Exercícios Resolvidos de Compensadores de avanço-atraso de fase

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Enunciado

Projete um compensador de avanço e atraso de fase para o sistema mostrado abaixo de modo que o sistema opere com overshoot de 20 % e tempo de acomodação de 1,11   s e g u n d o s . Além disso, o sistema compensado deverá apresentar melhoria de dez vezes no erro em regime permanente para uma entrada em rampa.

G s = 192,1 s s + 6 s + 10

Passo 1

Vamos começar o fazendo o projeto da parte de avanço do nosso compensardor.

Para isso, precisamos primeiramente determinar os polos dominantes em malha fechada do sistema compensado, ou seja, os polos dominantes que produzirão o overshoot e o tempo de acomodação desejados.

O polo dominante poderá ser encontrado através da expressão:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

O fator de amortecimento ζ pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:

O S = e - ζ π 1 - ζ 2

Como queremos um overshoot de 20 % :

ζ = 0 , 456

Para encontrar ω n devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de 2 % :

T s = 4 ζ ω n

Como T s = 1,11

ω n = 4 ζ T s = 7,90

Portanto, o polo dominante será:

s = - 3,6 ± 7,0 i

Passo 2

Vamos representar no nosso diagrama agora como estamos até aqui. Vamos colocar os polos dominantes da resposta compensada e também os polos da função de transferência do processo.

Os “x” vermelhos são os polos em malha aberta da função de transferência, e os pontos pretos são os polos dominantes.

Vamos então começar a implementar o nosso avanço. Para isso precisamos arbitrar um valor para o zero e depois encontrar o valor para o polo.

Para facilitar o nosso lado, podemos estimar o valor do zero do compensador como sendo - 6 , porque aí o zero do compensador vai cortar com o polo do processo e aí diminui o número de cálculos que precisamos fazer. Portanto:

a = 6

Sendo a o zero do compensador de avanço. Para determinar o polo da parte de avanço, precisamos usar a regra dos ângulos aqui:

Repare que o polo em - 6 sumiu porque ele foi cortado com o zero do compensador. Além disso, adicionamos um polo em - b que é o polo do compensador que precisamos determinar através da regra:

∠ K G s C s = 180 ° 2 r + 1

Ou seja, a soma de todos os ângulos deve ser um múltiplo ímpar de - 180 ° .

Para calcular os ângulos, usaremos propriedades trigonométricas:

θ 1 = 180 ° - t g - 1 7 3,6 = 117,21 °

θ 2 = t g - 1 7 10 - 3,6 = 47,56 °

Sendo assim:

θ 3 + 117,21 + 47,56 = 180

θ 3 = 15,23 °

E por fim, conseguimos encontrar a posição de b :

tan ⁡ 15,23 ° = 7 b - 3,6

b = 29,3

Portanto o polo da parte de avanço do compensador está em - 29,3 e até agora já estamos assim com a noss função de transferência:

C ( s ) = K c s + 6 s + 29,3 s + c s + d

Passo 3

Antes de partir para a parte do atraso, vamos calcular o ganho do compensador. Para isso, usaremos o critério do módulo:

K G s C s = 1

Devemos então calular as distâncias dos polos ao polos dominante e aplicar o critério:

h 1 = 7 2 + 3,6 2 = 7,87

h 2 = 7 2 + 6,4 2 = 9,48

h 3 = 7 2 + 25,7 2 = 26,63

Sendo assim, o ganho será:

K C K h 1 h 2 h 3 = 1

K C = h 1 h 2 h 3 K = 10,34

Portanto, estamos assim com o nosso projeto:

C ( s ) = 10,34 s + 6 s + 29,3 s + c s + d

Só falta então encontrar o polo e zero do atraso.

Passo 4

Para implementar o compensador de atraso, precisamos encontrar a relação entre o zero e o polo que falta determinar.

Para uma entrada rampa, teremos a seguinte expressão para o erro:

e ∞ = 1 lim s → 0 ⁡ s G s

Como queremos que o erro seja reduzido em 10 vezes, podemos fazer a razão do erro sem compensação e com compensação:

1 lim s → 0 ⁡ s G s 1 lim s → 0 ⁡ s C ( s ) G s = 10

Ou,

lim s → 0 ⁡ s C s G s lim s → 0 ⁡ s G s = 10

Substituindo o que temos:

lim s → 0 ⁡ s 10,34 s + 6 s + 29,3 s + c s + d 192,1 s s + 6 s + 10 lim s → 0 ⁡ s 192,1 s s + 6 s + 10 = 10

Teremos que:

c d = 4,72

Ou seja, o zero dever ser maior que o polo por um fator de 4,72   vezes.

Sabemos que o polo e o zero do compensador de atraso devem ser o menor possível para não impactar na resposta transiente. Portanto, um bom valor para esse par seria:

d = 0,01

c = 0,0472

Portanto, teremis:

C ( s ) = 10,34 s + 6 s + 29,3 s + 0,0472 s + 0,01

Se quiséssemos ser muito precisos, poderíamos calcular novamente o ganho usando o critério do módulo. Entretanto a inclusão do novo polo e do novo zero quase não alterariam o ganho encontrado anteriormente uma vez que eles têm o módulo praticamente iguais por estarem muito próximos um do outro, e portanto, se anulariam. Sendo assim, para nós o projeto já está satisfatório.

Resposta

C ( s ) = 10,34 s + 6 s + 29,3 s + 0,0472 s + 0,01