a força de 2669   N como 2,669   k N :

δ = 2,669   k N 50,8   m m 200   k N / m m 2 1,588   m m 12,7   m m

Agora, as unidades k N e m m 2 vão se cortar, e o resultado final vai sair em m m .

Calculando tudo, temos que:

δ = 0,0336   m m

Passo 3

Agora, seguimos para os itens ( b ) e ( c ) .

Nesses itens queremos encontrar a variação de largura Δ l e a variação de espessura Δ e na parte A B do corpo de prova.

Essas duas variações ocorrem por causa da deformação lateral ε l a t que acompanha toda deformação longitudinal ε l o n g num corpo.

A deformação longitudinal ε l o n g é aquela que ocorre no sentido do comprimento do corpo. É a variação de comprimento sobre o comprimento inicial:

ε l o n g = δ L

E a deformação lateral ε l a t é a que ocorre no sentido lateral. É a variação de uma medida da seção transversal da peça (como a largura ou a espessura) sobre a medida inicial:

ε l a t = Δ l l = Δ e e

E essas duas deformações são relacionadas pelo coeficiente de Poisson:

ν = - ε l a t ε l o n g

O que significa que:

ε l a t = - ν ε l o n g

E, como ε l o n g = δ / L :

ε l a t = - ν δ L

Substituindo ε l a t = Δ l / l e isolando Δ l , encontramos:

Δ l = - ν δ L l

E, alternativamente, substituindo ε l a t = Δ e / e e isolando Δ e , temos:

Δ e = - ν δ L e

Pronto, encontramos as expressões que vão nos dar os valores de Δ l e Δ e !

Substituindo os valores de ν , δ , L , l e e nessas duas expressões, temos:

Δ l = - 0,30 0,0336   m m 50,8   m m 12,7   m m

&

Δ e = - 0,30 0,0336   m m 50,8   m m 1,588   m m

Calculando tudo, encontramos:

Δ l = - 0,00252   m m = - 2,52 * 10 - 3   m m

&

Δ e = - 0,000315   m m = - 3,15 * 10 - 4   m m

Passo 4

Por último, resolvemos o item ( d ) , onde queremos encontrar a variação de área de seção transversal Δ A na parte A B do corpo de prova.

A variação de qualquer medida é igual ao seu valor final menos o seu valor inicial.

Então sendo A ' o valor final da área da seção transversal, temos que:

Δ A = A ' - A

A seção transversal é retangular, de espessura e e largura l , de tal forma que A = e * l .

A seção transversal final também vai ser retangular, de espessura final e ' e largura final l ' , de tal forma que A ' = e ' * l ' .

Ou seja:

Δ A = e ' l ' - e l

Agora, a espessura e a largura final vão ser iguais aos seus valores iniciais mais as suas variações:

e ' = e + Δ e

&

l ' = l + Δ l

Substituindo isso na expressão anterior, temos:

Δ A = e + Δ e l + Δ l - e l

Substituindo os valores de e , l , Δ e e Δ l , todos em milímetros:

Δ A = 1,588 + - 0,000315 12,7 + - 0,00252 - 1,588 12,7   m m 2

Calculando tudo:

Δ A = - 0,008   m m 2 = - 8 * 10 - 3   m m 2

E assim finalizamos o exercício:

Resposta

a   Δ L = δ = 0,0336   m m

b   Δ l = - 2,52 * 10 - 3   m m

c   Δ e = - 3,15 * 10 - 4   m m

d   Δ A = - 8 * 10 - 3   m m 2

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