Exercícios Resolvidos de Coeficiente de Poisson

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Enunciado

O tampão tem diâmetro de 30   m m e ajusta-se ao interior de uma luva rígida com diâmetro interno de 32   m m . Ambos, tampão e luva, têm 50   m m de comprimento.

Determine a pressão axial p que deve ser aplicada à parte superior do tampão para que ele entre em contato com as laterais da luva. Determine também a que distância o tampão deve ser comprimido para baixo para que isso aconteça.

O material do tampão tem E = 5   M P a e ν = 0,45 .

Passo 1

O que está acontecendo?

O tampão tem um diâmetro inicial d = 30   m m e um comprimento inicial L = 50   m m .

O seu material tem um módulo de elasticidade E = 5 M P a e um Coeficiente de Poisson ν = 0,45 .

E ele está submetido a uma pressão axial p de compressão.

Agora vamos pensar...

Pressão é força sobre área, então essa pressão p pode ser trocada por uma força equivalente F = p A , onde A é a área da seção transversal do tampão.

Essa força F de compressão vai gerar no tampão uma força interna normal N = - F = - p A e uma tensão normal média:

σ = N A

Substituindo N = - p A , temos:

σ = - p A A = - p

Ou seja, para o equilíbrio interno do tampão, a tensão σ tem que ser o oposto da pressão p .

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber qual é a pressão p que faz com que o tampão encoste nas laterais da luva.

Ou seja, ele quer saber qual é a pressão p que faz com que o diâmetro final d ' do tampão seja igual ao diâmetro interno de 32   m m na luva.

Agora, Para que o tampão tenha esse diâmetro final d ' , ele tem que ter sofrido:

  • Uma certa deformação lateral ε l a t = Δ d / d ;
  • Uma certa deformação longitudinal ε l o n g , de acordo com seu coeficiente de Poisson ν ;
  • E uma certa tensão normal média σ = - p , de acordo com a Lei de Hooke σ = E ε l o n g .

Então combinando a Lei de Hooke, as definições do coeficiente de Poisson e da deformação lateral e a relação σ = - p , vamos poder relacionar a pressão p com o diâmetro final d ' e encontrar o valor de p que garante que d ' = 32   m m .

Depois, o exercício ainda quer que a gente encontre a variação de comprimento δ que o tampão sofreu.

Para tanto, vamos ter que usar a definição ε l o n g = δ / L , a Lei de Hooke (para encontrar a deformação ε l o n g correspondente a uma certa tensão normal σ ) e a relação σ = - p .

Passo 2

Queremos relacionar então a pressão axial p no tampão com o seu diâmetro final d ' .

Para tanto, vamos começar usando a Lei de Hooke:

σ = E ε l o n g

Aplicando a relação σ = - p , temos:

- p = E ε l o n g

p = - E ε l o n g

Agora, vamos pensar...

Precisamos relacionar p não com a deformação longitudinal ε l o n g , mas sim com a deformação lateral ε l a t no tampão, já que é a deformação lateral que causa a variação no diâmetro do tampão.

Para encontrar ε l o n g em função de ε l a t , usamos a definição do Coeficiente de Poisson ν :

ν = - ε l a t ε l o n g

Isolando ε l o n g , temos:

ε l o n g = - ε l a t ν

Substituindo essa expressão na equação que tínhamos encontrado anteriormente, temos:

p = - E - ε l a t ν

p = E ε l a t ν

Agora, só falta descrever essa deformação lateral ε l a t em função do diâmetro final d ' que vamos obter uma expressão para a pressão p em função de d ' .

A deformação lateral é definida como a variação de uma medida no sentido lateral (como o diâmetro, por exemplo) sobre o valor original da medida, ou seja:

ε l a t = Δ d d = d ' - d d

Substituindo isso na última expressão que tínhamos encontrado para p , temos que:

p = E d ' - d d ν

p = E d ' - d ν d

Passo 3

Agora que já encontramos uma expressão que relaciona a pressão axial p no tampão com o seu diâmetro final d ' :

p = E d ' - d ν d

podemos substituir os valores E = 5   M P a , d = 30   m m , ν = 0,45 e d ' = 32   m m nessa expressão para descobrir qual é a pressão axial p que faz com que o tampão encoste nas laterais da luva:

p = 5   M P a 32   m m - 30   m m 0,45 30   m m

Calculando tudo, isso dá:

p = 0,741   M P a

Esse é um número pequeno, então fica melhor reescrevê-lo em k P a :

p = 741   k P a

Passo 4

Já resolvemos a primeira parte do exercício, que foi encontrar a pressão p que faz com que o tampão tenha um diâmetro final d ' = 32   m m .

Agora, queremos resolver a segunda parte: descobrir a distância que o tampão teve que ser comprimido para baixo para que isso aconteça.

Essa distância é a variação de comprimento δ do tampão, que é descrita pela sua deformação longitudinal ε l o n g :

ε l o n g = δ L

Onde e L é o seu comprimento original de 50   m m do tampão.

Isolando δ nessa definição de ε l o n g , temos:

δ = ε l o n g L

A gente não conhece o valor de ε l o n g , mas a gente sabe que essa deformação é proporcional à tensão normal média σ no tampão de acordo com a Lei de Hooke:

σ = E ε l o n g

ε l o n g = σ E

Mas como vimos no primeiro passo, σ = - p , então:

ε l o n g = - p E

Substituindo isso na expressão que tínhamos encontrado para a variação de comprimento δ , ela fica assim:

δ = - p E L

δ = - p L E

Então substituindo nessa equação p = 741   k P a , vamos descobrir qual é a variação de comprimento δ que corresponde a essa situação.

Fazendo essa substituição e ainda substituindo os valores de L = 50   m m e E = 5   M P a , temos:

δ = - 741   k P a 50   m m 5   M P a

Para que o resultado saia em milímetros ( m m ), reescrevemos o módulo de elasticidade de 5   M P a como 5000   k P a :

δ = - 741   k P a 50   m m 5 000   k P a

Calculando, encontramos:

δ = - 7,41   m m

Ou seja, o tampão teve que ser comprimido 7,41   m m para baixo para que ele encostasse nas laterais da luva.

Resposta

p = 741   k P a

O tampão teve que ser comprimido  7,41   m m   para baixo.

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