Exercícios Resolvidos de Coeficiente de Poisson

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Enunciado

A haste plástica de acrílico tem 200   m m de comprimento e 15   m m de diâmetro. Se uma carga axial de 300   N for aplicada a ela, determine a mudança em seu comprimento e em seu diâmetro.

E p = 2,70   G P a , ν p = 0,4 0.

Passo 1

O exercício quer saber a variação do comprimento Δ L (tradicionalmente chamada de δ ) e a variação do diâmetro Δ d da haste.

Para encontrar a variação do comprimento, podemos nos lembrar da fórmula que obtemos quando combinamos a Lei de Hooke ( σ = E ε ) com as fórmulas da tensão normal média ( σ = N / A ) e da deformação normal ( ε = δ / L ):

δ = N L E A

Com essa fórmula, conseguimos calcular a variação do comprimento δ da haste a partir:

  • Da força interna normal N , que vai ser igual à carga de tração de 300   N ;
  • Do comprimento inicial L = 200   m m da haste;
  • Do módulo de elasticidade E p = 2,70   G P a do plástico;
  • E da área A da seção transversal da haste, que pode ser descrita em função de seu diâmetro d = 15   m m através da fórmula A = π d 2 / 4 .

Agora, essa haste não vai sofrer deformação só no sentido longitudinal (sentido do seu comprimento). Ela também vai se deformar no sentido lateral (sentido do seu diâmetro).

O coeficiente de Poisson do plástico ν p = 0,40 vai ditar a razão entre essas deformações ε l o n g e ε l a t através da fórmula:

ν p = - ε l a t ε l o n g

A deformação no sentido longitudinal ε l o n g pode ser calculada dividindo a variação do comprimento nesse sentido δ pelo comprimento original L :

ε l o n g = δ L

Enquanto isso, a deformação no sentido lateral ε l a t é a divisão da variação de uma medida no sentido lateral pelo valor inicial dessa medida.

Usando o diâmetro d como essa medida, temos:

ε l a t = Δ d d

Usando essas três últimas fórmula, vamos poder calcular a variação do diâmetro Δ d da haste.

Passo 2

Vamos começar encontrando a variação do comprimento δ da haste.

Combinando a Lei de Hooke ( σ = E ε ) com as fórmulas da tensão normal média ( σ = N / A ) e da deformação normal ( ε = δ / L ), temos:

δ = N L E A

Como a área A da seção transversal dessa haste é circular, ela pode ser descrita em função de seu diâmetro d através da fórmula π d 2 / 4 :

δ = N L E π d 2 4

δ = 4 N L E π d 2

Substituindo os valores N = 300   N , L = 200   m m , E = 2,70   G P a e d = 15   m m :

δ = 4 300   N 200   m m 2,70   G P a π 15   m m 2

Reescrevendo 2,70   G P a como 2700   M P a , temos:

δ = 4 300   N 200   m m 2700   M P a π 15   m m 2

Como M P a = N / m m 2 , as unidades “ N ” e “ m m 2 ” nessa equação vão se cortar e o resultado vai sair em milímetros ( m m ).

Calculando tudo, encontramos:

δ = 0,12575 ≅ 0,126   m m

Metade do exercício já está resolvido, agora vamos para a próxima metade!

Passo 3

Queremos encontrar a variação do diâmetro Δ d da haste.

Da equação do coeficiente de Poisson, temos:

ν p = - ε l a t ε l o n g

Onde:

ε l a t = Δ d d       &       ε l o n g = δ L

Substituindo essas definições na equação do coeficiente de Poisson:

ν p = - Δ d / d δ / L

Isolando Δ d nessa expressão, encontramos:

Δ d = - ν p * δ L * d

Substituindo os valores de ν p = 0,40 , δ = 0,12575   m m , L = 200   m m e d = 15   m m :

Δ d = - 0,40 0,12575   m m 200   m m 15   m m

Calculando tudo, isso dá:

Δ d = - 0,0037725   m m   ≅ - 0,00377   m m

E assim temos as respostas para o exercício:

Resposta

δ = 0,126   m m

Δ d = - 0,00377   m m

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