Exercícios Resolvidos de Coeficiente de Poisson

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Enunciado

Uma pequena esfera de acrílico de diâmetro d = 32   m m afundou no oceano até um ponto com uma pressão de 21   M P a . Sabendo que o acrílico tem um módulo de elasticidade E = 6   G P a e um Coeficiente de Poisson ν = 0,33 , determine a variação no diâmetro dessa esfera.

Passo 1

A esfera tem um diâmetro inicial d = 32   m m , um módulo de elasticidade E = 6   G P a e um Coeficiente de Poisson ν = 0,33 .

O exercício quer saber a variação no diâmetro Δ d que a esfera sofre ao estar submetida a uma pressão p = 21   M P a .

Então vamos pensar...

Quando alguma peça está submergida na água (ou qualquer outro fluído), a água faz pressão na peça por todos os lados.

Isso quer dizer que se a peça está em um ponto em que a pressão é p = 21   M P a , a peça está submetida a uma pressão de 21   M P a no seu eixo x , no seu eixo y e no seu eixo z .

(O nome disso é pressão hidrostática.)

Agora pensa só...

Pressão é força sobre área que nem tensão é força interna sobre área.

Então se uma força F de compressão gera numa peça uma força interna normal N = - F , uma pressão p de compressão gera uma tensão normal σ = - p .

Então como reação interna à pressão de 21   M P a nas 3 dimensões, vão surgir na peça tensões normais σ nos eixos x , y e z , todas iguais ao oposto da pressão p de compressão:

σ x = σ y = σ z = - p

Isso quer dizer que a esfera está em uma situação de carregamento multiaxial em que todas as três tensões são igual a - p .

Como consequência de um carregamento multiaxial, uma peça sofre deformações ε em x , y e z , de acordo com as fórmulas:

ε x = 1 E ( + σ x - ν σ y - ν σ z )

ε y = 1 E ( - ν σ x + σ y - ν σ z )

ε z = 1 E ( - ν σ x - ν σ y + σ z )

Mas no nosso caso, se substituirmos σ x = σ y = σ z = - p nessas deformações, vamos encontrar que todas elas são iguais:

ε x = ε y = ε z = 1 E ( - p ) - ν - p - ν - p

Normalmente, o ( - p ) é tirado em evidência...

ε x = ε y = ε z = ( - p ) 1 E 1 - ν - ν

...e essa equação é arrumada para ficar assim:

ε x = ε y = ε z = - 1 - 2 ν p E

Então podemos descobrir a deformação sofrida pela esfera usando a fórmula acima...

E como o diâmetro d é uma medida que existe nos três eixos em uma esfera, podemos definir todas as deformações ε assim:

ε x = ε y = ε z = Δ d d

E, em seguida, podemos usar essa definição para encontrar a variação Δ d do diâmetro da esfera, resolvendo assim o exercício!

Passo 2

Então primeiro, vamos encontrar a deformação ε x = ε y = ε z na esfera.

Usando a fórmula que encontramos para descrever a deformação numa peça em função da pressão p a qual ela está submetida em todas as direções, temos:

ε x = ε y = ε z = - 1 - 2 ν p E

Subsituindo E = 6   G P a , ν = 0,33 e p = 21   M P a , temos:

ε x = ε y = ε z = - 1 - 2 0,33 21   M P a ( 6   G P a )

Para que o resultado da deformação saia adimensional, reescrevemos o módulo de elasticidade de 6   G P a como 6000   M P a :

ε x = ε y = ε z = - 1 - 2 0,33 21   M P a ( 6 000   M P a )

Calculando tudo, encontramos:

ε x = ε y = ε z = - 0,00119

Passo 3

Agora que encontramos a deformação na esfera, podemos defini-la em função da variação do diâmetro Δ d e do diâmetro inicial d da esfera para encontrarmos Δ d :

ε x = ε y = ε z = Δ d d

Substituíndo ε x = ε y = ε z = - 0,00119 , temos:

Δ d d = - 0,00119

Isolando Δ d :

Δ d = - 0,00119 d

E, finalmente, substituindo d = 32   m m :

Δ d = - 0,00119 ( 32   m m )

O que dá:

Resposta

Δ d = 0,0381   m m

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