Exercícios Resolvidos de Condução de Energia por Calor

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Enunciado

Uma panela de aço (condutibilidade térmica igual a 50   W / m ∙ K ) contém água líquida a 15°C. A espessura da panela é uniforme igual a 5   m m e o diâmetro da panela é 0,2m. A panela é colocada sobre uma resistência elétrica que transfere 250   W ao fundo da panela. Admitindo que a temperatura da superfície interna da panela é uniforme e igual 15   ° C , determine a temperatura da superfície inferior externa da panela.

Passo 1

O exercício pede para calcular a temperatura da superfície inferior externa da panela T e . A função temperatura está presente dentro da derivada na lei de Fourier.

No entanto, recorrendo à simplificação, que considera a distribuição de temperatura como linear, conseguimos calcular a derivada e depois usá-la para calcular a temperatura desconhecida.

Q ˙ = k A d T d x

d T d x = T e - T i L

onde:

  • L é a espessura do isolante
  • T e é a temperatura da superfície externa da panela que desejamos calcular
  • T i é a temperatura da superfície interna da panela
  • k é a condutibilidade térmica
  • A é a área superficial onde ocorre a transferência de energia

Segue abaixo a ordem das etapas que devemos cumprir para resolver a questão.

  1. Reorganizar a lei de Fourier, explicitando a derivada da temperatura.
  2. Substituir nessa fórmula os valores de condutibilidade térmica, da área superficial da base da panela e da taxa de energia fornecida à panela para obter o valor da derivda.
  3. Reorganizar a relação, que associa a derivada e as temperaturas das superfícies, obtida através da simplificação para explicitar a temperatura da superfície externa.
  4. Substituir os valores da espessura, da derivada da temperatura e da temperatura da superfície interna da panela pra calcular T e .

Para cumprir esses passos, é necessário listar o que foi dado pelo enunciado:

  • Q ˙ = 250   W
  • Como o enunciado citou o diâmetro da panela, a forma de sua área, onde ocorre transferência de energia, é circular. Por isso:
  • A = π ∙ d / 2 2 = π ∙ 0,2 / 2 2 = 0,01 ∙ π

  • k = 50   W / m ∙ K
  • T i = 15   ° C
  • L = 5   m m

Passo 2

Vamos, enfim, rearranjar a lei de Fourier e depois substituir os dados do enunciado para obter a derivada.

d T d x = Q ˙ k A = 250 50 ∙ 0,01 ∙ π = 500 π   K m

Passo 3

Agora a gente tem que reorganizar a expressão de linearização da temperatura e depois substituir as informações coletadas do texto do problema e a derivada da temperatura encontrada no ítem anterior.

Atenção! Antes temos que converter a unidade da espessura de milímetro pra metro.

T e = L ∙ d T d x + T i = 0,005 ∙ 500 π + 15

Resposta

T e = 15,8   ° C

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