Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

UFPE, Álgebra Linear, 3º EE - 2016.1, Questão 1

Considere o espaço Equation com seu produto interno usual:

Equation

Seja Equation um subespaço de Equation .

Equation Determine uma base para Equation , o complemento ortogonal de Equation .

Equation Determine uma base ortonormal para Equation a partir de Equation e Equation .

Equation Determine o ângulo Equation entre os polinômios Equation e Equation

Passo 1

Letra Equation

A primeira coisa que precisamos para obter uma base para Equation é saber como são os polinômios desse subespaço certo?

Bom, temos que se Equation ele é ortogonal à Equation , então:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Logo, os polinômios do nosso subespaço Equation são da forma:

Equation

Então uma base para Equation é:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra Equation

Como a soma de um subespaço com seu complemento ortogonal é sempre direta, temos que podemos obter uma base para Equation simplesmente unindo as bases de Equation e Equation :

Equation

Como Equation e Equation são ortogonais essa base já é ortogonal! Falta só normalizarmos ela agora. Para isso precisamos da norma dos polinômios:

Equation

Equation

Equation

Então uma base ortonormal para Equation é:

Equation

Passo 3

Letra Equation

O ângulo entre dois vetores (nesse caso polinômios) é dado por:

Equation

Então para encontrarmos o ângulo entre Equation e Equation , precisamos de:

Equation

Equation

E a norma de Equation a gente já encontrou na letra Equation :

Equation

Jogando tudo na fórmula:

Equation

Resposta

Equation Equation

Equation Equation

Equation Equation

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