Exercícios Resolvidos de Compressores e Bombas

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Enunciado

Considere uma bomba hidráulica acoplada a um bocal por meio de uma tubulação curta. Os diâmetros das tubulações de alimentação e descarga da bomba são iguais. O diâmetro de descarga do bocal é igual a 2   c m 0,02   m . A bomba é acionada por um motor de 1   k W e é alimentada com água a 100   k P a e 25   ° C . O bocal descarrega o fluido na atmosfera a 100   k P a (veja Figura P4.79). Despreze a energia cinética da água no tubo e considere constante a energia interna u da água. Determine a vazão mássica de água e a velocidade de descarga.

Passo 1

O exercício pede para a gente calcular a vazão mássica de água m ˙ que passa pela bomba e pelo bocal e a velocidade ν s da água saindo do bocal. A diferença desse exercício para um exercício mais simples de bomba é que nesse a gente não analisa só a bomba. Nessa questão a gente vai estudar a bomba junto com o bocal que faz a velocidade água aumentar na saída! A figura baixo mostra todos os dados fornecidos pelo enunciado para calcular esse valor.

m ˙ é a vazão mássica de água entrando e saindo da bomba e do bocal. T e é a temperatura da água entrando na bomba. P e é a pressão da água entrando na bomba e P s é a pressão da água saindo do bocal. ν e é a velocidade da água entrando na bomba e ν s é a velocidade da água saindo do bocal. D e é o diâmetro das duas tubulações que se conectam à bomba. D s é o diâmetro da saída do bocal. u e é a energia interna específica da água entrando na bomba. u s é a energia interna da água saindo do bocal. W ˙ é a potência que a bomba consome para funcionar.

Atenção, apesar do enunciado dar um valor positivo para essa potência, ela é negativa!

Ela é negativa, porque a bomba está sofrendo trabalho. Por uma convenção de sinais, quando um equipamento sofre trabalho, o valor do trabalho W e da potência W ˙ são negativos.

S e   o   e q u i p a m e n t o   s o f r e   t r a b a l h o       ⟶       W ˙ < 0

Agora que sabemos o que os dados significam, vamos aprender a calcular ν s e m ˙ .

Passo 2

A velocidade ν s é calculada primeiro. O valor dela é encontrado através da primeira lei e da equação vazão mássica. A forma da primeira lei é a primeira lei para bomba incluindo a energia cinética. No entanto, o enunciado nos informa que a energia cinética da água no tubo deve ser desprezada. Isso significa que o termo de energia cinética ν e 2 2 da água entrando na bomba pelo tubo deve ser considerado nulo.

Mas CUIDADO! O termo de energia cinética da água saindo da bomba ν s 2 2 não é nulo, porque a velocidade da água saindo do bocal precisa ser calculada! E Atenção Precisamos dividir essa energia cinética por mil para passar a unidade desse termo de J k g para k J k g .

m ˙ ⋅ h e + m ˙ ⋅ ν e 2 2 1000 ⏟ ≈ 0 = W ˙ + m ˙ ⋅ h s + m ˙ ⋅ ν s 2 2 1000

m ˙ ⋅ h e = W ˙ + m ˙ ⋅ h s + m ˙ ⋅ ν s 2 2 / 1000

O problema dessa fórmula acima é que ainda não conhecemos h e , h s nem m ˙ para calcular ν s . No próximo passo, nós vamos trabalhar em cima dos termos h e e h s !

Passo 3

Nós podemos substituir a fórmula das entalpias específicas h e e h s em função das energias internas específicas u e e u s na primeira lei.

h e = u e + P e ⋅ v e

h s = u s + P s ⋅ v s

m ˙ ⋅ u e + P e ⋅ v e = W ˙ + m ˙ ⋅ u s + P s ⋅ v s + m ˙ ⋅ ν s 2 2 / 1000

Mas o enunciado diz que u e é igual a u s e que P e é igual a P s . Logo:

m ˙ ⋅ P e ⋅ v e = W ˙ + m ˙ ⋅ P s ⋅ v s + m ˙ ⋅ ν s 2 2 / 1000

m ˙ ⋅ P e ⋅ v e - v s = W ˙ + m ˙ ⋅ ν s 2 2 / 1000

Nós ainda não conhecemos a variação de volume espeífico v e - v s para conseguir calcular ν s . Por causa disso, nós vamos olhar esse termo mais a fundo no próximo passo!

Passo 4

A água entra na bomba com 100   K P a e a 25   ° C . Logo, ele entra como um liquido comprimido. O líquido compressível quase não varia seu volume específico, quando é bombeado. Por isso:

m ˙ ⋅ P e ⋅ v e - v s ⏟ ≈ 0 = W ˙ + m ˙ ⋅ ν s 2 2 / 1000

0 = W ˙ + m ˙ ⋅ ν s 2 2 1000     ⟹       m ˙ ⋅ ν s 2 = - W ˙ ⋅ 2000

Por fim, para achar ν s , precisamos achar uma fórmula para a vazão mássica m ˙ em função da mássica específica da água líquida comprimida a 25   ° C ρ , da velocidade de saída da água ν s e do diâmetro de saída do bocal D s .

m ˙ = ρ ⋅ A s ⋅ ν s       ⟹         m ˙ = ρ ⋅ π ⋅ D s 2 4 ⋅ ν s

Atenção! Nas questões de termodinâmica, a massa específica da água líquida comprimida a temperatura ambiente ≅ 25   ° C geralmente vale:

ρ = 1000   k g m 3

Substituindo a equação de m ˙ na primeira lei, nós criamos uma fórmula para ν s .

m ˙ ⋅ ν s 2 = - W ˙ ⋅ 2000       ⟹       ρ ⋅ π ⋅ D s 2 4 ⋅ ν s ⋅ ν s 2 = - W ˙ ⋅ 2000       ⟹       ν s = - W ˙ ⋅ 8 000 ρ ⋅ π ⋅ D s 2 3

Sabendo de tudo isso, podemos iniciar as contas.

Passo 5

ν s = - W ˙ ⋅ 8000 ρ ⋅ π ⋅ D s 2 3       ⟹       ν s = - - 1 ⋅ 8000 1000 ⋅ π ⋅ 0,02 2 3       ⟹       ν s = 18 , 53   m / s

Além disso, podemos calcular m ˙ .

m ˙ = ρ ⋅ π ⋅ D s 2 4 ⋅ ν s       ⟹       m ˙ = 1000 ⋅ π ⋅ 0,02 2 4 ⋅ 18 , 53       ⟹       m ˙ = 5 , 82   k g / s

Resposta

ν s = 18 , 53   m / s

m ˙ = 5 , 82   k g / s

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